Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

·

·

·

·

·

Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции .

Решение.

Воспользуемся тригонометрическим равенством .
Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид , то можно записать

Отсюда следует:

Пример 2

Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x = 1.

Решение.

Вычислим производные:

Видно, что для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:

Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид

Пример 3

Найти разложение в ряд Маклорена функции e ^kx, k − действительное число.

Решение.

Вычислим производные:

Тогда в точке x = 0 получаем

Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой

Пример 4

Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x ³ в точке x = 2.

Решение.

Обозначим . Тогда

и далее для всех x ≥ 4.
В точке x = 2, соответственно, получаем

Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид

Пример 5

Найти разложение в ряд Маклорена функции .

Решение.

Пусть , где μ − действительное число, и x ≠ − 1. Производные будут равны

При x = 0, соответственно, получаем

Следовательно, разложение в ряд записывается в виде

Полученное выражение называется биномиальным рядом.

Пример 6

Найти разложение в ряд Маклорена функции .

Решение.

Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя , получаем

Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде

Дата добавления: 2015-09-29