Вопросы по вариационному исчислению (+задача)

Вопросы по вариационному исчислению (+задача)

Часть 1 (29 октября)

1. Функционалы в пространстве непрерывных и дифференцируемых функций. Примеры.

2. Выпуклые множества. Свойство: если - выпуклое множество, то для любых получаем при любом .

3. Вариация функционала. Определение дифференцируемого функционала. Выяснить, является ли дифференцируемым функционал

4. Вычисление вариации дифференцируемого функционала через производную по параметру.

5. Найти вариацию дифференцируемого функционала , заданного на выпуклом множестве.

6. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума.

7. Основные леммы вариационного исчисления для функций одной переменной.

8. Вариационная задача с закрепленными концами. Уравнение Эйлера.

9. Частные случаи уравнения Эйлера. Задача о вездеходе (получить уравнение Эйлера).

10. Частные случаи уравнения Эйлера. Задача о перемещении груза (получить уравнение Эйлера).

11. Задача о брахистохроне.

12. Достаточные условия экстремума. Доказать, что экстремаль функционала, действующего по правилу , и определенного в области , является точкой глобального минимума этого функционала.

13. Вариационная задача с закрепленными концами для функционалов, зависящих от нескольких функций одной переменной. Система уравнений Эйлера.

14. Доказать, что в вариационной задаче с закрепленными концами для функционалов, зависящих от нескольких функций одной переменной и действующих по правилу: , система уравнений Эйлера имеет интеграл

---------------------------------------------------------------------------

Часть 2

16. Вариационная задача для функционалов, зависящих от производных высших порядков. Уравнение Эйлера-Пуассона.

17. Основная лемма вариационного исчисления для функций нескольких переменных.

18. Вариационная задача для функционалов, зависящих от функции нескольких независимых переменных. Уравнение Остроградского.

19. Принцип наименьшего действия в механике. Уравнения движения материальной точки в виде уравнений Эйлера для функции Лагранжа.

20. Вывод уравнения колебания струны из принципа наименьшего действия.

21. Простейший случай вариационной задачи для функционала с подвижными концами.

22. -----Общий случай вариационной задачи для функционала с подвижными концами (без вывода). Условия трансверсальности.

23. ------Условия трансверсальности для функционала, действующего по правилу: ---------------------

24. Экстремали с угловыми точками. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.

25. Вариационная задача на условный экстремум с конечными связями: теорема о множителях Лагранжа.

26. Задача о геодезической линии.

27. Вариационная задача на условный экстремум с интегральными связями: теорема о множителях Лагранжа.

28. Изопериметрическая задача.

29. ------Решения вариационных задач конечно-разностным методом Эйлера.

30. ------Метод Ритца решения вариационных задач.

Дата добавления: 2015-09-29