Контрольная работа по теории вероятностей

Контрольная работа по теории вероятностей

1.2. Сколько различных автомобильных номеров, состоящих из трёх цифр и трёх букв, можно составить при условии, что буквы и цифры не повторяются (буквы ь, ъ, ы, ё, й исключить)?

Решение

Число n₁ способов выбора трех разных цифр из 10 всех цифр (с учетом порядка выбора) равно числу размещений из 10 по 3:

n₁ = = = = = 8·9·10 = 720

Число n₂ способов выбора трех разных букв из 28 разрешенных букв (с учетом порядка выбора) равно числу размещений из 28 по 3:

n₂ = = = = 26·27·28 = 19656

Число N всех требуемых номеров:

N = n₁·n₂ = 720·19656 = 14152320

Ответ: N = 14152320

2.2. Слово «статистика» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки тщательно перемешивают и из них извлекают по очереди: а) три карточки. Какова вероятность того, что в порядке извлечения получится слово «кит»; б) 10 карточек. Какова вероятность появления слова «статистика»?

Решение

Слово «статистика» состоит из 10 букв: 2 – а, 2 – и, 1 – к, 2 – с, 3– т.

Имеем схему извлечения букв без возвращения.

а) слово «кит»:

вероятность извлечения буквы «к» равна Р(к) = 1/10. Остается 9 букв.

вероятность извлечения буквы «и» равна Р(и/к) = 2/10. Остается 8 букв.

вероятность извлечения буквы «т» равна Р(т/ки) = 3/8.

Получим вероятность слова «кит»:

Р(кит) = Р(к)·Р(и/к)·Р(т/ки) = = =

б) слово «статистика»:

Р(статистика) = Р(с)·Р(т/с)·Р(а/ст)·Р(т/ста)·Р(и/стат)·Р(с/стати)·Р(т/статис)·

·Р(и/статист)·Р(к/статисти)·Р(а/статистик) =

= = = =

Ответ: Р(кит) = ; Р(статистика) =

3.2. Служащий кредитного отдела банка знает, что 15% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 30% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то какова вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?

Решение

Из условия следует, что из 30% обанкротившихся фирм 15 фирм не вернут кредиты по крайней мере в течение 5 лет, а остальные 15% вернут кредиты в течение 5 лет.

Пусть А – событие, состоящее в том, что клиент окажется не в состоянии вернуть долг банку, В – событие, состоящее в том, что клиент обанкротился. По условию имеем вероятность события В: Р(В) = 30/100 = 0,3,

Р(АВ) = 15/100 = 0,15.

Используем формулу Р(АВ) = Р(В)·Р(А/В),

где Р(А/В) – вероятность события А при условии свершения события В.

Отсюда Р(А/В) = = = 0,5

Ответ: Р(А/В) = 0,5

4.2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 80% деталей отличного качества. 1) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется отличного качества. 2) Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?

Решение

Пусть А – событие: деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы:

В ₁ – деталь произведена первым автоматом. Тогда , так как этот автомат производит по условию деталей в 2 раза больше второго.

В ₂ – деталь изготовлена вторым автоматом, причем .

Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом, по условию: Р(А/В₁) = 0,60,, а вторым – Р(А/В₁) = 0,80.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного
качества, по формуле полной вероятности:

.

Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса:

P(B₁/A) = .

Ответ: P(B₁/A) = 0,6

5.2. Вероятность того, что малое предприятие обанкротится в течение года равна 0,3. Найти вероятность того, что в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится: а) два предприятия; б) не более двух предприятий.

Решение

Пусть А – событие, заключающееся в том, что предприятие не обанкротится в течение года. Число m таких событий для n малых предприятий подчиняется биномиальному распределению вероятности события А:

p_n(m) = = ,

где р = 1–0,3 = 0,7 – вероятность осуществления события А,

q = 1–p = 1–0,7 = 0,3 – вероятность противоположного события: малое предприятие обанкротится в течение года.

а) Найдем вероятность того, что в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится ровно два предприятия. Тогда m = 2.

P₆(2) = = = =

= = 15·0,003969 = 0,059535;

б) Для нахождения вероятности P₆(m ≤ 2) того, в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится не более двух предприятий, вычислим вероятности Р₆(0), Р₆(1), Р₆(2), и тогда Р = P₆(m ≤ 2) = P₆(0) + P₆(1) + P₆(2)

P₆(0) = = = = 0,000729

P₆(1) = = = = 6·0,001701 =

= 0,010206

P₆(m ≤ 2) = P₆(0) + P₆(1) + P₆(2) = 0,000729+0,010206+0,0595535 = 0,0704885

Ответ: Р = P₆(m ≤ 2) = 0,0704885

6.2. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. рублей. Найти вероятность того, что среди 2000 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) 300 банков; б) от 300 до 400 включительно.

Решение

Событие, состоящее в том, что уставной фонд банка свыше 100 млн. руб., обозначим через А. По условию р(А) = 0,2. Тогда q = 1–p = 1–0,2 = 0,8.

Требуется найти вероятности: а) Р₂₀₀₀(300); б) Р₂₀₀₀(300 ≤ m ≤ 400)

а) Для больших значений n и m применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

P_n(m) ≈ ,

где x_m = , φ(x) = – плотность нормального распределения.

x_m = = = = = –5,59

По таблице значений функции φ(x) находим φ(–5,59) = 6,54·10^–8.

P₂₀₀₀(300) ≈ = = = = 0,3656·10^–8

б) Для больших значений n и m применим интегральную Используем теорему Муавра-Лапласа:

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то для любого интервала (a, b) имеем:

Р(a ≤ m ≤ b) = P ≈

где m – число появлений события А в n испытаниях, q =1–p.

Ф₀(х) = – нормированная функция Лапласа.

Р(300 ≤ m ≤ 400) = P =

P = P =

= = ≈ = 0 + Ф₀(5,59) =

= 0 + 0,499999989 = 0,499999989

Ответ: P₂₀₀₀(300) ≈ 0,3656·10^–8, Р(300 ≤ m ≤ 400) = 0,499999989

7.2. Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет предъявляли претензии на полученные страховки. Для проверки было отобрано 4 человека, имеющих полисы. Составить ряд распределения числа претензий, предъявленных по данным полисам (будем считать, что по каждому полису может быть предъявлена только одна претензия). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа претензий. Построить функцию распределения F(x) и её график.

Решение

Пусть А – событие, состоящее в том, что держатель страхового полиса предъявил претензию на страховку. Вероятность такого события равна Р(А) = 30/100 = 0,3

Число m таких событий для n страховщиков подчиняется биномиальному распределению вероятности события А:

p_n(m) = = ,

где р = 0,3 – вероятность осуществления события А в одном случае,

q = 1–p = 1–0,3 = 0,7 – вероятность противоположного события: страховщик не предъявил претензию.

Для m = 0, 1, 2,3, 4 найдем вероятность того, что из 4-х держателей страхового полиса m предъявили претензии.

P₄(0) = = = = 0,2401

P₄(1) = = = = 4·0,1029 = 0,4116

P₄(2) = = = = = 0,2646

P₄(3) = = = = 4·0,0189 = 0,0756

P₄(4) = = = = 0,0081

Результаты сведем в таблицу ряда распределения случайной величины x = m

x
p(x)	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

Имеем: = 0,2401+0,4116+0,2646+0,0756+0,0081 = 1

Математическое ожидание величины Х:

M(x) = = 0·0,2401+1·0,4116+2·0,2646+3·0,0756+4·0,0081 =

= 0+0,4116+0,5292+0,2268+0,0324 = 1,2

Математическое ожидание случайной величины X ²:

M(x²) = = 0²·0,2401+1²·0,4116+2²·0,2646+3²·0,0756+4²·0,0081 =

= 0+0,4116+1,0584+0,6804+0,1296 = 2,28

Дисперсия случайной величины х:

D(X) = M(X²)–[M(X)]² = 2,28–1,2² = 2,28–1,44 = 0,84

Отсюда находим среднеквадратическое отклонение;

σ(X) = = ≈ 0,9165

Построим функцию распределения F(X) случайной величины x:

x
p(x)	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081
F(x)		0,2401	0,6517	0,9163	0,9919

Строим график функции распределения F(X). = P(x ≤ X

Задача № 8

Для непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить графики функций F(x), f(x).

8.2. F(x) =

Решение

Плотность распределения f(x) = F'(x):

f(x) = =

Построим графики F(x) и f(x).

Построим график плотности распределения f(x)

Математическое ожидание:

M(X) = = = =

= = =

= = =

= = =

M(X²) = = = = = =

= = =

= = =

= = = = =

Дисперсия:

D(X) = M(X²) –[M(X)]² = – = = =

Среднеквадратическое отклонение.

σ(X) = = = = = ≈ 0,2357

Вычислим вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения.

||x–M(x)| ≤ σ(X), т.е. ||x– | ≤ , или ≤ x– ≤

≤ x ≤

P(||x–M(x)| ≤ σ(X)) = P( ≤ x ≤ ) = F()–F() =

= F(0,236+1,333) + F(–0,236+1,333) = F(1,569) – F(1,097)

Т.к. аргументы лежат в интервале [1; 2], то имеем:

P(||x–M(x)| = 1–( –2)² – (1–( –2)²) =

= 1–()² – (1–()²) = –()² + ()² =

= –() + () = = ≈ 0,6285

Задача № 9

Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр «а», функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

9.2. f(x) =

Решение

Параметр «а» найдем из условия = 1

+ + = 1

+ + = 1, = 1

= 1, = 1, = 1

= 1, 2 a = 1, откуда a = 0,5

. f(x) =

Функция распределения F(x) =

1) x < 0: F(x) = = = 0

2) 0 ≤ x ≤ π:

F(x) = = F(x) = + =

= 0 + () = –0,5cos x +0,5cos0 = –0,5·cos x +0,5·1 = 0,5(1–cos x)

3) x > π: F(x) = = + + = =

= = –0,5cos π +0,5cos0 = –0,5·(–1) +0,5·1 = 0,5+0,5 = 1

Функция распределения имеет вид:

F(x) =

Математическое ожидание случайной величины х:

M(X) = = =

= =

= = =

= =

= –π·0,5·(–1)+0 + 0,5sinπ –0,5sin0) = 0,5π + 0 +0 = 0,5π

M(X²) = = = =

= = =

= =

= = =

= 0,5π² + π·sin π –0·sin 0 + = 0,5π² +0 –0 + cos π –cos 0 =

= 0,5π² + (–1) –1 = 0,5π² –2

Дисперсия:

D(X) = M(X²) –[M(X)]² = 0,5π² –2 – (0,5π)² = 0,5π² –2 –0,25π² = 0,25π² –2 =

≈ 0,25·3,14² – 2 = 2,465 –2 = 0,465

среднеквадратическое отклонение.

σ(X) = = ≈ = 0,682

10.2. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ = 560 и математическим ожиданием а = 13000. Найти вероятность того, что число заказов окажется: а) более 12000; б) не менее 12000 и не более 14000.

Решение

Рассмотрим нормальное распределение с параметрами a и σ:

f(x) = =

Для вычисления вероятности используется функция Лапласа:

Тогда

Р(α<x<β) = = =

В частности:

а) P(x > 12000) = P(12000 < x < +∞) = =

= = 0,5 – Ф(–1,7857) = 0,5 + Ф(1,7857) = 0,5+ 0,4621 =

= 0,9621

б) P(12000 ≤ x ≤ 14000) = =

= = Ф(1,7857) – Ф(–1,7857) = Ф(1,7857) + Ф(1,7857) =

= 2Ф(1,7857) = 2·0,4621 = 0,9242

Ответ: P(x > 12000) = 0,9621; P(12000 ≤ x ≤ 14000) = 0,9242

11.2 По 15 строительным организациям имеются следующие данные о числе работающих:

№

N

Составить вариационный ряд. Определить, сколько в среднем на одну строительную организацию приходится всего работающих. Найти и построить эмпирическую функцию распределения.

Решение

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.

Обозначим случайную величину (варианту) через Х, частоту значений – через f. Составим вариационный ряд:

№	Хi	fi
Итого

Найдем среднее число работающих на одну строительную организацию.

№	Хi	fi	Хi·fi
Итого

Среднее число работающих в одной строительной организации.

= ≈ 41,4 чел.

Найдем и построим эмпирическую функцию распределения.

Ряд распределения найдем по формуле: p_i = =

№	Хi	fi	pi	F(X)
			0,1333
			0,2667	0,1333
			0,3333	0,4
			0,2667	0,7333
Итого

Построим эмпирический ряд распределения p(X) (полигон):

Построим эмпирическую функцию распределения F(X) = P(x<=X)

Дата добавления: 2015-09-29