Задача 1. непосредственное вычисление вероятности события.

Задача 1. непосредственное вычисление вероятности события. 1.1. В читальном зале имеется 10 учебников по теории вероятностей, из которых 6-в переплёте. Библиотекарь наугад берёт 5 учебников. Какова вероятность, что среди них окажутся: а) только два учебника в переплёте; б) хотя бы один учебник в переплёте? 1.2. Среди 30 студентов группы, из которых 20 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что: а) все билеты достанутся девушкам; б) среди обладателей билетов окажутся 3 юноши? 1.3. В группе 20 студентов, среди которых 5 отличников. Наудачу отобрано 8 студентов. Какова вероятность того, что среди них окажутся: а) только три отличника; б) не менее четырёх отличников? 1.4. В ящике лежит 30 деталей первого сорта и 5 деталей второго сорта. Наудачу вынимают 3 детали. Чему равна вероятность того, что среди них окажутся: а) точно две детали первого сорта; б) хотя бы две детали первого сорта? 1.5. В коробке 7 изделий, из которых 4 окрашены. Наудачу извлекают 3 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) только два окрашенных изделия; б) хотя бы одно окрашенное изделие? 1.6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как велика вероятность, что в нём: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечётные. 1.12. Из 25 студентов 11 имеют спортивные разряды. Найти вероятность того, что выбранные наудачу 4 студента – разрядники. 1.13. В лифт на 1 – м этаже 9-ти этажного дома вошли 6 человек, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го по 9-ый. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на 5 этаже; б) на одном этаже? 1.14.Буквы К, М, О, С, Т, Ю написаны на отдельных карточках. Ученик берёт карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) 3 карточки; б) все 6 корточек. Какова вероятность, что получится слово: а) ток; б) костюм? 1.15. На отдельных карточках написаны три буквы А, две буквы М, две буквы И, одна буква Е, одна буква Т и одна буква К. В случайном порядке карточки перекладываются одна к другой. Какова вероятность, что получится слово «М А Т Е М А Т И К А»? 1.16. По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший 4, 5, 6, видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все 6 цифр; б) 4 цифры. 1.17. В партии 50 изделий, из которых 5 бракованных. Партия произвольно разделена на 2 равные части. Какова вероятность, что все бракованные изделия попадут: а) только в одну партию; б) в обе партии поровну? 1.24. В урне 15 белых и 10 чёрных шаров. Наудачу вынимаются 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них: а) три белых; б) хотя бы один белый. Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 2.1. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из трёх телевизоров потребует ремонта: а) не более одного телевизора; б) хотя бы один телевизор. 2.2. На склад с трёх предприятий поступает продукция первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% изделий второго сорта, в продукции второго – 25% и третьего – 30% второсортных изделий. Чему равна вероятность того, что среди трёх изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными: а) одно изделие; б) два изделия? 2.3. ОТК проверяет партии деталей, изготовленных тремя рабочими. Вероятность того, что будет признана годной партия, изготовленная первым рабочим, составляет 0,97. Аналогичные вероятности для партий, изготовленных вторым и третьим рабочими, равны соответственно 0,95 и 0,92. Какова вероятность, что среди трёх партий деталей (по одной, изготовленной каждым рабочим) окажутся забракованными: а) две партии деталей; б) хотя бы одна партия? 2.9. При изготовлении детали заготовка должна пройти через четыре операции. Появление брака на отдельных операциях – независимые события. При этом вероятность появления брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,01, на третьей – 0,02 и на четвёртой – 0,03. Найти вероятность появления: а) детали с браком, полученной только на одной операции; б) стандартной детали. 2.10. В мастерской работают три станка. За смену первый станок может потребовать наладки с вероятностью 0,15 (и после этого до конца смены ему наладка не потребуется). Для второго станка эта вероятность равна 0,1, а для третьего – 0,12. Считая, что станки требуют наладки независимо друг от друга, найти вероятность того, что за смену потребуют наладки: а) хотя бы один станок; б) только два станка. 2.11. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что эта формула имеется в первом справочнике равна 0,6, во втором – 0,7, в третьем – 0,9. Найти вероятность того, что эта формула содержится: а) только в одном справочнике; б) в двух справочниках; в) в трёх справочниках. 2.12. Телефонист трижды вызывает абонента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0.2; второй вызов – 0.3; третий вызов – 0.4. События, состоящие в том, что вызов будет принят, независимы. Найти вероятность того, что услышит вызов. 2.17. При изготовлении детали заготовка должна пройти четыре операции. Предполагая, что появление брака на отдельных операциях – независимые события, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность появления брака на первой операции равна 0.02; на второй – 0.01; на третьей – 0.05 и на четвёртой – 0.03. 2.18. Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся цели, причём вероятность попадания в неё при первом выстреле равна 0.7, а после, при каждом последующем выстреле она уменьшается на 0,1. Найти вероятность: а) двух попаданий; б) хотя бы одного попадания. 2.19.Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для каждого стрелка соответственно равны 0.8 и0.7. Найти вероятность того, что попадут в цель: а) оба стрелка; б) только один стрелок; в) ни один стрелок. 2.20. рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что каждый из четырёх станков потребует внимания рабочего, соответственно равна: 0.7; 0.4; 0.4; 0.3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания рабочего за время обслуживания. 2.21. На сборку поступили 60 однотипных деталей, из которых 16 деталей изготовлены второй бригадой, 14 – третьей бригадой, а остальные – первой бригадой. Определить вероятность того, что взятая для сборки деталь изготовлена: а) первой бригадой; б) второй или третьей бригадами. Задача 3. Формула Бернулли. Схема независимых испытаний. 3.1. производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0.8. Произведено 5 выстрелов. Какова вероятность того, что при этом в мишени окажется три пробоины? 3.2. Стрелок производит 3 выстрела по мишеням. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле одна и та же и равна 0.8. Найти вероятность поражения цели: а) всеми тремя выстрелами; б) хотя бы двумя выстрелами. 3.3. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0.8. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы с вероятностью, большей 0.4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха? 3.4. Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна 0.2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено: а) четыре выстрела; б) не более трёх выстрелов. 3.5. Какова вероятность того, что хотя бы один из трёх основных узлов (рама, передняя и задняя оси, подвеска) ходовой части автомобиля останется исправным после пробега, если известно, что для каждого узла такая вероятность равна 0.2? 3.12. В ящике лежит несколько тысяч предохранителей. Половина из них изготовлена заводом № 1, половина – заводом № 2. Наудачу вынули 5 предохранителей. Чему равна вероятность того, что заводом № 1 из них изготовлено: а) два предохранителя; б) менее двух предохранителей; в) более двух предохранителей. 3.13. Вероятность хотя бы одного попадания при трёх выстрелах равна 0.96. Найти вероятность двух попавших при трёх выстрелах. 3.14. Вероятность хотя бы одного попадания при трёх выстрелах в цель равна 0.992. Найти вероятность четырёх попаданий при пяти выстрелах. 3.15. В партии 10 деталей. Считая вероятность отключения контролируемого размера от номинала и вероятность контролируемого размера в номинале 0.5, определить вероятность того, что в данной партии 5 деталей с отклонениями от номинала. 3.16. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/7. Какова вероятность, имея шесть билетов, выиграть: а) по двум билетам; б) по трём билетам; в) не выиграть по двум билетам? 3.17. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0.8. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин. 3.18. В семье 8 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, найти вероятность того, что в данной семье: а) не менее пяти мальчиков; б) не более трёх мальчиков. 3.25. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: а) выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? б) не менее 2 партий из 6 или не менее 3 партий из 6? (ничьи не учитываются). Задача. Формулы полной вероятности и Байеса. 4.1. В двух ящиках имеются радиолампы, в первом из них 15 стандартных и 2 с браком, во втором – 10 стандартных и 1 с браком. Из первого ящика наугад взята деталь и переложена во второй ящик, после чего из второго ящика наугад вынута одна деталь. Найти вероятность того, что: а) взятая наугад деталь стандартная; б) деталь оказавшаяся стандартной, первоначально находилась в первом ящике. 4.2.Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое меньше производительности второго. Вероятность изготовить бракованную деталь на первом автомате равна 0,05, на втором – 0,09. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая деталь является стандартной; б) наудачу взятая деталь, оказавшаяся стандартной, изготовление первым автоматом. 4.3. Три контролёра проверяю стандартность однотипных деталей. Один из них успевает проверить вдвое больше, чем остальные (поровну) вместе. Вероятности допустить ошибку у них соответственно равны 0,05; 0,1 и 0,2. Какова вероятность того, что: а) пропущенная ими деталь оказалась с браком; б) прошедшая контроль бракованная деталь пропущена вторым контролёром? 4.7. В магазин поступают однотипные изделия с трёх заводов, причём первый завод поставляет 50% изделий, а второй и третий заводы – 20% и 30% соответственно. Среди изделий первого завода 90% первосортных, второго завода – 80%, третьего – 90%. Куплено одно изделие. Определить вероятность того, что купленное: а) изделие является первосортным; б) первосортное изделие выпущено третьим заводом. 4.8. Из 1000 ламп 640 и 80 принадлежат соответственно первой и второй партиям, остальные – из третьей партии обнаружено 6% бракованных ламп, во второй – 5% и в третьей – 4%. Наудачу выбирают одну лампу. Найти вероятность того, что выбранная лампа: а) годная; б) оказавшаяся годной, принадлежит второй партии. 4.9. На склад поступает продукция трёх фабрик, причём продукция первой фабрики составляет 20%, 2-ой – 45% и 3-ей – 35%. В продукции первой фабрики 5% нестандартных изделий, в продукции 2-ой – 2%, в продукции 3-ей – 1%. Наудачу выбрано одно изделие. Найти вероятность того, что это изделие: а) является стандартным; б) оказавшееся стандартным, произведено на третьей фабрике. 4.10. В 2-х ящиках имеются радиолампы. В 1-ом ящике содержится 15 радиоламп, из которых 2 нестандартные, а во 2-ом – 10 радиоламп, из них 1 нестандартная. Из 2-ого ящика наудачу взята лампа и переложена в 1-ый, после чего из 1-ого ящика наугад извлечена одна лампа. Найти вероятность того, что эта лампа: 4.15. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчёта автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчёт на произвольно взятой машине. Найти вероятность, что до окончания расчёта машина не выйдет из строя. 4.16. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводов №1, 20 деталей – заводом №2 и 18 деталей – заводом №3. Вероятность того, что деталь завода №1 будет отличного качества, равна 0,9, для деталей завода №2 и №3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества. 4.17. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями Р1 = 0,6 и Р2 = 0,4. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов (для этих партий) соответственно равны 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампа проработает заданное число часов. 4.18. Из 18 стрелков 5 попадает в мишень с вероятностью 0,8, 7 – с вероятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. 4.19. Из 10 деталей 4 окрашены. Вероятность того, что окрашенная деталь тяжелее нормальной, равна 0.3, а для неокрашенной детали эта вероятность равна 0.1. Взятая наудачу деталь оказалась тяжелее нормальной. Найти вероятность того, что она окрашена. 4.24. Изделие может поступить для обработки на первый станок с вероятностью 0.2, на второй станок – с вероятностью 0.3 и на третий станок – с вероятностью 0.5. При обработке изделия на первом станке вероятность брака равна 0.02, на втором – 0.3 и на третьем – 0.05. Выбранное наудачу изделие оказалось бракованным. На каком из станков вероятнее всего было обработано это изделие. 4.25.На сборку поступают шестерни, изготовленные на трёх автоматах. Первый изготавливает 25%, второй – 30% и третий – 45% всех изделий. Первый автомат допускает 0.1% брака, второй – 0.2% и третий – 0.3%. Найти вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на первом автомате. Задача 5. Составление законов распределения дискретных случайных величин и нахождение их числовых характеристик. 5.1. На столе стоит 4 телефона. Вероятности того, что в течение часа зазвонит каждый из них, соответственно раны 0,5; 0,6; 0,8 и 0,9. Составить закон распределения числа телефонов, зазвонивших в течение часа, и найти числовые характеристики этого распределения. 5.2. Производится серия из пяти выстрелов. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения числа попаданий в цель и найти числовые характеристики этого распределения. 5.8. В билетном зале 4 кассы. Вероятности того, что с 12ч. до 13ч. они работают, соответственно равны 0,95; 0,9; 0,85 и 0,8. Составить закон распределения числа работающих в течение указанного часа и найти числовые характеристики этого распределения. 5.9. В барабане книжной лотереи осталось 10 билетов, среди которых 4 билета с выигрышем. Наугад вынимают 6 билетов. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди них и найти числовые характеристики этого распределения. 5.10. В типографии имеются 4 плоскопечатные машины. Для каждой машины вероятность того, что она в данный момент работает, равна 0,9. Составить закон распределения числа работающих сейчас машин и найти числовые характеристики этого распределения. 5.11. В гараже 10 автомашин, среди которых 4 машины требуют ремонта. На линию выпущено 5 машин. Составить закон распределения числа машин, требующих ремонта, среди выпущенных на линию и найти числовые характеристики этого распределения. 5.12.В билете 3 задачи. Вероятность правильного решения 1-ой задачи = 0,7; 2-ой - 0,6 и 3-ей-0,9. Составить закон распределения числа правильно решённых задач и найти числовые характеристики этого распределения. 5.13. Вероятность попадания в цель при 1-ом выстреле = 0,7 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий при 3-х выстрелах и найти числовые характеристики этого распределения. Задача 6. Непрерывные случайные величины. Случайная величина Х задана функцией распределения F (х). найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить график y = F (х), y =f (х) 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.21. 6.22. 6.23. 6.24.

1.7. У сборщика 10 деталей. Из них 4 детали первого вида, по 2 детали второго, третьего и четвёртого видов. Наудачу выбирается 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) три детали первого вида; б) три детали первого вида, две второго и одна – третьего вида. 1.8. Студент знает 30 из 45 вопросов программы. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса билета; б) только два вопроса билета. 1.9. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут: а) две женщины и один мужчина; б) хотя бы две женщины. 1.10. В партии из 300 деталей находятся 200 деталей первого сорта, 60 деталей второго сорта, остальные – третьего сорта. Наудачу отобрано 3 детали. Какова вероятность того, что среди них: а) две детали первого сорта; б) хотя бы одна деталь первого сорта? 1.11. В урне находится 5 белых, 4 чёрных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекается один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – чёрный, при третьем – синий. 1.18. В магазине было продано 15 из 25 телевизоров двух марок, имеющихся в количествах 9 и 16 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для каждого телевизора одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными телевизоры а) одной марки; б) двух разных марок. 1.19. Студент знает 35 из 40 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 4 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает а) все 4 вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета. 1.20. Из 25 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для проверки случайным образом отобрали 7 сбербанков. Какова вероятность, что среди отобранных окажется в черте города: а) 4 сбербанка; б) хотя бы 1 сбербанк. 1.21. В магазине 35 холодильников, среди которых 15 импортных. В течение дня продали 8 холодильников. Какова вероятность, что среди проданных окажется более четырёх импортного производства? 1.22. В партии 30 деталей 5 дефектных. Найти вероятность того, что среди 10 отобранных деталей окажутся 2 бракованных. 1.23. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика». 2.4. На участке установлены 3 станка. Вероятность выхода из строя первого станка при его включении составляет 0,02; для второго станка подобная вероятность равна 0,03, а для третьего – 0,05. Чему равна вероятность того, что при одновременном включении всех станков окажутся работоспособными: а) только один станок; б) хотя бы два станка? 2.5. Вероятность того, что в течение года в радиоприёмнике выйдет из строя лампа № 1, равна 0,25. Вероятности выхода из строя ламп № 2 и № 3 равны 0,15 и 0,1 соответственно. Найти вероятность того, что вышедший из строя радиоприёмник не работает из-за неисправности: а) двух ламп; б) одной лампы. 2.6. Два стрелка стреляют в цель. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком равна 0,7, вторым 0,8. Найти вероятность того, что: а) только один стрелок попадёт в цель; б) оба промахнутся. 2.7. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработают: а) только два устройства; б) все три устройства. 2.8. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся мишени, причём вероятность попадания в неё при первом выстреле равна 0,7, а после, при каждом выстреле, она уменьшается на 0,1. вычислить вероятность попадания в цель: а) один раз; б) два раза. 2.13. Ребёнок играет 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИКА? 2.14. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятности попадания в цель у каждого соответственно равны 0.8; 0.75; 0.7. Найти вероятности: а) одного попадания; б) хотя бы одного попадания; в) двух попаданий; г) трёх попаданий; д) промаха. 2.15. В мастерской работают три станка. За смену первый станок может потребовать наладки с вероятностью 0.15 (и после этого до конца смены ему наладка не потребуется). Для второго станка эта вероятность равна 0.1, а для третьего – 0.12. Считая, что станки требуют наладки независимо друг от друга, найти вероятность того, что бы один станок за смену потребует наладки. 2.16. Прибор, работающий в течение суток состоит из трёх узлов, каждый из которых (независимо от других) может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного из узлов приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0.9, второго – 0.95, третьего – 0.85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно. 2.22. Вытачивается деталь прибора в виде прямоугольного параллелепипеда. Деталь считается годной, если отклонение размера каждого из рёбер от заданного чертежом не превышает 0.01 мм. Вероятности отклонении превышающих 0-0.1 мм. по длине, по ширине и по высоте, соответственно равны 0.08; 0.12; 0.1. Найти вероятность того, что изготовленная деталь непригодна для использования в приборе. 2.23. Изготовлено 30 подшипников, причём 5 из них соответствуют размерам 3 группы ГОСТа, 10 – 2 группы ГОСТа и 15 – 1 группы ГОСТа. На сборку поступили три подшипника. Какова вероятность того, что первый из них принадлежит 3 группе, второй – 2 группе и третий – 1 группе? 2.24. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трёх узлов, каждый из которых независимо от других может в течение этого времени отказать. Отказ хоты бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятности безотказной работы для каждого из узлов соответственно равны: 0.7; 0.8; 0.9. найти вероятность безотказной работы прибора. 2.25. Среди лотерейных билетов книжной лотереи половина выигрышных. Сколько нужно приобрести билетов, чтобы с вероятностью, большей 0.916, ожидать выигрыш хотя бы на один билет, если в барабане 10 билетов? 3.6. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, больше 0.95? 3.7. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут одного цвета. 3.8. В хлопке 70% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 волокон будет не более 8 длинных волокон. 3.9. Вероятность того, что наудачу взятая деталь будет нестандартной, равна 0.1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти деталей будет не более двух нестандартных. 3.10. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0.2, найти вероятность того, что из 6 телевизоров в течение гарантийного срока: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта. 3.11. В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0.8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву: а) перегреются 4 мотора; б) перегреются все моторы; в) ни один мотор не перегреется. 3.19. В среднем 25% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 11 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 6 пакетов; б) будет продано не более 3 пакетов. 3.20. Вероятность малому предприятию стать банкротом за время t равна 0,1. Какова вероятность, что из 6 малых предприятий за время t сохранятся: а) три; б) более четырёх? 3.21.В среднем восьмая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди 12 автомобилей имеют некомплектность: а) четыре автомобиля; б) менее четырёх. 3.22. Производится залп из 5 орудий по некоторому объекту. Вероятность поражения цели для каждого орудия равна 0,8. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого достаточно не менее трёх попаданий. 3.23. В среднем по 20% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 15 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 4 договора; б) менее 3 договоров. 3.24. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,7. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 4 отобранных. 4.4. В ящике находятся изделия, которые изготовили на трёх станках, причём 20 изделий изготовлены на первом станке, 18 – на втором и 14 – на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом станке, на втором и третьем станках, равны 0,7; 0,85 и 0,9 соответственно. Какова вероятность того, что наудачу извлечённое: а) изделие будет отличного качества; б) отличное изделие изготовлено на третьем станке? 4.5. В первой бригаде токарей 2 рабочих имеют первый разряд, 2 рабочих – второй и 5 рабочих – четвёртый. Во второй бригаде 1 токарь имеет первый разряд, 4 токаря – третий и 2 токаря – четвёртый. Из первой бригады во вторую переведён один токарь, после чего из второй бригады наугад выбран один рабочий. Найти вероятность того, что этот рабочий: а) имеет четвёртый разряд; б) имеющий четвёртый разряд переведён во вторую бригаду из первой. 4.6. Изделия поступают для обработки на одну из трёх линий производительностью 6,2 и 8 изделий в час соответственно. Брак может возникнуть на любой из этих трёх линий, причём наблюдения показали появление дефектов: на первой – 10%, на второй – 5%, на третьей – 2% изделий. Считая, что вероятность попадания изделия на ту или иную линию пропорциональна её производительности, необходимо определить вероятность того, что случайно выбранное: а) изделие окажется бракованным; б) бракованное изделие обработано на первой линии. а) оказалась нестандартной; б) оказавшаяся нестандартной, первоначально находилась во втором ящике. 4.11. Три станка предназначены для изготовления однотипных деталей. Вероятность выпуска бракованной детали на первом станке равна 0,03, на втором – 0,02 и на третьем – 0,01. Производительность первого станка в три раз больше производительности второго, а у третьего она в два раза выше, чем у второго. Какова вероятность того, что поступившая на сборку деталь: а) будет бракованной?; б) оказавшаяся бракованной, изготовлена на первом станке. 4.12. Два автомата производят детали, поступающие на общий конвейер. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором – 0,09. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет нестандартной. 4.13. В первом ящике 2 белых и 3 чёрных шара. Во втором – 4 белых и 4 чёрных. Из первого ящика во второй переложили два шара. Какова вероятность вытащить белый шар из второго ящика? 4.14. В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1 и 10 деталей, изготовленных заводом №2. Сборщик последовательно вынимает детали из ящика одну за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет вынута деталь, изготовленная заводом №1. 4.20. В спартакиаде участвуют 4 студента из первой группы, 6 студентов из второй группы и 5 из третьей. Студент первой группы может быть зачислен в сборную команду института с вероятностью 0.9, студент второй группы – с вероятностью 0.7 и студент третьей группы – с вероятностью 0.8. Один из студентов указанных групп попал в сборную. В какой группе вероятнее всего учился этот студент? 4.21. В электрическую цепь может быть поставлен предохранитель одного из двух типов. При перегрузке срабатывает первый предохранитель с вероятностью 0.8, а второй – с вероятностью 0.9.Предохранитель первого типа может быть поставлен в цепь с вероятностью 0.6, второго типа – с вероятностью 0.4. Цепь собрана. Какой предохранитель вероятнее всего в ней стоит. 4.22. Три стрелка одновременно выстрелили в мишень, после чего в ней были обнаружены две пробоины. Найти вероятность того, что третий стрелок попал в мишень, если вероятности попадания в мишень у стрелков соответственно равны 0.6, 0.5, 0.4. 4.23. Вся продукция проверяется 2-мя контролёрами. Вероятность того, что изделие попадёт на контроль к 1-ому контролёру, равна 0.55, ко 2-ому – 0.45. Вероятность того, что 1-ый контролёр пропустит нестандартное изделие, равна 0.01, вероятность того, что пропустит 2-ой, равна 0.02. Взятое наудачу изделие с маркой «стандарт» оказалось бракованным. Какова вероятность того, что его пропустил второй контролёр? 5.3. Четверо баскетболистов бросают мяч в корзину. Вероятности попадания у них соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7 и 0,8. Составить закон распределения числа промахов при однократном бросании каждого и вычислить числовые характеристики распределения. 5.4. В урне 10 белых и 5 чёрных шаров. Наугад последовательно по одному вынимают 4 шара, всякий раз возвращая шар обратно в урну. Составить закон распределения числа чёрных шаров среди вынутых и найти числовые характеристики распределения. 5.5. На табло 10 сигнальных лампочек, среди которых 4 лампочки сигнализируют о работе некоторого устройства. Случайным образом загружается 5 лампочек. Составить закон распределения числа лампочек, сигнализирующих о работе данного устройства, и вычислить числовые характеристики этого распределения. 5.6. При отладке программы на ЭВМ все возможные ошибки разбиты на 4 разряда. При составлении программы вероятности не допустить ошибки 1, 2, 3 и 4 разрядов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7 и 0,65. Составить законы распределения числа ошибок, обнаруженных при отладке программы, и найти числовые характеристики этого распределения. 5.7. На АТС каждые 5 минут могут поступить 4 заявки на телефонный разговор с вероятностями 0,6; 0,7; 0,75 и 0,8. Составить закон распределения числа поступивших заявок и вычислить числовые характеристики этого распределения. 5.14. Найти закон распределения числа пакетов трёх акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равно 0,8; 0,4 и 0,7 соответственно Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения. 5.15. Из 12 телевизоров на выставке 5 оказались фирмы «Самсунг». Наудачу для осмотра отобрано 3. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Самсунг» среди 3 отобранных и найти числовые характеристики этого распределения. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х1 и х2, причём х1< х2. Известны вероятность р1, возможного значения х1, математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (Х). Найти закон распределения этой случайной величины. 5.16. р1 = 0,1; М (Х) = 3,9; D(Х) = 0,09. 5.17. р1 = 0,3; М (Х) = 3,7; D(Х) = 0,21. 5.18. р1 = 0,5; М (Х) = 3,5; D(Х) = 0,25. 5.19. р1 = 0,7; М (Х) = 3,3; D(Х) = 0,21. 5.20. р1 = 0,9; М (Х) = 3,1; D(Х) = 0,09. 5.21. р1 = 0,9; М (Х) = 2,2; D(Х) = 0,36. 5.22. р1 = 0,8; М (Х) = 3,2; D(Х) = 0,16. 5.23. р1 = 0,6; М (Х) = 3,4; D(Х) = 0,24. 5.24. р1 = 0,4; М (Х) = 3,6; D(Х) = 0,24. 5.25. р1 = 0,2; М (Х) = 3,8; D(Х) = 0,16. 6.6. 6.7. 6.8. . 6.9. 6.10. 6.11. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. 6.25. Расчетно– графическая работа № 3 (ч. 2) “Элементы теории вероятностей ” для специальностей 210700 “Автоматика, телемеханика и связь на ж/д тр– те” Составила Багрова В.Н.

Дата добавления: 2015-09-29