Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
“СТАНКИН”

В.Н. Стрекалов

ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Москва 1998

Содержание

Тема 1. Тема 2. Тема 3. Тема 4. Тема 5. Тема 6. Тема 7. Тема 8.

Тема 9. Тема 10.

Основные понятия кинематики волн. Волновое уравнение.

Сложение волн.

Интерференция волн.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция. Осесимметричные дифракционные задачи. Дифракция Фраунгофера. Экспериментальные основы волновой или квантовой механики.

Волновая функция микрочастицы. Квантования физических величин.

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ ВОЛН

Волновые процессы - один из наиболее обширных классов физи­ческих процессов. Такие процессы происходят в пространстве и времени (в отличие от колебаний, происходящих только во времени), обычно обладая достаточной периодичностью. Возникновение любых волн связано с возмущением какого-либо параметра, характеризующего среду. Например, звуковая волна в воздухе - это бегущая в пространстве череда отклонений давления воздуха от его среднего значения.

Иногда говорят, что волны - это возмущения, распространяющиеся с конечной скоростью в пространстве и переносящие энергию без переноса вещества (однако ударные волны переносят вещество, а стоячие волны не переносят энергию). Можно сказать, что волны - это распространяющиеся в пространстве возмущения любой физической природы, описание которых в простейшем случае даётся функцией типа

и = u(x,t) = u(x+vt), и = u(x,t) = и(ах + bt). (1)

Функция типа (1) и их более сложные разновидности называются волновыми функциями. Они являются решениями дифференциальных уравнений, которые дают описание возмущений рассматриваемой среды.

Одной из простейших считается монохроматическая волна. Волны этого типа - идеализированные физические объекты, охватывающие всё пространство и определённые в любой момент времени от t = - ∞ до t = ∞.

Монохроматические волны периодичны, так что их волновые функции обладают свойствами:

и(х, t) = и(х + n λ, t) = и(х, t + тТ), (2)

Где n и m -любые целые числа, а λ и т - длина волны и её период. Примером волновой функции монохроматической волны может служить

u(x,t) = u₀cosφ, φ (x,t)=ωt-kx+φ_о. (3)

Здесь и₀ - амплитуда волны, имеющая размерность рассматриваемого физического параметра и определяющая его максимальное отклонение от среднего значения, φ=φ(x,t) - фаза волны (измеряется в радианах), ω - циклическая частота, к - волновое число, φ₀- начальная фаза,

2π 2π

ω = — = 2π v, к = —. (4)

Т λ

В (3) имеется знак минус, если волна распространяется в положительном направлении оси х; в противоположном случае имеется знак “+”.

Волна (3) не обязательно распространяется вдоль оси х. Если она распространяется в другом направлении, то можно записать

u(,t) = и₀ cosφ, φ(,t) = ωt - +φ₀ (5)

Вектор указывает направление распространения волны и называется волновым вектором. Модуль волнового вектора равен волновому числу.

Любая волна характеризуется волновой или фазовой поверхностью. Это поверхность, которая образуется, если соединить все точки, где волна имеет одну и ту же фазу. Согласно этому, уравнение фазовой поверхности в момент времени t₀ получится, если приравнять

φ(,t)|_t=to = const. (6)

Константа в (6) произвольна, поэтому в любой момент времени волна обладает бесконечным числом различных фазовых поверхностей. Фазовые поверхности никогда не пересекаются. С течением времени они движутся в пространстве со скоростью v_ф, которая называется фазовой скоростью волны. В однородном пространстве v_ф постоянна.

Обычно волновые или фазовые поверхности имеют сложную форму. Есть лишь несколько простых случаев, рассматриваемых ниже.

ЗАДАЧА 1. Если источником волны является бесконечная плоскость, перпендикулярная оси х, то волновая функция имеет вид (3). Найти вид фазовых поверхностей этой волны.

Согласно определению (6) имеем

ω t₀ - к х + φ₀ = const или кх = const. (7)

Из аналитической геометрии известно, что (7) является уравнением плоскости, перпендикулярной оси х. Таким образом, фазовые поверх­ности волны (3) представляют собой параллельные плоскости. Волна в этом случае называется плоской; её амплитуда постоянна.

ЗАДАЧА 2. Найти фазовую скорость плоской монохроматической волны. Уравнение движущейся фазовой поверхности волны (3) имеет вид

φ (x,t)=ωt-kx+φ_о = const. (8)

Продифференцируем (8) по времени, учитывая, что х=х(t). Тогда

Отсюда следует, что

и (9)

ЗАДАЧА 3. Найти скорость и вид фазовых поверхностей волны (5). По определению (6) в момент времени t₀ имеем

ω t₀ - + φ₀ = const или = const. (10)

Из аналитической геометрии известно, что (10) - уравнение плоскости, перпендикулярной вектору . Таким образом, (5) - плоская волна, фазовые поверхности которой представляют собой набор плоскостей, перпендикулярных волновому вектору. Отсюда, в частности, следует, что фазовая скорость волны (5) сонаправлена с , т.е. = const * . Для

нахождения модуля фазовой скорости продифференцируем по времени

уравнение движущейся фазовой поверхности этой волны

φ(,t) = ωt - +φ₀= const.

После дифференцирования находим

или или

ЗАДАЧА 4. Источником волны служит бесконечная нить, параллельная оси z и

проходящая через точку (х₀,у₀). Тогда волновая функция имеет вид

(11)

где A₀- амплитуда волны на расстоянии 1м от нити, а расстояние до точки наблюдения . Найти вид фазовых поверхностей.

Из определения (6) следует

ωt₀ – kR + φ₀ = const, или kR = const

или (х-х_о)²+(у-у_о) ² = const. (12)

Уравнение (12) является уравнением цилиндров с осью, совпадающей с источником волн (нитью).

Волна (11) оказывается цилиндрической. Её амплитуда убывает как

,при этом строгая периодичность волны в пространстве нарушается

(максимумы волновой функции (5) различны).

ЗАДАЧА 5. Волновая функция волны, созданной точечным источником имеет вид

(13)

где расстояние от источника до точки наблюдения

Найти вид волновых поверхностей.

Используя определение (6), найдём
ωt₀ – kr + φ₀ = const, или kr = const, или (х-х_о)²+(у-у_о) ² +(z-z₀)²= const. (14)

Уравнение (14) есть уравнение сферических поверхностей с центрами в точке (х₀,у₀, z₀). Следовательно, (13) есть сферическая волна, амплитуда которой убывает как 1 / r. Заметим, что фазовая скорость сферической волны направлена вдоль радиус-вектора, проведённого из источника волны (х₀,у₀, z₀).

ТЕМА 2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Волновые функции, которые дают описание распространяющихся в пространстве возмущений физических величин, могут быть получены как решения специфических дифференциальных уравнений, называемых волновыми уравнениями. Вид уравнения зависит от рассматриваемой физической системы, её геометрии и того параметра, который испытывает возмущение. Само волновое уравнение можно получить исходя из основополагающих физических законов. Например, применяя законы динамики к струне или стержню, получают волновое уравнение для механических волн. Изучая упругие свойства газа и законы термодинамики, получают волновое уравнение для звуковых волн. Система уравнений Максвелла приводит к волновому уравнению для электромагнитных волн. Методы получения и решения волновых уравнений сложны. Мы можем познакомиться только с некоторыми простейшими результатами.

Изучение динамики и термодинамики газа приводит к уравнению

(1)

или

Это разные формы записи одного и того же дифференциального уравнения относительно неизвестной волновой функции и=и(х,t), представляющей собой величину, на которую изменяется среднее давление газа в точке в момент t. Уравнение (1) является простейшим. В него входит квадрат скорости звука

(2)

где р - среднее давление газа, χ=c_p/c_v- показатель адиабаты, с_р и с _v -

теплоёмкости при постоянном давлении и постоянном объёме, T- абсолютная температура, B=R/μ - удельная газовая постоянная.

Решением уравнения (1) служит плоская волна. Если геометрия системы иная, то волновое уравнение может приобрести вид

(3)

или

Волновое уравнение может иметь ещё более общую форму.

Уравнения Максвелла позволяют получить волновое уравнение для электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны. В вакууме эти уравнения имеют вид

или (4)

где с - скорость света, а векторная волновая функция может принимать смысловые значения и .

Для смещения струны или стержня можно получить уравнения типа (4), которые содержат квадрат скорости механических волн

V =

Или v =

где T=F / S - натяжение струны, S - площадь её поперечного сечения, Е - модуль упругости стержня, ρ- объёмная плотность вещества.

Подчеркнём, что в уравнениях (1) и (3) волновые функции связаны с изменением скалярного параметра (давления) и скалярны, тогда как в уравнениях (4) волновые функции имеют векторную природу.

(6)

(5)

Векторные волновые функции характеризуются направлением поляризации или поляризацией. Вектор поляризации определяется дробью

В простых физических системах вектор может быть постоянным.

Если вектор сонаправлен с направлением распространения волны, то говорят, что волна продольная (например, продольные смещения в упругом стержне). Если вектор перпендикулярен направлению распространения, то волна поперечная. В случае плоских волн, характеризующихся волновым вектором , у продольной волны || , тогда как у поперечной волны .

Волны смещения на струне поперечны. В стержнях обычно изучают продольные волны смещения. Свободные ЭМ-волны в вакууме поперечны.

ЗАДАЧА 1. Записать волновую функцию продольной монохромати­ческой волны, циклическая частота которой ω, а волновой вектор равен .

По условию волна плоская (задан волновой вектор к) и продольная, т.е. векторная. Вектор поляризации продольной волны || . Следовательно, волновая функция имеет вид

, , .

ЗАДАЧА 2. Записать волновую функцию поперечной монохромати­ческой волны, распространяющейся вдоль оси.у.'

Условие поперечности волны в данном случае имеет вид = 0, где - единичный вектор, направленный вдоль оси у. Искомая волновая функция имеет при этом вид

, , .

Заметим, что вектор определён неоднозначно, поперечная волна может иметь много направлений поляризации. Обычно конкретизируют, говоря, что он параллелен, например, оси х и тогда || .

ЗАДАЧА 3. Записать волновую функцию продольной сферической волны, источник которой находится в начале координат.

В любой точке пространства сферическая волна распространяется вдоль радиус-вектор . Поэтому вектор поляризации в данном случае имеет вид . Следовательно, общий вид волновой функции

. Если дополнительно

продольной сферической волны есть

считать, что волна монохроматическая, то

ЗАДАЧА 4. Проверить, что скалярная волновая функция и = и₀ cosφ, φ=ωt-кх, является решением уравнения волнового уравнения (1), если v=ω/k.

Для решения задачи найдём частные производные функции u(x,t).

с₁ = - kх - считается постоянной в процессе вычисления частной производной. Далее,

(7)

(8)

Аналогично

,

Подставляя (8) и (9) в (1) получим для любых х, t равенство –ω² =v²(-k ²), переходящее в тождество при учёте определения v = ω / k. Следовательно, заданная функция является решением уравнения (1).

(9)

а dt

ЗАДАЧА 5. Проверить, что , есть решение уравнения (4), если

=const и постоянные числа b/a = ±v.

Вынесем вектор из под знаков производных и умножим на обе части уравнения скалярно. Получим

. (10)

Воспользуемся правилами дифференцирования сложных функций. Тогда

и

Отсюда следует, что

(11)

И (12)

Подставив (11) и (12) в (10), получим тождество. Задача решена.

ТЕМА 3. СЛОЖЕНИЕ ВОЛН

Обычно под волнами подразумевают небольшие возмущения параметров, характеризующих систему. Например, при распространении звука связанное с ним изменение давления u(,t) (являющееся звуковой волной) много меньше среднего давления газа. Малость возмущений - одно из главных приближений, используемых при получении волновых уравнений. Благодаря ему волновое уравнение содержит только первые степени возмущений и имеет вид

(1)

Уравнение (1) является линейным дифференциальным уравнением. Важное свойство подобных уравнений формулируется так: если и₁ и и₂ есть решения (1), то их сумма также является его решением,

u(x,t)= u₁ (x,t) + u₂(x,t). (2)

Свойство (2) известно, как принцип суперпозиции волн. Он утверждает, что волны распространяются в среде независимо, не влияя друг на друга. Это следствие малости возмущения параметров физической системы. Те системы, для которых такое приближение оправдано, называются линейными. Но в некоторых случаях среда сильно реагирует на возмущения, связанные с волной. Тогда приходится учитывать влияние изменений, вызванных волной, на условия распространения этой и других волн. Среда перестаёт быть линейной. В нелинейных средах волновое уравнение теряет линейность и принцип суперпозиции нарушается. Тогда волны уже не могут рассматриваться независимо и влияют друг на друга через вызванное ими изменение свойств среды.

Наложение волн друг на друга приводит к важным следствиям даже в линейных средах. Например, две одинаковые волны, идущие навстречу друг другу перестают переносить энергию (очевидный факт). Примером таких волн может служить набор

u₁=u₀cosφ₁, φ₁=ωt-kx+φ₀, u₂=u₀cosφ₂, φ₂=ωt-kx+φ₀ (3)

Сложив их согласно принципу (2), получим результирующую волну

(4)

Это стоячая волна. Точки х_п, в которых cos k х_n=0 (и вся волновая функция равна нулю), неподвижны. Они называются узлами. Легко найти

координаты узлов, потребовав k х_n = π (2n+1)/2. Т огда х_n = π (2n+1)/(k2), причём n -любое целое число. Между узлами расположены пучности стоячей волны, где coskх_n = 1. Стоячие волны легко возбудить на струне, концы которой закреплены неподвижно.

Часто приходится складывать не две, а большее число волн. Для этого разработан удобный “Метод векторных диаграмм”. Познакомимся с этим методом, рассматривая монохроматическую волну u = и₀ cosφ, φ = ωt- кх+φ₀. В любой момент времени волна характеризуется двумя величинами - амплитудой и₀ и фазой (углом) φ. Пара величин (и_0,φ) изображается точкой А на полярной диаграмме или в полярной системе координат. Значит, волне и можно сопоставить вектор , проведённый из начала координат в точку А, причём длина вектора равна амплитуде и₀, а угол с полярной осью равен φ. Если волновая функция векторная, то длина вектора а равняется модулю | ₀|.

Если имеется, например, три волны и₁, и₂, и₃ (они должны распрост­раняться в одном направлении и иметь одинаковые поляризации), то им соответствуют три вектора . Сложив их по правилу треугольников, получим результирующий вектор , длина которого ОВ равна амплитуде результирующей волны, а угол θ_РЕЗ, образованный с осью z, - фазе результирующей волны в данный момент времени и в данной точке.

ЗАДАЧА 1. Пусть волновое уравнение (5) имеет два решения u₁ и u₂, т.е. и (6). Доказать, что для системы, описываемой уравнением (5), принцип суперпозиции не выполняется. Предположим обратное, т.е. считаем, что полная волновая функция и = и₁+и₂. (7) и найдём её производные. Тогда (8)

(9)

Если учесть (7), (8) и (9), то из (5) следует

Или (¹⁰)

Если учесть (6), то окажется, что скобка в (10) должна равняться нулю. Но и в общем случае, это не выполняется. Следовательно, предположение (7) ошибочно, а это означает, что принцип суперпозиции в данном случае не выполняется.

ЗАДАЧА 2. Найти длину стоячей волны λ_ст, если образующие её бегущие волны имеют длину волны λ.

Длина стоячей волны - это расстояние между двумя соседними узлами или пучностями. Координаты пучностей определяются условием coskх_т= ±1.

Отсюда k х_т= πт, т - целое число, и х_т= тπ/к. Значит,

ЗАДАЧА 3. Используя метод векторных диаграмм, сложить волны u₁ = 3 cos φ₁,

и₂ = 2cosφ₂, и_З = 3 cos φ₃, у которых в данный момент времени и в данной точке фазы равны φ₁= 0, φ₂= π /2, φ₃= π. Волны идут в одном и том же направлении.

В методе векторных диаграмм этим волнам соответствуют три вектора

:

Сложив их по методу треугольников, получим результирующий вектоh Поэтому результирующая волна имеет вид

ЗАДАЧА 4. Используя метод векторных диаграмм, сложить векторные волны Значения их фаз см. в задаче 3.

Векторный характер волн не изменяет приведённого выше решения. Модуль амплитуды результирующей волны | _РЕЗ| = , а фаза φ_РЕЗ = π/4. Волновая функция результирующей волны имеет вид

ТЕМА 4. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

Энергетической характеристикой волны является интенсивность. Размерность интенсивности равна Дж/(м ² *с) или Вт/м², т.е. интенсив­ность представляет собой численное значение плотности потока энергии, переносимой волной. Интенсивность - это энергия, падающая на единичную площадку за единицу времени.

Мгновенной интенсивностью называют величину

(1)

где - волновая функция, характеризующая возмущение данного физического параметра в момент времени t в точке , а - размерный

коэффициент, согласующий размерности

Обычно рассматривают интенсивность, среднюю за какой-либо интервал времени. Согласно определению, среднее за время τ есть

(2)

Если в линейных средах волновые функции подчиняются принципу суперпозиции, т.е. результирующая волна равна

(3)

то интенсивность таким свойством не обладает. Найдём интенсивность

волны (3):

(4)

Видно, что интенсивность суммарной волны отличается от суммы интенсивностей и на величину перекрёстного или интерфе­ренционного слагаемого . Это слагаемое зависит от фаз волн u₁ и u₂. Поэтому говорят, что интерференция - это зависимость интенсивности результирующей волны от фаз складываемых волн. При сложении двух волн говорят о двулучевой интерференции. Если складывается большее число волн, то говорят о многолучевой интерференции. Такая интерференция важна в дифракционных явлениях.

Формулы (3) и (4) приведены для скалярных волн. Для векторных волн (4) изменяется так, что появляется cos β, β - угол между направле­ниями поляризации волн:

(5)

Если волны поляризованы ортогонально, то косинус угла β обращается в нуль и интерференционный член пропадает. Ортогонально-поляризо­ванные волны никогда не интерферируют.

Другое требование, необходимое для наблюдения интерференции волн, связано с их когерентностью. В простейшем понимании когерент­ность - это согласованность волн. Принято выделять три режима наб-

людения интерференции с помощью прибора, характерная постоянная времени которого, (например, выдержка у фотоаппарата) равна τ:

1. Низкочастотные волны.

Если складываются две монохроматические волны

(6)

и оказывается, что и , то прибор позволяет следить за мгновенными значениями интерференции низкочастотных волн (пример - волны на поверхности воды).

2. Высокочастотные волны. Случай 1.

Если и , то прибор не даёт возможности наблюдать

мгновенные значения интерференционного слагаемого и воспринимает

только средние значения интенсивности. Величина интерференционного

слагаемого равна (7)

Интеграл с φ₁+φ₂ не представляет интереса, так как за время τ подынтегральная функция многократно изменяет свой знак и обращает весь интеграл в нуль. В интеграле с φ₁-φ₂ возможен случай, когда

|ω₁-ω₂|τ<<1 (8)

Тогда подынтегральная функция может считаться постоянной и после ее вынесения из-под знака интеграла интерференционный член равняется

I₁₂=αu₀₁u₀₂cos(φ₁-φ₂) (9)

(фазы берут в произвольный момент времени )

Волны, для которых справедливо условие (8), называется достаточно когерентными для наблюдения их интерференции данным прибором.

3. Высокочастотные волны. Случай 2.

Если вместо (8) имеет место неравенство , то оба косинуса под интегралом в (7) при усреднении дают нулевые вклады и интерференционный член равен нулю. Эти волны недостаточно когерентны для наблюдения их интерференции данным прибором.

ЗАДАЧА 1. Найти интерференционные слагаемые, возникающие при наложении трёх волн

Имеем простейший случай многолучевой интерференции. Полная интенсивность суммарной волны равна (для простоты считаем а=1)

(10)

Видно, что выделяются три интерференционных слагаемых, кото­рые 2

ЗАДАЧА 2. Найти интерференционные слагаемые, появляющиеся при наложении двух плоских векторных волн одинаковой частоты.

Пусть рассматриваются волны . Интенсивность суммарной волны , где ,

β- угол между поляризациями волн.

Заметим, что и₁и₂ = const*(cos (φ₁+φ₂)) + cos(φ₁-φ₂)).

Первое слагаемое высокочастотное и его вклад в интерфе­ренционное слагаемое не наблюдаем. Второе

(11)

даёт искомый ответ. Оно не зависит от времени и не изменяется при

усреднении.

ЗАДАЧА 3. Найти средние за период интерференционные слагаемые, появляю­щиеся при сложении двух сферических волн с одинаковыми частотами и волновыми числами; расстояние между их источниками равно d. Волны, приходящие в точку наблюдения Р, имеют разность хода Δr= r₂-r₁=dsinθ. Складываясь, они образуют волну u=u₁ +и₂, средняя интенсивность которой равна

(12)

При этом интерференционное слагаемое равно

(13)

Высокочастотный вклад обращается в нуль в силу периодичности косинуса. Низкочастотный вклад с φ₁-φ₂ не зависит от времени и после усреднения равен

(14)

Итак,

(15)

Максимумы интерференционной картины образуются, когда Δφ=2πm, т.е. когда

(16)

ТЕМА 5. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА-ФРЕНЕЛЯ. ДИФРАКЦИЯ

Для объяснения законов преломления, фокусировки и распрост­ранения волн в средах с неоднородностями Гюйгенс предложил считать каждую точку пространства, до которой дошла фазовая поверхность, фиктивным источником вторичных сферических волн. Тогда новое положение фазовой поверхности можно указать с помощью огибающей всех вторичных волн (принцип Гюйгенса).

Например, если плоская волна падает на экран со щелью, то фиктивные источники, расположенные на поверхности, совпадающей с плоскостью щели, создают вторичные сферические волны, распрост­раняющиеся за экраном, причём их огибающая заходит за непрозрачную часть экрана. Возникает явление, называемое дифракцией. Как и интерфе­ренция, дифракция - обязательный признак волновых процессов. Основываясь на принципе Гюйгенса дают “узкое” определение дифракции.

Дифракция - это огибание волнами малых препятствий, т.е. нарушение закона прямолинейного распространения волн.

Френель дополнил принцип Гюйгенса, заметив, что фиктивные источники когерентны и создаваемые ими вторичные волны интерфе­рируют. Принцип Гюйгенса-Френеля утверждает: в любой точке вне замкнутой поверхности, охватывающей источник волны, волну можно представить как результат наложения интерферирующих вторичных волн, которые возбуждаются фиктивными источниками, равномерно распределёнными по рассматриваемой вспомогательной поверхности. На основании принципа Гюйгенса-Френеля дают “широкое” определение дифракции.

Дифракция - это комплекс явлений, происходящих с интерфери­рующими вторичными волнами, распространяющимися в средах с резкими неоднородностями. Комплекс явлений учитывает: 1) нарушение закона прямолинейного распространения волн; 2) перераспределение интенсивности падающей волны и возникновение интерференционных максимумов и минимумов; 3) возникновение многолучевой интерференции волн, идущих от фиктивных источников; 4) разный характер дифракции на разных расстояниях от препятствия; 5) возможность того, что неоднородности могут быть амплитудными (непрозрачные экраны) и фазовыми (прозрачная среда с резкими скачками коэффициента преломления).

Для математического описания дифракции Френель предложил метод разбиения вспомогательной поверхности на области, расстояния от границ которых до точки наблюдения различаются на λ/2. Френель предложил: 1. Для точечного источника S брать сферическую вспомогательную поверхность F. благодаря чему все фиктивные источники будут когерентны и синфазны (т.е. иметь одинаковые начальные фазы). 2. Разбивая поверхность F на кольца так, чтобы расстояния от соседних колец до точки наблюдения Р отличались на λ/2 . Плотность фиктивных источников одинакова, а площади колец примерно равны, поэтому амплитуды волн, идущих от колец, равны, а их фазы отличаются на π. В результате волны от соседних колец приходят в P в противофазе и их суммарная интенсивность равна нулю благодаря интерференции. 3. Отмечать “открытые” и “закрытые” препятствиями зоны, что позволяет находить интенсивность результирующей волны в точке наблюдения.

Площадь колец в методе Френеля равна S=πλab/(a+b) (1)

Метод Френеля применим к волнам любой физической природы и будет использован для решения осесимметричных дифракционных задач.

Для качественной характеристики дифракционных явлений важен волновой параметр

(2)

λ - длина волны, r- расстояние от препятствия до точки наблюдения, d - характерный размер препятствия (ширина щели, нити, т.д.).

Если Р<< 1, то дифракционные эффекты незаметны. Это область параметров, при которых волна распространяется прямолинейно, т.е. область геометрической оптики. Если Р~1, то фазовая поверхность заметно искажена и прямолинейность распространения волны нарушена. Это область дифракции Френеля. Если Р>>1, то точка наблюдения считается бесконечно удалённой. Волну можно считать плоской. Возникает дифракция Фраунгофера или дифракция плоских волн.

ЗАДАЧА 1. Используя принцип Гюйгенса, построить фазовую поверхность плоской волны, отражающейся от зеркала.

Пусть в момент t = 0 фазовая поверхность занимает положение 1. Фиктивный источник в точке а₁ начинает испускать сферическую волну, а фазовая поверхность продолжает приближаться к зеркалу.

Через время t₁ точка b₁ совпадает с поверхностью зеркала, становясь фиктивным источником. За это время фазовая поверхность волны отойдёт от источника а₁ на расстояние ct₁. Огибающая будет иметь вид прямой a₂b₂. Фазовая поверхность испытает излом и займёт положение 2. Ещё через время t₂ на зеркало попадёт точка с₁, радиус фазовой поверхности волны, испущеной точкой а₁, станет равным ct₂, а поверхность волны, испущенной источником в точке b₂-c(t₂-t₂). Волновая поверхность займёт положение 1У и произойдёт полное отражение рассматриваемой части плоской волны. Заметим, что точка a, находившаяся на фазовой поверхности “слева”, теперь лежит “справа”.

Строя огибающую, можно доказать, что угол падения волны равен углу отражения.

ЗАДАЧА 2. Найти площадь к-й зоны Френеля.

Зоны Френеля для точечного источника S с длиной волны λ и точки наблюдения Р представляют собой кольцевые области на сферической вспомогательной поверхности F Сог­ласно их выбору, рв= PO+(1/2) λ k. Кроме

того, SO = SB = a, РО = b, АО = x, АВ = r.

По теореме Пифагора

(РВ)²=(АВ)²+(АР)² и (SB)² =(AB)²+(SA)² (3)

т.е.

r²=(b + (1/2)λk)²-(b+x)² и r² = а² - (а - х) ². (4)

Считая, что λ k<<ab и пренебрегая квадратом (λr)², находим

x_k= bλ k[2(а + b)], (5)

поэтому площадь k-го кольца есть

S_k = 2π a[x_k+i - х_k] = π ab/(a + b) λ. (6)

ЗАДАЧА 3. Наблюдение дифракции проводится на расстоянии r =2 м от экрана со щелью шириной d =10 мкм. Длина волны λ =2мкм. Какой тип дифракции наблюдается?

Характер дифракции определяется волновым параметром (2), Данные условия задачи приводят к значению Р = 200 >> 1. Это условие наблюдения дифракции Фраунгофера / дифракции плоских волн /.

ЗАДАЧА 4. Свет с λ = о ,5 мкм падает на длинную линейку, ширина которой d = 2 см. На каком расстоянии от линейки дифракционными явлениями можно пренебречь?

Дифракционные явления незаметны в области геометрической оптики, где волновой параметр Р<< 1. Из этого условия и определения (2) следует r<<d² / λ При заданных параметрах d² / λ = 800 м, т.е. дифракция незаметна в области Верхняя граница условна.

ТЕМА 6. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Решение многих физических задач значительно упрощается, если изучаемые системы обладают высокой степенью симметрии. Известными примерами служат расчеты моментов инерции и напряженности полей в случаях, когда распределение масс, зарядов или токов симметричны. Не являются исключением и дифракционные задачи. Среди них выделяют класс осесимметричных задач. В них между точечным источником волны S и точкой наблюдения Р находится препятствие, осью симметрии которого служит прямая SP. Пример - круглое отверстие в непрозрачном экране, на который нормально падает плоская или сферическая волна. Более важные примеры - различные оптические элементы, такие как объективы, диафрагмы, зеркала, входящие в реальные оптические устройства. Описание таких устройств - решение осесимметричных задач. Часто эти задачи решают, используя приближение зон Френеля и метод векторных диаграмм. Поскольку встречающиеся при этом результаты и выводы весьма поучительны, рассмотрим решения таких задач детально.

Рассмотрим вспомогательную сферическую поверхность F выделим на ней первую зону Френеля. По определению - это симметричная область AA’, такая, что ар -ОР= λ/2. В результате такого выбора волны от центральной области вокруг точки О и от окружности AA’ различаются по фазе на π.

Если разбить первую зону Френеля на несколько кольцевых подзон и каждой волне, идущей от подзоны, сопоставить вектор, то на векторной диаграмме эти волны изображаются (для трех подзон) векторами и

для цент­ральной, средней и внешней подзон. При увеличе­нии числа подзон число складываемых векторов возрастает, а их длины уменьшаются. Поэтому в пределе бесконечного числа подзон волны, идущие от первой зоны Френеля, изображаются гладким полувитком, начало которого в точке O соответствует нулевой фазе, а конец в точке K₁, равной π. Следовательно, результирующая волна в точке Р от первой зоны Френеля может быть изображена вектором OK₁, при этом ее интенсивность равна .

Вторая зона Френеля может быть рассмотрена подобным образом. Поскольку ее площадь равна площади первой зоны, то На векторной диаграмме волна, идущая от второй зоны в точку наблюдения Р, изобразится полувитком К₁, K₂, так

что интенсивность . Зоны наклонены к

оптической оси SP под различными углами. Из-за этого интенсивности I₁ и I₂ не совпадают, незначительно отличаясь друг от друга, I₁ -I₂< <I₁, (1) так что точка K₂ не совпадает с точкой О. Поэтому диаграмма выглядит как виток спирали, а не как окружность.

Если рассматривать остальные зоны Френеля, то векторная диаграмма примет вид бесконечной спирали с фокусом в точке с. Справа от ОК, лежат части спирали, соответствующие нечетным зонам Френеля, слева - соответствующие четным зонам. Результирующий вектор, проведенный из начала спирали O в ее конец с, определяет полную интенсивность I_Р волны в точке наблюдения Р при отсутствии препятствий, т.е. в свободном пространстве, когда открыты все зоны Френеля.

Интенсивность в этом случае

Указывая, какие зоны Френеля открыты или же работают, можно с помощью векторной диаграммы определить интенсивность результи­рующей волны в точке наблюдения.

Большинство осесимметричных дифрак­ционных задач решается так:

1. Изображают векторную диаграмму для сво-

бодного пространства (спираль ОС), причем считают, что интенсив­ность

2. На спирали отмечают открытые зоны Френеля.

3. Подсчитывают длину результирующего вектора.

4. Квадрат модуля результирующего вектора дает искомую интенсив­ность I_Р дифрагировавшей волны в точке наблюдения.

Для несимметричных систем такой метод решения малопригоден.

ЗАДАЧА 1. Имеется непрозрачный экран, в котором для данной длины волны λ и данной точки наблюдения открыта первая зона Френеля. Найти интенсивность I_Р, если I₀ считается заданной. Построив спираль, соответствующую свободному пространству, отметим на ней вклад первой зоны Френеля, т.е. вектор Остальные зоны закрыты и вторичные волны от них не идут. От спирали надо оставить только полувиток ОК₁. Тогда результирующий вектор равен . Следовательно, интенсивность в точке наблюдения

Оказывается, что появление данного непрозрачного экрана уве­личивает интенсивность волны в точке наблюдения в 4 раза!

ЗАДАЧА 2. В условиях предыдущей задачи экран открывает 1-ю и 2-ю зоны Френеля. Найти интенсивность I_Р.

На приведенной выше векторной диаграмме следует оставить вклады от 1-й и 2-й зон,т.е. часть спирали ОК₁K ₂. Результирующим

является вектор . Но в силу (1) шаг спирали весьма мал и .

Следовательно, . Парадоксальность результата (увеличение размера

отверстия уменьшает интенсивность результирующей волны) объясняется тем, что равные по амплитуде волны от 1-й и 2-й зон приходят в точку наблюдения в противофазе и, интерферируя, гасят друг друга.

ЗАДАЧА 3. Непрозрачный экран представляет собой круг, закрывающий 1-ю зону Френеля. Найти отношение интенсивности волн I_Р/I₀.Векторная диаграмма для волны в свободном пространстве имеет вид спирали OC,

причем . Так как закрыта только первая

зона, то результирующий вектор равен . Значит

I_Р/I₀=1

Наличие экрана не изменяет интенсивности волны. Но физически наличие или отсутствие экрана — различные ситуации. Что же изменяется при закрытии первой зоны Френеля в данном случае? Изменяется на п фаза результирующей волны в точке наблюдения.

ЗАДАЧА 4. Под зонной пластинкой подразуме­вается непрозрачная кольцевая структура, зак­рывающая часть четных (или нечетных) зон Френеля. Найти интенсивность результирующей волны, если зонная пластинка закрывает п четных зон Френеля.

Векторная диаграмма для работающих зон имеет вид нескольких полувитков (изображен случай, соответствующий n=3). Легко видеть, что результирующий вектор = 49 , т.е. I_P= 49I₀. Для произвольного n находим

Следовательно, зонная пластинка резко увеличивает интенсивность волны в точке наблюдения, что происходит в результате интерференции синфазных волн. Точка наблюдения называется в таком случае фокусом зонной пластинки, а сама пластинка, как мы видели, обладает свойствами линзы.

ТЕМА 7. ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА

В тех случаях, когда волновой параметр

Говорят о бесконечно удаленной точке наблюдения, в которой дифракция на препятствии с размером d. приобретает характер дифракции Фраунгофера (дифракции плоских волн). Дифракция

Фраунгофера — один из немногих случаев, когда дифракционные явления можно легко рассчитать точно. В простейшем случае с этой целью рассматривают непрозрачный экран, в котором вырезана длинная узкая щель шириной d. Считая, что волна с длиной волны λ падает на экран нормально, найдем интенсивность дифрагировавшей волны в удаленной точке P.

Воспользуемся также принципом Гюйгенса-Френеля, рассматривая вспомогательную поверхность, совпадающую с плоскостью щели. Симметрия системы (длинная щель) подсказывает, что фиктивные источники надо сгруппировать в нити, параллельные “берегам” ± d /2 щели. Тогда вторичные волны окажутся цилиндрическими и от нити с координатой х в точку Р придет волна

Пусть падающая на экран волна имеет вид (использован метод комплексных амплитуд)

(2)

Где dx -толщина нити

Из простых геометрических соображений для удаленной точки P

R₀-R=xsinθ (3)

Чтобы найти волну в точке Р надо учесть (3) и проинтегрировать по х от - d/2 до d/2. Тогда

(4)

Поскольку R₀<< x под корнем (это гладкая, медленно меняющаяся функция) можно отбросить малое слагаемое sin θ. Этого нельзя сделать в показателе изменяющем знак экспоненты. После этого

(5)

После возведения модуля (6) в квадрат, находим дифрагировавшей волны в точке наблюдения

интенсивность

(7)

Проинтегрировав и учтя формулу Эйлера , на­ходим (6)

Где I₀ некоторое известное выражение для амплитудного значения интенсивности, а

α = 1/2 kd sinθ.

Проведем анализ интенсивности (7) дифрагировавшей волны. Заметим, что при α→0, /θ→0/[sin α/α]² и интенсивность достигает максимума.

(9)

В тех точках, где α=πn, т.е. где

или

n = ± 1, ± 2,... / n =0 учтено при / числитель в (7) обращается в нуль, т.е. (9) указывает направления на мини­мумы дифракционной картины. Поскольку , то между минимумами (9) располагаются максимумы интенсивности. Детальное исследова­ние формулы (7) показывает, что центральный максимум / θ=0 / примерно в 20 раз больше максимумов n = ±1 - го порядка. Остальные максимумы еще меньше.

Расстояние между двумя соседними нулями интенсивности

(10)

носит название угловой ширины центрального максимума, который является дифракционным изображением щели.

Если на расстоянии r=l от экрана со щелью поставить экран для наблюдения дифракции, то линейный размер главного максимума или ширина изображения щели будет равна

(11)

ЗАДАЧА 1. Найти угловой размер главного максимума при дифракции Фраунгофера звуковой волны с λ=10 см на щели в заборе d= 20 см.

Заметим, что при нормальных условиях частота рассматриваемой звуковой волны ν=v/ λ = 300 / 0.1= 3*1 0^-3 с³. Это обычный, хорошо слышимый звук. Согласно (10), . Таким образом, за забором звуковая волна будет расходиться широким конусом с углом при вершине порядка 57 градусов. Вне пределов конуса звук не должен быть слышен, что, впрочем, нарушается из-за сильной идеализации задачи. В самом деле, щель предполагалась бесконечно длинной, т.е. забор должен быть очень высоким. Забор должен быть также очень широким, чтобы можно было пренебречь дифракцией волны на его концах. Кроме того, картина искажается отраженными волнами. В более чистом виде рассмотренный опыт можно наблюдать с помощью световых волн.

ЗАДАЧА 2. Дифракция Фраунгофера наблюдается на экране, расположенном на расстоянии l =2 м от экрана со щелью d = 10 мкм. Опыт показывает, что линейная ширина центрального максимума равна 20 см. Найти длину волны.

Из (11) имеем

Этот метод применяется в реальных измерениях длин волн или размеров препятствий, когда не нужна высокая точность. Для повышения точности измерений используют наборы щелей -дифракционные решетки.

ЗАДАЧА 3. Как надо изменить ширину щели, чтобы ее изображение увеличилось в 2 раза?

Из (11) следует парадоксальный, но верный ответ: щель надо сузить в 2 раза.

ЗАДАЧА 4. Взлетающая ракета должна быть уничтожена лазерным лучом на расстоянии l = 1000 км. Каков минимальный начальный диаметр лазерного луча (выходного зеркала лазера), если для поражения ракеты допускается не более чем двукратное уменьшение интенсивности лазерной волны? Длина волны λ = 10 мкм (лазер СО₂).

Изображение “препятствия” –зеркала лазера- на расстоянии l равно

Так как интенсивность I = Е / S, где Е - энергия волны, падающая на площадку S за единицу времени, то для поражения ракеты требуется

откуда следует

Лазеры таких и на порядок больших размеров предполагалось использовать в системах стратегической противоракетной обороны (СОИ).

ТЕМА 8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ ИЛИ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Опыты показали, что освещение металлической пластинки ультрафиолетовым излучением приводит к появлению на пластинке положительного электрического заряда. Было доказано, что свет вырывает из металла электроны. Это явление получило название внешнего фотоэффекта. Объяснить эффект долго не удавалось, хотя его суть казалось простой.

Классическая теория фотоэффекта

Световая волна с амплитудой Е₀ и частотой со действует на электрон с

х=А cos ωt,

силой F= - е Е₀ cos ωt, где е - заряд электрона, а второй закон Ньютона позволяет найти закон движения электрона

(1)

Если амплитудам больше расстояния до поверхности, то электрон вылетит из образца, т.е. будет иметь место внешний фотоэффект.

Дата добавления: 2015-09-29