Лабораторная работа 1/3
Вязкое трение при низких скоростях
Как известно, сила сопротивления воздуха на низких скоростях прямо пропорциональна скорости тела v. Она возникает вследствие вязкого трения поверхности тела о воздух. В частности, для шара радиуса R можно записать уравнение динамики
,
где 
- коэффициент вязкости. Учитывая, что масса тела 
, где 
- плотность тела, его можно переписать в виде
(1.7)
Задание
1. Смоделируйте процесс торможения стального шара, катящегося по гладкой поверхности (силой трения качения пренебречь). Плотность стали 7800 кг/м3, радиус шара 1 см, начальная скорость 10 м/с, вязкость воздуха 
. Постройте график зависимости скорости от времени.
2. Определите время, за которое скорость шара уменьшится вдвое (время торможения). Зависит ли оно от начальной скорости шара?
3. Исследуйте зависимость торможения от радиуса шара. Постройте две кривые для шаров разных радиусов. Постройте зависимость времени торможения от радиуса.
4. Сравните торможение стального и деревянного (плотность 900 кг/м3 ) шаров одинакового радиуса. Постройте графики, иллюстрирующие эти процессы.
Турбулентное трение
При более высоких скоростях режим ламинарного обтекания нарушается и в следе двигающегося предмета возникают турбулентные вихри. Они гораздо эффективнее отбирают энергию у тела. При этом сила сопротивления становится уже не линейной, а квадратичной функцией скорости, поэтому уравнение движения записывается в виде
,
где 
- коэффициенты вязкого и турбулентного трения соответственно, 
- функция знака скорости (принимает значение –1, если v <0, 0, если v =0, 1 если v >0). Критерием перехода в турбулентный режим считается превышение критического значения числом Рейнольдса:
.
Здесь d – характерный размер тела. Критическое значение зависит от формы тела, для цилиндра оно равно 40, для прочих тел выше, но составляет величину порядка 100. Как видно из уравнения, чем крупнее тело, тем больше его число Рейнольдса при заданной скорости. С этим связано то, что, как правило, для макроскопических тел турбулентное трение является превалирующим.
Действие иных сил
До сих пор мы рассматривали только действие сил трения на тело – соответсвенно, в поле нашего зрения находились только процессы торможения. Но на тела могут действовать и другие силы (приводящие, например, к разгону тела). В этом случае уравнение движения выглядит так
,
откуда получаем дифференциальное уравнение для скорости
Задание
1. Известно, что бегун-спринтер набирает за 2 с скорость 10 м/с и в дальнейшем она сохраняется постоянной на протяжении всей дистанции. Смоделируйте этот процесс и подберите соответствующие параметры задачи (F, m, 
). Вязким трением пренебречь.
2. Рассчитайте время, необходимое бегуну после пересечения финишной черты для сбавления скорости до 1 м/с. (считать, что после ее пересечения сила F зануляется).
Лабораторная работа 1/4
Разрядка конденсатора
Рассмотрим заряженный конденсатор емкостью C, замкнутый через резистор сопротивлением R. Согласно второму правилу Кирхгофа сумма напряжений по замкнутому контуру, проходящему через конденсатор и резистор, равна нулю: 
. Отсюда легко получить уравнение
(1.8)
Задание
1. Смоделируйте процесс разрядки конденсатора емкостью 1 мкФ через сопротивление 1 кОм. Постройте график зависимости напряжения на конденсаторе от времени, если начальное напряжение равно 10 В.
2. Определите время, за которое напряжение уменьшится вдвое (время разрядки). Зависит ли оно от начального напряжения?
3. Исследуйте зависимость разрядки от емкости конденсатора. Постройте две кривые для конденсаторов разной емкости. Постройте зависимость времени разрядки от емкости.
4. Исследуйте зависимость разрядки от сопротивления резистора. Постройте две кривые для разных сопротивлений. Постройте зависимость времени разрядки от сопротивления.
Зарядка конденсатора
В случае зарядки конденсатора внешним напряжением U 0 правило Кирхгофа имеет иной вид:
Тогда дифференциальное уравнение для заряда становится неоднородным:
.
Можно преобразовать его в уравнение для напряжения на кондесаторе U
Задание
1. Смоделируйте процесс зарядки конденсатора. Внешнее напряжение равно 10 В. За какое время конденсатор зарядится до половины заряда?
Нелинейные эффекты в конденсаторах
При высоких напряжениях под действием электрических сил конденсатор начинает деформироваться. Действительно, в электрическом поле, создаваемым одной обкладкой 
(где 
- поверхностная плотность заряда, 
- диэлектрическая проницаемость диэлектрика в конденсаторе и вакуума соответственно), на другую обкладку действует сила
Под действием этой силы обкладки притягиваются друг к другу пока упругая сила, возникающая в результате деформации конденсатора, не уравновесит ее. При малых деформациях упругая сила описывается законом Гука:
.
В результате меняется емкость конденсатора на величину
С учетом того, что 
получим
Задание
1.Смоделируйте разрядку конденсатора с учетом его нелинейности. Подберите такое значение параметра 
, при котором время разрядки изменится на 10% по сравнению с линейным случаем.
2. Исследуйте зависимость времени разрядки от начального напряжения: постройте кривые разрядки при начальном напряжении 2, 5 и 10 В.
Лабораторная работа 1/5
Самоиндукция
Рассмотрим индуктивность L, по которой течет ток I, с сопротивлением R. При уменьшении тока в ней возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая его уменьшению. Согласно второму правилу Кирхгофа ЭДС равна напряжению: 
. Отсюда легко получить уравнение
(1.9)
В случае если происходит нарастание тока (на схему подается внешнее ЭДС), второе правило Кирхгофа записывается в виде
,
откуда легко получить
Задание
1. Смоделируйте процесс спада тока в катушке индуктивностью 1 мГн и сопротивлением 1 кОм. Постройте график зависимости тока от времени, если начальное значение равно 100 мА.
2. Определите время, за которое ток уменьшится вдвое (время разрядки). Зависит ли оно от начального тока?
3. Исследуйте зависимость процесса от индуктивности катушки. Постройте две кривые для катушек разной индуктивности. Постройте зависимость времени разрядки от индуктивности.
4. Исследуйте зависимость разрядки от сопротивления. Постройте две кривые для разных сопротивлений. Постройте зависимость времени разрядки от сопротивления.
5. Смоделируйте процесс нарастания тока в катушке индуктивности с параметрами из первого упражнения. Начальный ток считать равным нулю, внешнее ЭДС 10 В.
Нелинейность индуктивности
Катушки индуктивности, намотанные на ферромагнитных сердечниках, обладают нелинейными свойствами. Пример зависимости индуктивности от тока в катушке приведена в таблице.
I, мА | L, мГн | I, мА | L, мГн |
2.15 | |||
1.2 | 2.18 | ||
1.5 | 2.19 | ||
1.8 | 2.20 | ||
2.0 | 2.21 | ||
2.1 |
|
|
Для наших задач удобно аппроксимировать эти данные при помощи полинома cтепени n, используя функции p=polyfit(I,L,n) – аппроксимация зависимости L(I), и polyval(p,I) – расчет значения полинома с рядом коэффициентов p при значении аргумента I
Задание
Смоделируйте процесс спада тока в катушке c нелинейной индуктивностью и сопротивлением 1 кОм. Постройте график зависимости тока от времени, если начальное значение тока равно 100 мА, 50 мА и 20 мА. Определите время спада тока до половинного значения в этих случаях.
Лабораторная работа 1/6
Изменение температуры атмосферы с высотой
Сухоадиабатический градиент температуры
В атмосфере изменение температуры с высотой определяется адиабатическим процессом. При подъеме некоторого объема газа на высоту dz давление падает на величину
dp=rg dz, (1)
где r - плотность воздуха, g - ускорение свободного падения. При этом газ расширяется, совершая работу за счет внутренней энергии, и его температура падает. Изменение температуры T в адиабатическом процессе описывается уравнением 
, где g - показатель адиабаты (для двухатомного газа g=1.4). Исходя из него, можно получить связь между изменением температуры dT и изменением давления dp:
. (2)
Учитывая, что
, (3)
где M – молярная масса (у воздуха M =0.029 кг/моль), R =8.31 Дж/(моль×К) – газовая постоянная, из уравнений (1) и (2) получаем величину сухоадиабатического температурного градиента
. (4)
На Земле он равен –9.78 К/км.
Влажноадиабатический градиент температуры
При охлаждении воздуха до точки росы из него начинает выпадать влага. При этом происходит выделение тепла, поэтому снижение температуры при подъеме воздуха происходит с меньшей скоростью. В этом случае первое начало термодинамики для одного моля газа будет записываться в виде
где L – молярная теплота конденсации, dq – изменение доли водяного пара в воздухе, 
- молярная теплоемкость при изохорном процессе. Из уравнения Клапейрона-Менделеева 
и соотношения 
получим 
. Тогда
Используя уравнения (1) и (3), получим
откуда, используя соотношение 
, получим соотношение для влажноадиабатического градиента
, (5)
из которого видно, что он ниже сухоадиабатического. У поверхности он составляет – 6 К/км.
Задание
1. Смоделируйте изменение температуры в тропосфере Земли для случаев сухоадиабатического градиента.
2. Сделайте аналогичную модель для влажноадиабатического градиента, рассчитав параметры модели в уравнении (5) из значения влажжноадиабатического градиента у поверхности.
Лабораторная работа 1-2/7
Фотоионизация
Под действием ионизирующего излучения в атмосфере возникают ионы. Легко видеть, что скорость их образования dn / dt пропорциональна интенсивности излучения I и концентрации нейтральных молекул 
:
, (1)
где a - коэффициент пропорциональности. В атмосфере у поверхности Земли он оценивается величиной a =10-5 м2/Дж, а концентрация нейтральных молекул равна 
.
Задание
1. Рассчитайте зависимость концентрации ионов от времени при различных значениях интенсивности (0, 10-6, 10-3 Вт/м2) и начальной концентрации ионов 
.
2. Исследуйте зависимость графиков от начальной концентрации n (0) при постоянном уровне интенсивности.
Рекомбинация ионов
При столкновении ионов противоположного знака возможна их рекомбинация, в результате которой формируются нейтральные молекулы. С учетом этого процесса кинетическое уравнение для ионов становится нелинейным
(2)
где β – коэффициент рекомбинации.
Задание
1. Рассчитайте значение равновесной концентрации 
. Смоделируйте зависимость концентрации ионов от времени при начальной концентрации ионов выше, ниже и равной 
.
2. Исследуйте зависимость концентрации ионов от времени в результате освещения ионизирующим излучением в течение некоторого времени T. Как быстро концентрация ионов упадет до половины максимального значения после окончания освещения? Зависит ли это время от интенсивности излучения?
3. Рассмотрите динамику концентрации ионов при периодическом изменении интенсивности излучения:
.
Подберите такие значения периода, при которых: а) концентрация не будет реагировать на периодические изменения интенсивности; б) периодические изменения концентрации будут составлять около 50% от максимального значения.
Эффект насыщения
Очевидно, что концентрация нейтральных молекул также меняется в результате фотоионизации и рекомбинации, поэтому при заметных уровнях ионизирующего излучения необходимо описывать процесс системой кинетических уравнений
Задание
Смоделируйте процесс с учетом изменения концентрации нейтральных молекул. Подберите такую интенсивность ионизирующего излучения, при котором она заметно изменится. Как поменялись при этом зависимости для концентрации ионов?
Лабораторная работа 1/8
Простейшая модель климата
Количество тепла 
, поступающее на поверхность Земли, зависит от альбедо Земли A и мощности падающего на Землю излучения 
, где R =6371 км – радиус Земли, 
- солнечная постоянная. За счет теплового излучения Земля теряет тепло 
, где 
- постоянная Стефана-Больцмана, 
- коэффициент, учитывающий отличие излучающих свойств Земли от абсолютно черного тела. Разность этих слагаемых определяет изменение температуры
, (1)
где С – теплоемкость Земли.
Задание
1. Смоделируйте процесс изменения температуры на Земле согласно уравнению (1). Задав значение альбедо A=0.36 и коэффициента черноты =0.5, подберите такое значение С, чтобы температура 15°С соответствовала равновесию между поглощением света и тепловым излучением.
2. Измените альбедо на 0.01 в большую и меньшую сторону и определите время, за которое температура изменится на 1°С.
Лабораторная работа 1/9
Модель популяции
В случае полового размножения прирост популяции определяется вероятностью встречи самцов и самок и квадратично зависит от числа особей n, в то время как убыль пропорциональна численности
, (1)
Это уравнение имеет два стационарных решения
, 
При 
скорость роста ниже нуля и численность популяции со временем убывает.
В случае больших плотностей популяции скорость размножения ограничивается не числом встреч самцов и самок, а числом самок в популяции. В этом случае уравнение, определяющее скорость прироста, преобразуется к виду
, (2)
где
Стационарные решения этого уравнения имеют вид
, 
Первое решение устойчиво, а второе – нет, то есть при 
численность неограниченно растет, а при 
- падает, популяция вырождается.
Реальные популяции в природных условиях ограничены по численности и сверху – в случае больших плотностей популяции скорость размножения спадает из-за внутривидовой конкуренции. Уравнение, описывающее и этот эффект, выглядит следующим образом.
, (3)
Оно имеет три стационарных решения. Первое и третье решения устойчивы, а второе – нет. При 
численность растет, постепенно стремясь к 
, а при - падает, популяция вырождается.
Задание
, 
, 
.
.
Лабораторная работа 2/1
Электростатическое притяжение
Задание
1. Смоделируйте процесс притяжения двух противоположно заряженных капель с зарядом 10-14 Кл, находящихся на расстоянии 10 см. Радиус капель 500 мкм, плотность 1000 кг/м3. Трением и прочими силами пренебречь. За какое время капли встретятся? Какая у них при этом будет скорость?
2. Произведите аналогичный расчет для расстояния 1м.
3. Исследуйте зависимость от радиуса капли: произведите расчет для двух разных радиусов.
4. Произведите расчет для следующих значений заряда: 10-14 Кл (обложной дождь), 10-12 Кл (ливень).
5. Считая, что заряд прямо пропорционален радиусу капли, постройте семейство кривых для зависимостей расстояния от времени r(t) и скорости от времени v(t) при радиусах капли 10, 20, 50, 100, 200, 500 мкм.
6. Введите в модель вязкое трение. Как изменится результат? Постройте семейство кривых, аналогичное заданию 5.
Лабораторная работа 2/2
Скатывание с горки
Задание
3. Смоделируйте процесс скатывания лыжника массой 70 кг с горки высотой 10 м и углом при основании 20˚. Коэффициент трения принять равным 0.1. Силу сопротивления воздуха не учитывать. Какую скорость приобретет лыжник в конце спуска? На какое расстояние он проедет от начала горки?
4. Исследуйте зависимость скорости в конце горки от угла при основании горки. При каком угле скорость будет равна нулю?
5. Исследуйте зависимость максимального расстояния, на которое может укатиться лыжник от начала горки, от угла наклона горки.
6. Известно, что бегун-спринтер набирает за 2 с скорость 10 м/с и в дальнейшем она сохраняется постоянной на протяжении всей дистанции. Смоделируйте этот процесс и подберите соответствующие параметры задачи (силу F, коэффициент турбулентного трения ). Вязким трением пренебречь, массу принять равной 70 кг.
7. Используя полученное значение коэффициента турбулентного трения для фигуры человека, смоделируйте процесс спуска с горки лыжника с условиями из упр.1 и сравните полученные результаты.
Лабораторная работа 2/3
Падение тела в атмосфере
Задание
1. Смоделируйте падение тела а) без учета сопротивления воздуха и б) с учетом вязкого трения для капли дождя диаметром 0.5 мм с высоты 1 км. Постройте по две кривые на одном графике для координаты и скорости тела.
2. Постройте семейство кривых зависимости координаты и скорости от времени для капель радиусом 10, 50, 100, 200, 500 мкм.
3. Рассчитайте число Рейнольдса для всех этих зависимостей.
4. Смоделируйте падение капли с учетом как вязкого, так и турбулентного трения. Подберите такой коэффициент турбулентного трения, чтобы скорость падения капли радиусом 500 мкм была равна 10 м/с.
5. Считая, что коэффициент турбулентного трения пропорционален площади сечения капли, построить семейство кривых зависимости координаты и скорости от времени для капель радиусом 10, 50, 100, 200, 500 мкм.
Лабораторная работа 2/4
Падение столба
Задание
1. Смоделируйте падение столба. Считать, что столб подрублен у самого основания и падает, вращаясь вокруг этой точки. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Длина столба 6 м, диаметр 20 см и по длине столба не меняется, плотность 400 кг/м3 (сухая сосна). Постройте графики зависимости угловой координаты и угловой скорости от времени при начальном угле отклонения от вертикали 1˚. За какое время столб упадет? Какую линейную скорость будет иметь крайняя точка в конце падения?
2. Проверьте правильность расчета конечной угловой скорости, основываясь на законе сохранения энергии.
3. Исследуйте зависимость времени падения от начального угла отклонения: произведите расчет при двух его значениях.
4. Произведите аналогичный расчет для бетонного столба (2000 кг/м3)
5. Исследуйте зависимость времени падения от длины столба: произведите расчет при двух ее значениях.
6. Введите в модель турбулентное трение. Подберите такое значение коэффициента трения, при котором результаты расчета начинают заметно отличаться от произведенных без его учета.
Лабораторная работа 2/5
Падение тела с большой высоты
Задание
1. Смоделируйте падение тела на поверхность Земли с высоты 1000 км, учитывая изменение ускорения свободного падения с расстоянием до Земли. Сопротивлением атмосферы пренебречь, падение считать строго вертикальным. За какое время тело упадет на Землю? Какой скоростью оно будет обладать в конце пути? Будет ли результат расчета зависеть от массы тела?
2. Произведите аналогичный расчет для высоты 100 км и 10 000 км. Во сколько раз изменилось время падения и конечная скорость?
3. Введите в модель турбулентное трение атмосферы. При этом необходимо учесть изменение плотности атмосферы с высотой (считать, что оно подчиняется распределению Больцмана). Произведите расчет для железного метеора (плотность 7800 кг/м3) в форме шара диаметром 1 мм, упавшего с высоты 100 000 км. Коэффициент трения принять равным 10-3.
4. Какая часть кинетической энергии метеора перейдет в тепло? Считая, что половина этой энергии ушла на нагрев метеора, рассчитать его температуру. Теплоемкость железа приведена в таблице, по ней построить аппроксимацию полиномом.
Т,К | |||||||||
с, Дж/(кг·К) | 4.6 |
Температура плавления железа 1538 С, кипения 2872 С. Теплота плавления 13.8 кДж/моль, испарения – 350 кДж/моль, молярная масса 56 г/моль.
5. Произведите расчет температуры для метеоров диаметром 10, 100 мкм и 10 мм, считая, что коэффициент трения пропорционален квадрату радиуса. Долетит ли какой-нибудь из них до поверхности Земли?
3.2. Краткое Содержание лекций
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 48 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |