Порядок построения интервального вариационного ряда (ВР)

Порядок построения интервального вариационного ряда (ВР)

В качестве исходных данных мы располагаем некоторой статистической совокупностью Y = {y_j}, j = 1,N, где N = ׀Y׀ – мощность множества Y. Пусть в качестве исходных данных выступает объем реализованной продукции десяти предприятий за отчетный период в млн. руб.:

5,2; 13,2; 8,1; 7,5; 11,8; 14,6; 8,5; 7,8; 10,5; 6,0. (1)

Оценку структуры исходных данных проведем в терминах вариационных рядов, когда мы хотим получить отображение исходного множества Y мощностью N = 10 шт. единиц совокупности в некоторое более компактное множество Х мощностью n (n < N, иначе нет смысла; это очевидно). То есть наша цель – построить отображение исходного множества Y на более компактное множество Х:

τ: Y → X. (2)

Для реализации операции (2) необходимо и достаточно сгруппировать элементы статистической совокупности вида (1) по определенным правилам.

Итак, мощность исходной совокупности N=10; максимальный элемент совокупности y_max = 14,6 млн. руб.; y_min = 5,2 млн. руб.

Размах выборки R = y_max - y_min = 14,6 – 5,2 = 9,4 (млн. руб.)

Чтобы определить шаг выборки h, необходимо размах выборки R поделить на число интервалов «n»:

h = R / n (3)

Число интервалов, в свою очередь, можно приближенно найти по формуле Стерджесса

n = 1 + 3,22∙lg N (4)

В нашем случае выражение (4) примет вид:

n = 1 + 3,22∙lg 10 = 1 + 3,22∙ 1 = 4,22 (шт.) ≈ 4.

Тогда согласно выражению (3) шаг h = 9,4 / 4 = 2,35 ≈ 2,40 = 2,4 (млн. руб.).

Таким образом, мы должны составить рабочую таблицу для четырех вариантов (интервалов); вместо 10-ти исходных элементов получили 4 варианта. Группировка осуществлена, интервальный вариационный ряд с равными интервалами получен (см. табл. 1).

Таблица 1

Интервальный вариационный ряд. Результаты отображения вида (2)

Номера интервалов	Начало – конец интервалов	Среднее интервальное значение	Частота попаданий в интервалы	Значение Частоты	Значения накопленной частоты
I	xi^н- xi^в	xi^ср	счет	fi	qi
4 = n	5,2 - 7,6 7,6 - 10,0 10,0 - 12,4 12,4 - 14,8	6,4 8,8 11,2 13,6	/// /// // //
	∑ fi

Далее необходимо визуализировать полученные результаты - построить гистограмму (рис. 1) с графо-аналитическим определением моды М_о и кумуляту (рис. 2) с графо-аналитическим определением медианы М_е. Эти значения являются приближенными по своей природе и служат выражением данных структурных средних как параметров построенного нами вариационного ряда. Сама по себе исходная статистическая совокупность вида (1) их в явном виде не содержит.

Для аналитического (точного) определения значений М_о и М_е необходимо воспользоваться следующими формулами (5) и (6) – соответственно. Однако для их использования необходимо определиться с номером модального интервала и значением его частоты f_m.

Определяем модальный интервал. Им будет тот, у которого частота максимальна. Как правило, такой интервал бывает в единственном числе. Однако в данном случае модальным интервалом равным образом может быть как интервал i = 1 (f_i = 3), так и интервал с текущим номером i=2 (f₂ = 3).

Возьмем для определенности второй интервал. Тогда f_m= f₂ = 3. Тогда номер модального интервала i = 2; начало модального интервала x_i^н = 7,6 млн. руб. (см. табл. 1), шаг (размер интервала) h = 2,4 млн. руб. Значение моды:

f_m - f_{m - 1}

М_о = x_m^н + h ∙————————————. (5)

(f_m - f_{m – 1}) + (f_m - f_{m + 1})

По формуле (5) получим:

3 - 3

М_о = 7,6 + 2,4∙——————— = 7,6 (млн. руб.).

(3 - 3) + (3 - 2)

Значение медианы вычислим по формуле (6):

(∑ f_i / 2) – q_{m- 1}

М_е = x_m^н + h ∙——————— = (6)

f_m

(10 / 2) – 3 5 - 3

= 7,6 + 2,4 ∙ —————— = 7,6 + 2,4∙ ———— = 9,2 (млн. руб.).

3 3

Теперь в качестве модального интервала примем первый интервал i = 1; начало модального интервала x_i^н = 5,2 млн. руб. (см. табл. 1), шаг (размер интервала) – тот же h = 2,4 млн. руб.; значение f_m - f_{m – 1} = f₁ - f_{1 – 1} = f₁ - f₀ , а значения f₀ в табл. 1 нет; значение накопленной частоты q_{m- 1} = q_{1- 1} = q₀ = 0, а такого значения в табл. 1 также нет.

Новое значение моды по формуле (5):

3 - 0

М_о = 5,2 + 2,4∙——————— = 7,6 (млн. руб.) – прежнее значение.

(3 - 0) + (3 - 3)

Значение медианы вычислим по той же формуле (6):

(10 / 2) – 0 5

М_е = 5,2 + 2,4 ∙ ————— = 5,2 + 2,4 ∙ —— = 9,2 (млн. руб.) – прежнее значение.

3 3

Таким образом, в случае одинаково значимых модальных интервалов первоначально (на умозрительном уровне) в качестве модального можем выбрать любой из них. Однако тот факт, что значение медианы = 9,2 млн. руб. находится во втором интервале (7,6 – 10.0), то в качестве модального следует считать именно второй, а не первый

Далее необходимо оценить средневзвешенное значение исходной статистической совокупности (7). В качестве вариантов вариационного ряда принимаем средние значения на интервалах:

∑ x_i^ср ∙ f_i

x_в^ср = ————. (7)

∑ f_i

6,4 ∙ 3 + 8,8 ∙ 3 + 11,2 ∙ 2 + 13,6 ∙ 2

x_в^ср = ——————————————— = 9,50 (млн. руб.).

Располагая значениями моды, медианы и средневзвешенного, можно оценить степень асимметричности распределения. Если нестрогое неравенство (8) выполняется, распределение является «умеренно асимметричным», ели нет, то «асимметрия повышенная»:

│М_о - x_в^ср │ ≤ 3 ∙│ М_е - x_в^ср │. (8)

Для наших расчетов:

│ 7,6 - 9,5 │ ≤ 3 ∙│ 9,2 - 9,5│ или

1,9 ≤ 3 ∙ 0,3 = 0,9 – нестрогое неравенство не соблюдается: 0,9 не больше, чем 1,9; все наоборот. Следовательно, структура данных такова, что распределение их по вариантам имеет повышенную асимметрию.

Таким образом, проведя группирование элементов исходной статистической совокупности Y, мы получили новую, более компактную совокупность Х с дополнительными характеристиками (параметрами), отражающих структуру данных. Кроме традиционного среднего значения общая картина дополнена двумя структурными средними в виде моды (наиболее часто встречающегося значения) и медианы (ее значение делит исходную совокупность пополам: до значения медианы и она включительно – половина элементов исходной совокупности, свыше ее значения – остальная половина элементов исходной совокупности.

Ход защиты результатов контрольного задания № 1 (построение интервальных ВР):

1. Фамилия слушателя, номер варианта.

2. Номер модального интервала; значение модальной частоты.

3. Значения средневзвешенного, моды и медианы (называть точные значения). Графо-аналитические результаты – показать.

4. Оценить степень асимметрии распределения.

5. Значение коэффициента вариации и заключение о степени вариабельности (здесь не приводится).

Дата добавления: 2015-09-29