Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное

Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1.

Пример.Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.

1) D(y) = R;

2) E(y) = R;

3) Функция общего вида;

4) Непериодическая;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;

6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),

y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);

7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения;

8)

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида

y = ax2 + bx + c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0

Рассмотрим случай, когда a = 1, b = 0 и c = 0. Формула примет вид y = x².

Вы, наверно, уже знаете, какая зависимость между площадью квадрата и длиной его стороны. Зависимость между площадью квадрата и длиной его стороны следующая: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

А как изменяется площадь в зависимости от изменения длины стороны? Эта зависимость является примером новой функции. Чтобы поближе с ней познакомиться, построим график этой функции. Для того, чтобы построить график этой функции, нам необходимо составить таблицу соответственных значений x и y. Построим эти точки на координатной плоскости. А затем через эти точки проведём плавную линию.

Функция y = x2

Область определения этой функции - множество R действительных чисел

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2, изображаем график функции

График функции y = x2 называется параболой

Свойства функции у = х2

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс

3. Множеством значений функции у = х2 является промежуток [0; + ∞)

4. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже значение у, т.е. если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, график симметричен относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует

I. Прямая пропорциональность.

О: Функция вида y = kx + b называется линейной функцией.

k, b - числа (параметры), x - переменная (аргумент)

О: Линейная функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.

Свойства функции y = kx График функции y = kx

1.

Dy = R

2. Корни: x = 0

3. При k > 0 Þ y > 0 при x Î (0;+¥)

y < 0 при x Î (-¥; 0)

При k < 0 Þ y > 0 при x Î (-¥; 0)

y < 0 при x Î (0;+¥)

4. При k > 0 Þ функция возрастает

При k < 0 Þ функция убывает

5. Экстремумов нет.

6.

Зная две точки (x1,y1) и (x2,y2) можно найти:

1. Угол наклона прямой к оси ОХ:

tga = k = (y2 - y1)/(x2 - x1)

2. Уравнение прямой: y = y1 + k(x2 - x1)

Наибольшего и наименьшего значения нет.

7. Ey = R

8. Нечётная, непериодическая.

График - прямая, строим по двум точкам.

Замечание: График функции y = kx + b получаем перемещением графика функции y = kx по вертикали:

если b > 0, то вверх на b

если b < 0, то вниз на b

II. Обратная пропорциональность.

О: Функция вида y = k / x называется обратной пропорциональностью.

Свойства функции y = k / x График функции y = k / x

1. Dy = (-¥; 0)È (0; +¥)

2.

Корней нет

3. При k > 0 Þ y > 0 при x Î (0;+¥)

y < 0 при x Î (-¥; 0)

При k < 0 Þ y > 0 при x Î (-¥; 0)

y < 0 при x Î (0;+¥)

4. При k > 0 Þ функция убывает

При k < 0 Þ функция возрастает

5. Экстремумов нет.

6.

Зная координаты точки (x1,y1), можно найти k:

k = x1 · y1

Наибольшего и наименьшего значения нет.

7. Ey = (-¥; 0)È (0; +¥)

8. Нечётная, непериодическая.

График - гипербола, строим заполняя таблицу.

Дата добавления: 2015-09-29