Анализ свойств алгоритма. . 6

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗАДАНИЕ.. 3

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА.. 4

АНАЛИЗ СВОЙСТВ АЛГОРИТМА.. 6

ЗАВИСИМОСТЬ СВОЙСТВ ОТ ВХОДНЫХ ДАННЫХ.. 7

ЗАДАНИЕ

1. Построить алгоритм метода.

2. Проанализировать свойства алгоритма.

3. Описать изменение свойств зависимости от входных данных.

Алгоритм: Комбинированный метод хорд и касательных для поиска корня нелинейного уравнения

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Суть комбинированного метода состоит в разбиении отрезка [a,b] на три отрезка с помощью хорды и касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение.

Построение хорд и касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Комбинированный метод применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, т.е. f’(x)≠0 и f”(x)≠0.

Условие начальной точки для метода хорд f(x)f”(x)<0.

Условие начальной точки для метода касательных f(x)f”(x)>0.

Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, т.е. f(a)f(b)<0.

Далее применяем алгоритм решения.

1. Если f (a) f’’ (a)<0, то , иначе
2. Если f (b) f’’ (b)<0, то , иначе
3. Если |a-b|>2 ε, вернуться к 1
4. X= (a+b)/2.

Входные данные

a - левая граница

b - правая граница
E – степень точности
f(x) – функция от аргумента

f’(x) – производная функции

f’’(x) – двойная производная функции

Блок-схема

Начало

Ввод

входных данных (a,b,E, f(x), f’(x), f”(x))

установка погрешности

E

Установка первоначальных

значений функции

да f (a) f’’ (a)<0 нет

да f (b) f’’ (b)<0 нет

да |a-b|>2E

нет

x=(a+b)/2

Конец

АНАЛИЗ СВОЙСТВ АЛГОРИТМА

Дискретность алгоритма. Данных алгоритм дискретен, так как выполняется в конечное количество шагов, зависящее от необходимой точности.

Детерминированность алгоритма. Алгоритм обладает свойством детерминированности, т.к. содержащиеся в нем разветвления являются локальными (для цикла), а от входных данных P есть лишь один путь к выходным данным Q.

Массовость алгоритма. Алгоритм обладает массовостью, т.к. может быть использован на любом отрезке [a,b], где f’(x) и f’’(x) не равны 0.

Конечность алгоритма. Последовательность элементарных действий алгоритма не может быть бесконечной и может быть выполнена для любой степени точности Е.

ЗАВИСИМОСТЬ СВОЙСТВ ОТ ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Метод применяется на практике для нахождения каких-либо отрезков, например, при установке железнодорожного полотна. Свойства алгоритма не зависят от входных данных при соблюдении условия использования алгоритма (f’(x)≠0 и f”(x)≠0). В этом случае не пострадает и свойство массовости.

Алгоритм по-прежнему останется дискретным и конечным, т.к. будет зависеть от точности. Детерминированность тоже не исчезнет, т.к. при любых данных есть лишь один путь от P к Q

Дата добавления: 2015-09-29