|
Комплексні числа.
Визначення. Комплексним числом z називається вираз , де a і b – дійсні числа, i – уявна одиниця, що визначається співвідношенням:
При цьому число a називається дійсною частиною числа z (a = Re z), а b - уявною частиною (b = Im z).
Якщо a =Re z =0, то число z буде чисто уявним, якщо b = Im z = 0, то число z буде дійсним.
Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими.
Визначення. Два комплексних числа й називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні й уявні частини:
Визначення. Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно дорівнюють нулю дійсна й уявна частини.
Поняття комплексного числа має геометричне тлумачення. Множина комплексних чисел є розширенням множини дійсних чисел за рахунок включення множини уявних чисел. Комплексні числа містять у собі всі множини чисел, які вивчалися раніше. Так натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа є, загалом кажучи, окремими випадками комплексних чисел.
Якщо будь-яке дійсне число може бути геометрично представлене у вигляді точки на числовій прямій, то комплексне число представляється точкою на площині, координатами якої будуть відповідно дійсна й уявна частини комплексного числа. При цьому горизонтальна вісь буде дійсною числовою віссю, а вертикальна – уявною віссю.
у
A (a, b)
r b
j
О a x
Таким чином, на осі Ох розташовуються дійсні числа, а на осі Оу – чисто уявні.
За допомогою подібного геометричного подання можна представляти числа в так званій тригонометричній формі.
Тригонометрична форма комплексного числа.
З геометричних міркувань видно, що . Тоді комплексне число можна представити у вигляді:
Така форма запису називається тригонометричною формою запису комплексного числа.
При цьому величина r називається модулем комплексного числа, а кут нахилу j – аргументом комплексного числа.
.
З геометричних міркувань видно:
Очевидно, що комплексно спряжені числа мають однакові модулі й протилежні аргументи.
Основні дії з комплексними числами випливають із дій з багаточленами.
1) Додавання й віднімання.
2) Множення.
У тригонометричній формі:
,
З випадку комплексно - сполучених чисел:
3) Ділення.
У тригонометричній формі:
4) Піднесення до степеня.
З операції множення комплексних чисел треба, що
У загальному випадку одержимо:
,
де n – ціле додатне число.
Цей вираз називається формулою Муавра. (Абрахам де Муавр (1667–1754) – англійський математик)
Формулу Муавра можна використати для знаходження тригонометричних функцій подвійного, потрійного й т.д. кутів.
Приклад. Знайти формули і .
Розглянемо деяке комплексне число
Тоді з однієї сторони .
По формулі Муавра:
Дорівнюючи, одержимо
Оскільки два комплексних числа рівні, якщо рівні їх дійсні й уявні частини, то
Одержали відомі формули подвійного кута.
5) Добування кореня з комплексного числа.
Підносячи до степеня, одержимо:
Звідси:
Таким чином, корінь n -го степеня з комплексного числа має n різних значень.
Розглянемо показову функцію
Можна показати, що функція w може бути записана у вигляді:
Дана рівність називається рівнянням Ейлера. Висновок цього рівняння буде розглянутий пізніше.
Для комплексних чисел будуть справедливі наступні властивості:
1)
2)
3) де m – ціле число.
Якщо в рівнянні Ейлера показник степеня прийняти за чисто уявне число (х= 0), то одержуємо:
Для комплексно спряженого числа одержуємо:
З цих двох рівнянь одержуємо:
Цими формулами користуються для знаходження значень ступенів тригонометричних функцій через функції кратних кутів.
Якщо представити комплексне число в тригонометричній формі:
і скористаємося формулою Ейлера:
Отримана рівність і є показниковою формою комплексного числа.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 23 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
1.) Підробка знаків поштової оплати (ст. КК). Суспільна небезпечність даного злочину обумовлюється тією шкодою, яка задається фінансовій сфері, оскільки в результаті його вчинення винний одержує | | | Правительство Российской Федерации |