Алгебра логики является одной из теоретических основ, наряду с системами счисления, построения компьютеров. Представляет собой формальную логику, переведенную на язык математики.

Слайд «Алгебра логики»

Алгебра логики является одной из теоретических основ, наряду с системами счисления, построения компьютеров. Представляет собой формальную логику, переведенную на язык математики.

Предмет рассмотрения в алгебре логики – так называемые высказывания, т.е. любые утверждения, о которых можно сказать, что они либо истинны, либо ложны: « Брянск – город в России», «49 – четное число». Первое высказывание истинно, а второе – ложно.

Сложные высказывания, получаемые из простых с помощью слов И, ИЛИ, ЕСЛИ...ТО, НЕ также могут быть истинными или ложными. Их истинность зависит только от истинности или ложности образующих их простых высказываний,

Рассматриваются логические операции, позволяющие строить сложные высказывания из простых: отрицание (НЕ), конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и другие.

Логических операций одной переменной существует всего две: ОТРИЦАНИЕ (НЕ) и ПОВТОРЕНИЕ (ДА). Таблицы их выглядят так:

Операция ОТРИЦАНИЕ (НЕ). Обозначается черточкой над знаком входа или выхода (или знаком )перед ними:

Операция ПОВТОРЕНИЕ (ДА). Логическая операция ДА обозначения не имеет.

Логические операции И и ИЛИ – функции любого числа переменных, но не менее двух простых высказываний.

Таблица логической операции ИЛИ (логического сложения, обозначаемого знаком «+» или «v» между буквенными обозначениями логических переменных) двух переменных:

Таблица логической операции И (логического умножения), обозначаемого знаком «точка», «&» или «» между буквенными обозначениями логических переменных:

Всего логических операций (или функций) двух переменных существует 16. Вот их полная таблица:

Обратите внимание, что 4 возможных значения каждой функции в виде 0 и 1 представляют собой числа в двоичном коде, каждое из которых соответствует порядковому номеру этой функции в таблице, выраженному в привычном десятичном коде. Это еще раз подтверждает органическую связь логических функций с двоичной системой счисления.

В булевой алгебре существует понятие «значение истинности высказывания». Если высказывание истинно, то его значению присваивается символ 1, а если ложно, то символ 0. Булева алгебра допускает множество логических операций, но указанных трех – И, ИЛИ и НЕ – достаточно для того, чтобы выразить любые логические операции или функции.

Так, с помощью одного элемента ИЛИ на два входа, двух элементов И на два входа и одного элемента НЕ можно построить логическую схему двоичного полусумматора (Рис. 1), способного осуществлять операцию двоичного сложения двух одноразрядных двоичных чисел (т.е. выполнять правила двоичной арифметики):

0 +0 =0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=0. При этом он выделяет бит переноса.

Рис.1

Полный двоичный сумматор (Рис. 2) складывает два многоразрядных двоичных числа с учетом сигналов переноса от сложения в предыдущих двоичных разрядах.

Рис.2

Соединяя двоичные сумматоры в каскад, получают логическую схему сумматора для двоичных чисел с любым числом разрядов. С некоторыми изменениями эти логические схемы применяются и для вычитания, умножения и деления двоичных чисел. С их помощью построены арифметические устройства современных компьютеров.

Все описанные логические схемы являются однотактными. Значение их выходов однозначно определяются значениями их входов. Фактор времени в них отсутствует. Наряду с ними существуют многотактные логические схемы, в которых значение их выходов определяется не только значениями их входов, но и их состоянием в предыдущемтакте. Фактор времени и определяется этими тактами. К таким логическим схемам относятся схемы памяти. Они строятся с помощью обратной связи с выхода на вход логической схемы.

Простейшая логическая схема памяти на один бит обязательно содержит обратную связь с выхода на вход.

Она состоит из 3-х логических элементов, реализующих логические функции ОТРИЦАНИЕ (НЕ), И и ИЛИ (Рис.3).

Рис. 3

В этой схеме с помощью обратной связи образуется замкнутая цепь с выхода на вход для запоминания входного сигнала. Эта цепь сохраняется после снятия входного сигнала неограниченное время вплоть до появления сигнала стирания.

Такая схема памяти имеет еще и другое название: триггер с раздельными входами (для запоминания S и стирания R). Широко используется в вычислительной технике и триггер со счетным входом. Он имеет только один вход и выход. Такая схема осуществляет деление на два, т.е. состояние ее выхода изменяется только после подачи подряд двух входных импульсов. Соединяя триггеры со счетным входом в последовательный каскад, можно осуществлять деление на 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.д.

Схемы оперативной памяти играют важную роль при построении оперативной памяти компьютеров.

Дата добавления: 2015-09-29