.
З цієї формули та властивості 5 витікає, що модуль вектора дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його координат:
. (1.7)
Скалярний добуток застосовують:
1) для знаходження косинуса кута між векторами:
. (1.8)
За допомогою цієї формули одержуємо формули для напрямних косинусів вектора (тобто косинусів кутів між вектором і координатними осями):
;
;
;
З цих формул легко побачити геометричний зміст координат 
, 
, 
вектора 
: , , - це проекції вектора на координатні осі 
, 
, 
відповідно. Крім того, легко перевірити, що 
;
2) для знаходження проекції вектора на вектор:
; (1.9)
3) для перевірки перпендикулярності векторів: якщо 
, то вектори перпендикулярні;
4) для знаходження роботи сили 
на переміщенні 
:
.
Векторний добуток 
векторів і 
у геометричній формі дорівнює вектору, модуль якого дорівнює добутку модулів векторів-співмножників і синуса кута між ними, а спрямований вектор-добуток перпендикулярно векторам і таким чином, що вектори , , та складають праву трійку векторів (тобто таким чином, що з кінця вектора оберт вектора до 
вектора до їх суміщення виглядає спрямованим проти руху стрілки годинника) (рис. 1.10.).
Таким чином, за означенням
,
, 
і вектори , 
, 
складають праву трійку векторів.
Легко бачити, що модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-співмножниках (див. Рис. 1.10). У цьому полягає геометричний зміст векторного добутку.
Для з’ясування механічного змісту векторного добутку прикладемо вектор у точці 
і з його кінця 
відкладемо вектор (рис. 1.11). Тоді векторний добуток являтиме собою момент вектора відносно точки : 
. У цьому полягає механічний зміст векторного добутку.
Векторний добуток має такі властивості:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
, якщо і колінеарні, й навпаки.
Зверніть увагу на першу властивість. На відміну від добутку чисел й скалярного добутку векторів, які не змінюються при перестановці співмножників, векторний добуток при перестановці співмножників змінює свій знак на протилежний. Ця властивість часто зветься антипереставною.
Векторний добуток векторів 
та 
у координатній формі матиме вигляд:
. (1.10)
Векторний добуток може бути використаний:
1) для знаходження площі паралелограма, побудованого на векторах і :
;
2) для знаходження площі трикутника, побудованого на векторах і :
; (1.11)
3) для обчислення момента сили 
, що прикладена у точці 
відносно точки :
.
Мішаний добуто к 
трьох векторів , і 
дорівнює скалярному добутку векторного добутка та вектора :
.
Мішаний добуток трьох векторів, що складають праву трійку векторів, дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Якщо ж вектори складають ліву трійку векторів, то їх мішаний добуток дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятому зі знаком мінус. У цьому полягає геометричний зміст мішаного добутку трьох векторів.
Мішаний добуток має такі властивості:
1. 
;
2. 
(циклічна перестановка).
Крім того, зрозуміло, що мішаний добуток має всі властивості скалярного та векторного добутків векторів.
Для векторів , , 
, що задані у координатній формі мішаний добуток матиме вигляд:
. (1.12)
Мішаний добуток трьох векторів може бути використаний:
1) для знаходження об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , :
;
2) для знаходження об’єму тетраедра (піраміди), побудованого на векторах , , :
;
3) для перевірки компланарності (лінійної залежності) векторів:
якщо 
, то вектори , , - компланарні (лежать в одній площині) й лінійно залежні;
4) для з’ясування, чи складають вектори , , ліву або праву трійку векторів:
якщо 
, то трійка векторів права, якщо 
, то трійка векторів ліва.
Приклад 1.10. Дана піраміда з вершинами 
, 
, 
, 
. Знайти довжину ребра 
, площу грані 
, об’єм піраміди, а також довжину висоти піраміди, опущеної з вершини 
, та кут нахилу ребра 
до грані .
Розв’язок. Введемо до розгляду вектори 
, 
, 
. За формулою (1.4) одержимо:
Аналогічно отримаємо:
;
.
Тоді довжину ребра легко знайдемо за формулою (1.7):
.
Площу грані знайдемо за формулою (1.11):
.
За формулою (1.10) знаходимо:
.
.
Знайдемо об’єм піраміди:
.
Позначимо через 
довжину висоти піраміди, опущеної з вершини на грань . Тоді
,
тому що 
перпендикулярна до грані . За формулою (1.9)
.
Через те що 
, а 
, то
.
Зауважимо, що можна також знайти й за формулою
.
Позначимо через 
величину кута між ребром та гранню , а черев 
величину кута між та 
. Тоді
.
Через те, що 
,
.
Відповідь; 
; 
; 
; 
; 
.
1.5. Рівняння лінії на площині. Криві другого порядку.
Метод координат дозволяє задавати лінії їхніми рівняннями.
Рівняння 
є рівнянням лінії у прямокутній системі координат 
, якщо йому задовольняють координати 
, 
будь-якої точки цієї лінії та будь-яка пара чисел , , що задовольняє цьому рівнянню, являє собою координати деякої точки цієї лінії.
Таким чином, якщо рівняння лінії задано у вигляді то лінія являє собою множину точок площини , координати яких задовольняють даному рівнянню.
Слід запам’ятати дві основні задачі аналітичної геометрії:
1. за заданими геометричними властивостями лінії скласти її рівняння;
2. за заданим рівнянням лінії з’ясувати її геометричні властивості.
Приклад 1.11. Колом зветься множина точок площини, однаково віддалених від заданої точки, що зветься центром кола. Вивести рівняння кола.
Розв’язок. Нехай точка 
- центр кола, 
- відстань від будь-якої точки 
кола до центра (радіус кола); 
. Через те що 
маємо 
. Це і є рівняння кола радіуса з центром у точці .
Приклад 1.12. З’ясувати вигляд кривої, заданої рівнянням
.
Розв’язок. Рівняння кривої можна переписати в такій формі:
.
З цього рівняння витікає, що кожна точка 
кривої знаходиться на одній і тій самій відстані 
від точки 
і, отже, крива являє собою коло з центром в точці та радіусом .
Слід звернути увагу, що аналогічно до рівняння кола виводять канонічне рівняння еліпса
і канонічне рівняння гіперболи
з центром в точці 
й півосями 
та 
, а також канонічне рівняння параболи
з вершиною і параметром 
.
На практиці часто користуються канонічними рівняннями кривих другого порядку, у яких 
, 
.
1.6. Пряма лінія на площині.
Треба засвоїти, що пряма визначається точкою на ній та напрямком. Напрямок можна задати або нормальним (перпендикулярним до прямої), або напрямним (паралельним до прямої) вектором.
Якщо напрямок прямої задано нормальним вектором 
і відома точка на прямій (рис. 1.12), то її рівняння має вигляд:
. (1.13)
Розкривши в даному виразі дужки і позначивши 
, отримаємо загальне рівняння прямої:
. (1.14)
Як, і у виразі (1.13), тут , - координати нормального вектора прямої.
Якщо - точка на прямій, а 
- напрямний вектор (рис. 1.12), то її рівняння можна записати у вигляді
. (1.15)
Розв’язавши рівняння (1.14) відносно змінної , отримаємо рівняння прямої лінії з кутовим коефіцієнтом:
,
де 
- кутовий коефіцієнт прямої; 
- величина відрізка, що відтинається прямою на осі ординат.
Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу прямої, тобто кута між позитивним напрямком осі абсцис та прямою (див. рис. 1.12).
Використовуючи рівняння (1.15), легко записати рівняння прямої лінії, що проходить через дві задані точки 
і 
. Дійсно, у цьому випадку за напрямний вектор прямої можна взяти вектор 
, а як задану точку - або точку , або точку , і шукане рівняння прямої записати у вигляді
. (1.15)
Легко зрозуміти, що кут між прямими дорівнює куту 
між їхніми нормальними або напрямними векторами. В обох випадках косинус кута між прямими можна знайти за формулою (1.8). При цьому слід мати на увазі, що спрямувавши на одній з прямих нормальний або напрямний вектор у другий бік, отримаємо інший кут, що доповнює перший до 
. Якщо прямі лінії задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом, то тангес кута між ними визначається формулою:
.
З цієї формули витікає, що, якщо 
, то прямі паралельні, а якщо 
, то прямі перпендикулярні.
Приклад 1.13. Написати рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до заданої прямої , та рівняння прямої, шо проходить через ту саму точку перпендикулярно до заданої прямої.
Розв’язок. У першому випадку шукана пряма повинна мати той самий нормальний вектор, що й задана пряма, тобто 
. Скориставшись формулою (1.13), одержимо рівняння шуканої прямої:
.
У другому випадку легко помітити, що нормальний вектор 
заданої прямої може бути обраний як напрямний вектор шуканої прямої. Скориставшись формулою (1.15), отримаємо рівняння прямої, перпендикулярної до даної:
.
Зауваження. Так само розв’язують задачу й у тому випадку, кали рівняння заданої прямої записано у вигляді . У цьому випадку пряма, паралельна заданій, буде мати рівняння 
, а перпендикулярна заданій - рівняння
.
Приклад 1.14. Знайти проекцію точки 
на пряму, що проходить через точки 
та 
(рис. 1.13).
Розв’язок. Проекція точки на пряму - це основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. Для її отримання досить розв’язати разом рівняння прямої 
та прямої, що проходить через точку перпендикулярно до .
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 24 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |