1)Волны Д.Б. Фазовая и групповая скорости волн Д.Б.

1)Волны Д.Б. Фазовая и групповая скорости волн Д.Б.

Волны, связанные с любой движущейся материальной частицей. Любая движущаяся частица (например, электрон) ведёт себя не только как локализованный в пространстве перемещающийся объект - корпускула, но и как волна, причём длина этой волны даётся формулой = h/р, где h = 6.6^.10^-34 Дж^.сек – постоянная Планка, а р – импульс частицы. Эта волна и получила название волны де Бройля. Если частица имеет массу m и скорость v << с (с – скорость света), то импульс частицы р = mv и дебройлевская длина волны связаны соотношением = h/mv.
Волновые свойства макроскопических объектов не проявляются из-за малых длин волн. Однако для микрочастиц длины волн лежат в доступной наблюдению области.
Существование волн де Бройля доказано многочисленными экспериментами, в которых частицы ведут себя как волны. Так при рассеянии пучка электронов с энергией 100 эВ на упорядоченной системе атомов кристалла, играющего роль дифракционной решётки, наблюдается отчётливая дифракционная картина. Существование волн де Бройля лежит в основе работы электронного микроскопа, разрешающая способность которого намного порядков выше, чем у любого оптического микроскопа, что позволяет наблюдать молекулы и атомы, а также в основе методов исследования таких сверхмалых объектов, как атомные ядра и элементарные частицы, бомбардировкой их частицами высоких энергий. Метод дифракции частиц в настоящее время широко используется при изучении строения и свойств вещества.

2)Статическое толкование волн де Бройля.

3) Волновая функция, её свойства (конечность, однозначность, непрерывность). Вероятность

Местонахождения частицы.

-трехмерная волновая функция. -вероятность местонахождения частицы.

- условие нормировки.

Поскольку мы вкладываем в вероятностный смысл, тогда волновая функция в квантовой механике должна быть – непрерывной, конечной, однозначной(связанно с непрерывностью переноса массы)

4)Принцип суперпозиции состояний. Если система находиться в состояниях то она может находиться и в более сложном состоянии, представляющее собой суперпозицию простых состояний. ,,,, - амплитуда частных состояний.

5)Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Для квантовой частицы - импульс является ф-цией длины волны и несвязан с координатой . Так как пакет волн Д.Б. обладает дисперсией, то пакет волн с течением времени расплывается . В квантовых ансамблях осуществляется только такие состояния, при которых нельзя измерить одновременно координату и импульс , , - в квантовых ансамблях, чем точнее мы будем измерять энергию, тем больше проводить измерений.

6)Операторная форма квантовой механики.

Оператор - это символ, который показывает, каким образом один класс функций сопоставляется другому. Выражает действия . Действует на функцию справа и не дейтсует на функцию слева . В квантовой механики применяются только линейные и самосопряженные (эрмитовые) операторы. - лин.опер.-дейтсв.опер. на супер поз.ф-ций =сумме действ. На кажд.функ.отдел.Самосопр.-

7) Вычисление средних значений физических величин в квантовой механике.

х-случ.вел. F(x).f(x)-функция распределения вероятнотси,

-выч.среднего! ,

В квантовой механики выбирают только такие состояния в которых среднее квадрат.отклонение 0. -ур-ние по нахожд.собст.знач и собсьв.волновых функций оператора.

8) Собственные значения и собственные волновые функции операторов, их физический смысл.

-ур-ние по нахожд.собст.знач и собсьв.волновых функций оператора.Как правило это лин.диф.уравн.Решение ЛДР возможно не при любых знач.параметра L,а при опред. собственные значен.опер. и только такие возмож.значения физ.величины L,изображаемой опер. -собст. Волнов.функ.опер.L -вероят.обнар.физ.велич.Собст.волнов.ф-ции опер.ортонормированы,ортогональны и образ.полную ситст.ф-ций:это озн.что любую другую ф-цию,задданн. В этой же области простр.можно разложить по собст.волнов.ф-циям опер.L , К собств.волновм.функциям пред.требования:-конечность,-однозначность,-ортонормировка,-ортогональность,-полнота системы.

9) Операторы, координаты и импульсы микрочастиц.

, , -оператор Лапласа

Для того чтоб получить оператор любой физ.величины нужно выразить ее через коорлинаты и импульс и заменить их на их операторы.

10) Операторы момента импульса, проекции момента импульса.

,,

-анологично для y,z. в сферической ситстеме координат получим тогда и

11) Операторы энергии, гамильтолиан.

-гамильтониан , где

тогда запишем

12) Уравнение Шредингера.

Позволяет рассчитать физические величины для частиц в этом ансамбле в данный момент времени и позволяет найти значение этих величин в любой последующий момент времени подчин. следующим уравнением:

- решение зависит от вида потенциальной энергии.

13) Стационарное ур. Шредингера.

-во многих случаях потен.енерг.является ф-цией координат и не завистит от времени ,

, , , , где - энер.спектр системы собств знач.опер.

14) Частица в потенциальной яме, квантовые энергии.

Для одном.ямы Из усл.непрерывности- тогда

, , -у каждого уровня энергии есть лишь 1 волн.фу.-такой спектр не вырожд. Для трех.ямы

,

, , -то спектр вырожден.

, Степень вырождения завистит от симетрии задачи,чем она выше тем выше вырожд. Если ,то яма незах.частицу.

15) Падение частицы на барьер бесконечной ширины.

для класич.частицы E>Uo-продал.барьер E<Uo-не прод. отражается. Для квантовой частицы 1) ,

B2=0-у частицы нет причин отражаться если она попала во вторую область. -коеф.отражения от барьера. -коеф.прохожд.R+D=1-достоверное событие.

Падение частицы на потенциальный барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

Коэфициент В2 и А2А3 в 3-ей области (тоесть не от чего не отражаеться) , -коэф.прохожд.барьера,частица может пройти барьер непреодалевая его при -тунельный ефект.Т.К.ур-ние Шреде.для1 и для 3-ей области одинаковы,то поле барьера энергии частицы такоеже как и до барьера.При прохожд.через барьер она не тратит энерг.-тун.эфект.Тунель.Эфе.процесс прох.частицы при без потерь энергии.

16) Квантовый гармонический осциллятор.

Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.д.

Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси под действием возвращающей квазиупругой силы . Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид

где - собственная частота классического гармонического осциллятора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме.

Гармонический осциллятор играет также важную роль в описании ансамбля одинаковых частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии (бозоны). Это связано с тем, что энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантны, и разделяющий два соседних уровня интервал энергии равен ћw. При этом любому уровню энергии, определенному целым числом n (т.е. отстоящему на расстоянии nћw от основного уровня), можно сопоставить ансамбль, состоящий из n одинаковых частиц (или квантов), каждая из которых имеет энергию ћw. Переход осциллятора с уровня n на уровень n+1 или n-1 соответствует рождению или уничтожению кванта энергии ћw

17) Энергетический спектр и волновые функции операторов квантового гармонического осциллятора.

-главное орбитальное состояние, n-главное квантовое число,M-орбитальный механический момент,l-орбит.квант.число.m-магнит.квантовое число

-уровни энергии. Энергия осциллятора - дискретная имеет бесконечно много уров.которые наход.на один.растоя.друг от друга При дискретность исчезает Энергет.спектр.одномер.квант.осцилят. - не вырожд.У реаль.трехмер.осцилят.если они изотропны наступает вырожд.

18) Собственные значения и собственные волновые функции операторов М и М.

орбит.квант.число l=k+m -мех.момент квантовой часитцы дискрет. -полином Лагранжа

, -опер.мв2 и мз комутируют между

собой

19) Атом водорода.

1) Помест.ядро в начало коорд. 2) Будем считать, что маса ядра значит. больше массы элект; ядро неподвиж.. Это позволяет раздел.ядерную и электрон. подсистемы и рассматр.только движ.электрона. 3) Будем считать заряд электр.тонечным, который подчиняется закону Кулона: ; Исполь.стац. Ур. Шредингера

Запишем это ур. в системе единиц Хартри: ед. массы- масса электрона, ед. заряда – заряд электрона, ед. действия – постоянная Планка. .

Распишем это уравнение ;

Зная то решение правой части имеет вид: ;

20) Энергетический спектр и волновые функции атома водорода.

, где орбитальное квантовое число. Момент имеет проекции: , ; запишем , (: ) . Коэффициенты обращаются в бесконечность при эти точки надо подавить при нахождении волн. ф-ии . Потенциальная энергия взаимодействия эл-на с ядром уменьшается с удалением от ядра и стремится к некоторой постоянной , при . Решение сильно зависит о того что : (*); точное решение будем искать в , -для подавления особых точек уравнения. Из анализа поведения ф-ии вытекает, что . Найдем 1 и 2 производную и подставим в ур.. (*) и пол ур.

. Получим ур. Относительно членов ряда . Это ур. может выполняться, только если все коеф-ты при равно нулю. Найдем коеф. При : ряд не сходится, чтобы сошлось, надо оборвать ряд. , значит

, где - главное квантовое число, , , где - полином Лабера , Состояние задаваемое с квантовими числами наз. атомной орбиталью

21) Квантовые числа в атоме водорода и их смысл.

, - главное квантовое число, и указывает на величину энергии

, , орбитальное квантовое число и ук. на вел. момента импульса

, , – магнитное кв. число, и ук. на вел. проекции момента импульса , на некоторое произвольное направление .Три величины вполне определяют волновую функцию и поэтому образуют полный набор величин; число их отвечает количеству степеней свободы….

22) Магнетон атома водорода.

Т.к.электр.облако может вращаться вокруг ядра,а эл.обладает зарядом,то должны возникать круговые токи, которые должны рождать магнитный момент

, , -движ.заряда по радиус.отсуцт. -движ.зар.поуглу оцуцтвуует.Вэл.поле сущ.движ.только по углу

S-площадь которую охват.круговой ток(труюочка)

,

, -магнетон бора

23) Геометрическая интерпретация волновых функций.

24) Теория представлений.

, , , ,

, - поворот проекций

, ,

Собственные волновые функции ведут себя как орты, образуя трехмерное ортонормальное, ортогональное пространство, тогда представляют собой проекции

, , ,

представляет собой функцию в представлении.

, , где представляют собой волновые функции в представлении.

25) Матричная форма квантовой механики.

, , , ,

, ,

представляет собой оператор в представлении:

;

называются матричными элементами оператора , соответствующие переходу с i -го в k -тое состояние

Оператор в чужом представлении изображается матрицей

26). Нахождение собственных значений и собственных волновых функций операторов, заданных в

матричной форме.

, , , ,

,

, , , , , :

- система АУ относительно С

Совокупность С представляет собой волновую функцию в R представлении

28)Теория возмущений.

, -опера.возмущ. ур-ние Шред.для возмуш.с-мы,в Н0 или Е0 представлении. ,

29) Теория возмущений в отсутствии вырождения.

Решение ур. сущест.завистит от того вырожд.или невыр.первоноч.сист. , -сист.невырожд. -в нулевом прибл. добавка =среднему значению энергии возмущ.вычисл.по невозмущ.функции. Вотсуцтвии вырождения наблюд.небольш.смещюэнергет.уровней и небольш.изм. волновых функций.

30) Теория возмущений при наличии вырождения.

, ,

Если с-ма вырожд.то под действ.возмущения происх.снятие вырожд.(розш.уровней зоны)

,

31)Вариационный метод Реллея-Ритца.

32) Спин электрона, спиновые волновые функции, спиновые операторы.

Спин электрона, спиновые волновые функции, спиновые операторы.

Спин-явлен.обладания электр.собственного мех.и собств.магнитного момента.

У электр.есть собств.магнит.момент,который может взаимо.с орбит.магнит.момент(спин орбит.взаимодейст.)S=1/2(мех.момент)По этому мех спин на ось -магнит.спин.момент.Поскольку в квант.мех.использ.только само.сопр.и линейн.опер.то спин.операторы тоже. , Во многих случаях спин орбит.момент пренебр. -спиновая волновая функция -индекс= 1/2Вдоль или против оси з! При учете спин-орби.взаимодейст.орбит.мех.момент и спин.мех.момент складыв.как векторы в полный мех момент ,

полный магнитный момент: -фактор.Ланче

33)Полный момент импульса микрочастицы, его свойства.

34) Мульплекатная структура спектров, спин-орбитальное взаимодействие.

35) Принцип тождественности частиц. Симметричные и антисимметричные волновые функции.

Квантовые одинаковые частицы-тожд.т.е.принц.неразличны. Принцип тожд.заключ.в системе тожд.квантовых частиц осущ.только такие состояния которые не изменяються при перестановки любой пары частиц. =, -несущ.фазовый множетель.= , -антисеметр.функция. -симетрич.фу-ция -фермеоны-частицы с полу-целым спином -бозоны(частицы с целым спином)Симетрия сохр.во врем.и простр.

36) Волновые функции для системы фермионов и бозонов. Принцип Паули.

-2частицы - -

для них - - -условие нормировки- - - -число перестановок -Из этого следует принцеп Паули (спроведлив для фермеонов)-в одном квантовом состоянии немож.быть больше одного фермеона. будет две один.строкив определ.=0, , -частиц нет.Принцеп Паули не распространяеться на бозоны (их может быть много в одном квантовом состоянии)

37) Качественная картина атома гелия.

Пренебрежем спин орбитальным взаимодействием:

Теперь пренебрежем спин-спиновым взаимодействием:

;

;

-имеют не определенные значения;

Возможна еще одна функция

Гелий разбивается на два класса: 1) - ортогелий (симетричние функции)

2) - парагелий (анти-симетричние функции) У парагелия уровни должны быть синкретные (одиночные), а у ортогелия – триплетные.

38) Расчет атома гелия методом теории возмущений.

Проведем расчет этого уравнения методом возмущений: (возмущение); Невозмущенное состояние:

1)

2)

Невозмущенному уровню енергии соответствует 2 волновые функции, тесть двухкратно вироджений(обменное вырождение) Для расчета применим теор возмущ. для вироджений:

Совокупность представляет собой волновую функцию

Возмущенной системи в Н представлениях

Подставив в нашу систему +A и –А мы получем:

Общая функция представляет собой произведение координатной функ на спиновую:

парагелий

ортогелий

39) Обменный интеграл, обменная энергия.

По скольку электрон в атоме представляет собой заряженное облако, то Можно рассматривать как среднюю плотность эл заряда точки для электрона, находящегося в ином состоянии. второй электрон представляет собой кулоновскую энергию взаимодействия двух электронных облаков. (кулоновские интегралы)

-срд. Плотность эл заряда в точке r,когда частью своей електрон находится в нном состоянии, частью в мном состоянии , -энергия кулоновского взаимодействия двух електронов из которых находится частью в нном,частью в ммном состоянии. Это случай перекритих ф-ий електронов

- обменные интегралы

Энергия взаимодействия двух облаков –это кулоновское взаимодействие, однако при антипаралельной ориентации спинов часть энергии имеет знак -, что означает притяжение этих облаков.Электроны при перекрытии волновых ф-ии обмениваются между собой состояниями и время етого процесса:

42) Молекула водорода.

Электронная подсистема легкая, ядерная -тяжелая.Позволяет разделить систему на

и

Енергия эл. Подсистемы будет зависить от энергии взаимодействия ядер, как от параметра.Стационарное уравнение Шредингера:

Возможно два решения:

1) Вкачестве невозмущенной системы принемается система с безконечно удаленними ядрами.

Тога получим: (далее смотри атом гелия)

2)

Такая запись справедлива только корда . Корда ми начинаемс ближать ядра изменняюися волновие функции тогда

И енергия имет вид

Так как волновая функция не ортогональная и не ортонормированая то -степень не ортогональности.Решение возможно только в том случае, если правая часть ортогональна к волновим ф-ям. Тогда получится

Ортоводород параводород

Молекула образуется только в том случае сумарний спин рамен 0.

A-ето обменный интеграл.

Обменная енергия есть следствием квантових ефектов.

43) Уравнение Шредингера для твердого тела.

-ур.Шреденгера для системы многих частиц,если относ.скорость частиц <<C(взаимод.мгновенное)

44) Движение электрона в периодическом потенциальном поле решетки.

Так как атомы расположены периодически то электрон будет изменять свою энергию также периодически:

Потенциальная энергия периодическая

Поскольку функция периодическая то ее мона разложить в ряд Фурэ

В результате получаем уравнение (*) которое представляет собой уравнение Шредингера для электрона, в Р-представлении. Данное уравнение обладает тем свойством,что в него входят такие аргументы отключающиеся друг от друга на величину

-волновые функции которые надо определить,связаны между собой системой уравнений которую можно получить если К менять на ,где м-целое число.

При решении системы уравнений мы получим бесконечное число решений

E периодически зависит от вектора к в ряд входят как косинуси так и синуси но ми оставляем только косинусы.Решыв последнее уравнение мы найдем совокупность корней потом подставим каждий из них в систему уравнений (*) и решив ее ми получим: -функция Блоха(периодическая)

45) Импульсная эффективная масса электрона.

Для того чтобы определить импульс,надо определить групповую скорость волн описываю.функцией тогда -импульс-первая производная от энергии по волновому вектору(), ,

-сравним эту энергию с энергией свободного электрона - -эфективная масса -опред.второй производ.от энерг.по волнов.вектору. -еа краю зоны масса меняет знак на противопол. -эфект.масса дырок.Эфект.масса в криста.это маса такого свободного котор.он должен был иметь для того чтоб под дейст.внешней чилы преобрести такое же ускорен.как в кристале под действием той же силы.Введение эф.масы позвол.учитывать такое сложение взаимод. с полем крист.решетки при его движ.под дейст.внешнего эл.поля.

Дата добавления: 2015-09-29