Тема: Аналіз експертних оцінок Ранжування об’єктів за певною ознакою. Коефіцієнт рангової кореляції. Ранжування об’єктів багатьма експертами. Поєднані ранги. Коефіцієнт рангової кореляції

Тема: Аналіз експертних оцінок

1. Ранжування об’єктів за певною ознакою.
2. Коефіцієнт рангової кореляції.
3. Ранжування об’єктів багатьма експертами.
4. Поєднані ранги. Коефіцієнт рангової кореляції у випадку наявності поєднаних рангів.
5. Узгодженість експертних оцінок. Коефіцієнт конкордації.

Процес впорядкування однорідних об’єктів за кількісною або якісною ознакою називають ранжуванням. Порядковий номер, якого набуває об’єкт після ранжування, називають рангом об’єкту. Спеціалістів, які виконують ранжування об’єктів, називають експертами. Ранг об’єкту, присвоєний експертом, називають експертною оцінкою.

Нехай з деякої сукупності, що характеризується кількісними ознаками Х і Y, здійснена вибірка об’ємом n. За відомими величинами ознак об’єктів (х_і; у_і) шляхом їх ранжування (порівняння) визначені ранги (), де і = 1, 2, …, n.

Взаємозв’язок між ознаками Х і Y можна оцінити за допомогою коефіцієнта лінійної кореляції або коефіцієнта кореляції Пірсона:

(1)

де вибіркові середні арифметичні значення ознак Х і Y.

Якщо у виразі (1) замінити чисельні значення ознак (х_і; у_і) їх рангами (), то взаємозв’язок між ознаками Х і Y уже буде описуватись коефіцієнтом рангової кореляції або коефіцієнтом кореляції Спірмена:

(2)

де

Ранги об’єктів вибірки об’ємом n є обмеженими величинами: 1≤ ≤ n; i = 1, 2, …, n. Сума рангів об'єктів за певною ознакою є фактично сумою чисел від 1 до n, тобто

(3)

Тоді

. (4)

З врахуванням даних умов в математиці доведено, що

(5)

(6)

Використовуючи тотожні заміни (5) і (6), формулу для розрахунку рангової кореляції (2) можна спростити до такого вигляду:

(7)

Значущість кореляції між ознаками Х і Y оцінюється шляхом порівняння коефіцієнта рангової кореляції r_s, обчисленого за формулою (7), з критичним значенням r_s* = r_s (α;n), яке знаходять за таблицею (див. Свердан П.Л., додаток, табл. 18, с. 320).

Якщо r_s > r_s*, то з ймовірністю Р > 1–α можна стверджувати, що кореляційний зв’язок між величинами Х і Y є достовірним.

Порядок дослідження кореляційного зв’язку між ознаками Х і Y за допомогою коефіцієнта рангової кореляції покажемо на прикладі.

Експертна оцінка об’єктів з якісною ознакою не є однозначною. Експертні оцінки тих самих об’єктів у різних експертів можуть бути різними. Характеристикою узгодженості експертних оцінок двох експертів є коєфіцієнт рангової кореляції.

Розглянемо ранжування об’єктів за оцінками k експертів.

Таблиця № 3

Об’єкт	Експерт	Сума	Підсумковий ранг
1	2		j		k
1	z11	z12		z1j		z1k		z1
2	z21	z22		z2j		z2k		z2
i	zi1	zi2		zij		zik		zn
n	zn1	zn2		znj		znk		zn

В даній таблиці кожен об’єкт позначається номером і = 1, 2, …, n; кожен експерт – номером j = 1, 2, …, k; z_ij- ранг і -го об’єкта, наданий j -тим експертом; - сума рангів, які надані і -му об’єкту усіма експертами.

Підсумковий ранг z_i визначається колективом експертів за сумою рангів у порядку зростання.

При ранжуванні n об’єктів за ознакою Х можливі випадки, коли два або більше об’єктів є подібними за досліджуваною ознакою. Такі об’єкти об’єднують в групу. Позначимо ν – число груп об’єктів з подібними ознаками, а - число об’єктів у -й групі, =1, 2,..., ν. Об’єктам групи надають однакові ранги, які називають поєднаними. Поєднаний ранг визначають як середнє арифметичне рангів об’єктів групи при їх довільному розташуванні один за одним в загальній впорядкованій сукупності.

Оцінка кореляційного зв’язку між ознаками Х і Y з поєднаними рангами проводиться за допомогою коефіцієнта кореляції Спірмена (2). В даному випадку при спрощенні виразу (2) використовують такі співвідношення:

(8)

де

(9)

де .

(10)

З врахуванням тотожніх співвідношень (8), (9) і (10) формула (2) для коефіцієнта кореляції Спірмена набуває вигляду:

(11)

За умов формулу (11) можна спростити до такого кінцевого вигляду:

(12)

Мірою узгодженості експертних оцінок, проведених двома експертами є коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.

Мірою узгодженості експертних оцінок, проведених більшою кількістю експертів (k > 2) є коефіцієнт конкордації.

Опишемо алгоритм розрахунку коефіцієнта конкордації.

Експертні оцінки та їх аналіз зводять в таблицю.

Таблиця № 5

Об’єкт ранжу-вання	Експерт
1	2		j		k
1	z11	z12		z1j		z1k
2	z21	z22		z2j		z2k
i	zi1	zi2		zij		zik
n	zn1	zn2		znj		znk
–	t1	t2		tj		tk	–

У таблиці 5 такі ж позначення, як і в таблиці 3; - поправка на поєднані ранги у j -го експерта.

Для пояснення змісту останнього стовпця таблиці 5, розглянемо суму рангів, наданих одним експертом усім об’єктам ранжування (ця сума є спільною для усіх експертів):

загальну суму рангів для k експертів:

та середню суму рангів, що належить одному об’єкту ранжування:

Тоді - це квадрат відхилення суми рангів , наданих і -му об’єкту усіма експертами, від середньої суми рангів, що належить одному об’єкту ранжування; - це сума квадратів відхилень від середньої суми рангів. Максимальна сума квадратів таких відхилень відповідає повній узгодженості в ранжуванні усіма експертами.

Для випадку відсутності поєднаних рангів доведено, що максимальна сума квадратів відхилень дорівнює

В зв’язку з цим коефіцієнт конкордації (узгодженості) експертних оцінок у випадку відсутності поєднаних рангів визначається за формулою:

(13)

Якщо експертні оцінки усіх експертів повністю збігаються, то коефіцієнт конкордації дорівнює одиниці. Чим гірше узгодження експертних оцінок, тим коефіцієнт конкордації менший від одиниці.

Коефіцієнт конкордації w пов’язаний із середнім коефіцієнтом рангової кореляції для всіх пар експертів таким співвідношенням:

. (14)

При наявності у експертних оцінках поєднаних рангів коефіцієнт конкордації обчислюється за такою наближеною формулою:

(15)

Критерієм значущості коефіцієнта конкордації є величина:

ƒ , (16)

яка має розподіл, близький до розподілу Фішера-Снедекора з числами ступенів вільності ν₁ = n – 1; ν₂ = (n – 1)(k – 1) –2.

Експертні оцінки вважаються узгодженими на рівні значущості α, якщо

ƒ > ƒ*. Критичне значення критерію ƒ* = ƒ (p = 1 – α; ν₁ = n-1; ν₂ = (n-1)(k-1) –2) знаходять за таблицею розподілу Фішера-Снедекора (див. Свердан П.Л., додаток, табл. 7, 8, с. 308-311).

Здебільшого число об’єктів n і число експертів k такі, що виконується нерівність

ν₂ >> ν₁ або (n – 1)(k – 1) – 2 >> n – 1. (17)

При виконанні умови (17) значущість конкордації можна оцінювати за допомогою критерію c² з числом ступенів вільності ν = n–1:

c² = k (n – 1) w. (18)

Якщо c² > c²*, то на рівні значущості α можна стверджувати про одностайність експертного оцінювання об’єктів за досліджуваною ознакою.

Критичне значення критерію c²* = c(р = 1 – α; ν = n – 1) знаходять за таблицею

Критичні значення коефіцієнту рангової кореляції r_c

n	ρ	n	ρ	n	Ρ	n	ρ
0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01
	0,94	–		0,54	0,68		0,42	0,53		0,36	0,45
	0,85	–		0,52	0,66		0.41	0,52		0,34	0,45
	0,78	0,94		0,50	0,64		0,40	0,51		0,34	0,44
	0,72	0,88		0,48	0,62		0,39	0,50		0,33	0,43
	0,68	0,83		0,47	0,60		0,38	0,49		0,33	0,43
	0,64	0,79		0,46	0,58		0,38	0,48		0,33	0,43
	0,61	0,76		0,45	0,57		0,37	0,48		0,32	0,41
	0,58	0,73		0,44	0,56		0,36	0,47		0,32	0,41
	0,56	0,70		0,43	0,54		0,36	0,46		0,31	0,40

Дата добавления: 2015-09-29