№1. Составить уравнение плоскости по точке и векторам .

ВАРИАНТ №1

№1. Составить уравнение плоскости по точке и векторам .

№2. Составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам .

№3. Найти единичный нормальный вектор плоскости .

№4. Найти угол между плоскостями

№5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно оси .

№6. Найти расстояние от точки до плоскости .

ВАРИАНТ №2

№1. Составить уравнение плоскости по точкам .

№2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и начало координат.

№3. Составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали .

№4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(2,5,-3) перпендикулярно вектору , если В(7,8,-1) и С(9,7,4).

№5. Построить плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости .

№6. Найти расстояние между параллельными плоскостями .

Решение и ответы

ВАРИАНТ №1

№1. Решение: Составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:

Раскрываем определители второго порядка:

Проводим дальнейшие упрощения и получаем уравнение плоскости:

Ответ:

№2. Решение: составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

Ответ:

№3. Решение: Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через .

Векторы коллинеарны.

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Ответ:

№4. Решение: Обозначим . Используем формулу:

За угол между плоскостями примем острый угол:
Ответ:

№5. Решение: Так как плоскость перпендикулярна оси , то вектор является вектором нормали для данной плоскости. Уравнение плоскости составим по точке и вектору нормали :

Ответ:

№6. Решение:

Ответ:

Вариант №2

№1. Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:

Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:

Ответ:

№2. Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам :

Ответ:

№3. Решение: Используем формулу:

Ответ:

№4.Решение. Найдем . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку: А(х- )+В(у- )+С(z- )=0. Имеем 2(x-2)-1(y-5)+5(z+3)=0 ⇒ 2x-y+5z+16=0.

Ответ: 2x-y+5z+16=0.

№5. Решение: Обозначим известную плоскость через . По условию требуется найти плоскость , которая параллельна плоскости и проходит через точку .

Выполним схематический чертёж, который поможет быстрее разобраться в условии и понять алгоритм решения:

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали.

1) Из уравнения найдём вектор нормали плоскости: .

2) Уравнение плоскости составим по точке и вектору нормали :

Ответ:

№6. Решение: Используем формулу:

Ответ:

Дата добавления: 2015-09-29