|
п.2. Число е как предел последовательности
Теорема 2. Последовательность – сходящаяся.
Дано: последовательность .
Доказать: .
Доказательство. 41. Рассмотрим вспомогательную последовательность
, (2)
докажем, что она сходится. Воспользуемся Т. о пределе монотонной последовательности. Заметим, что { уn }– ограниченная, так как по лемме Бернули
,
причём ограниченаснизу числом 2.
2. Докажем, что (2) невозрастает, для этого рассмотрим частное:
.
Получили (2) – невозрастает.
На основании 1–2 заключаем, что (2) сходится.
Заметим, что – сходится, как частное сходящихся последовательностей (числитель { уn } –сходящаяся последовательность, знаменатель – сходится, причём ).3
Замечание 1. По Л.Эйлеру (швейцарский математик 1707–1783), число, которое является пределом последовательности обозначают
e = 2,718281828459045... – иррациональное число, т. обр.
= e. (3)
Замечание 2. Если число e взяць за основание логарифма, то такой логарифм называют натуральным логарифмом и абазначают ln. Значит, по определению ln х= log e x.
В заключение построим графики функций у = ln х и у=ех ( e >1):
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| | Неопределенный интеграл. Основные понятия. |