Методом наименьших квадратов найти уравнение прямой , наилучшим образом аппроксимирующей данные в колонках 2 и 3 Таблицы. Вычислить относительную ошибку аппроксимации.

Расчетное задание № 1.

Методом наименьших квадратов найти уравнение прямой , наилучшим образом аппроксимирующей данные в колонках 2 и 3Таблицы. Вычислить относительную ошибку аппроксимации.

Теория

Цель – минимизировать функцию

,

где – невязки, , – количество данных. Неизвестные константы и , при которых принимает наименьшее значение, находятся из необходимых условий экстремума для функции двух переменных

, ,

сводящихся, в свою очередь, к системе линейных уравнений второго порядка

, (1)

где , , . В частности, , , и т.д.

Решим систему (1) по правилу Крамера для чего перепишем ее в матричной форме

,

тогда

, ; (2)

(3)

.

Расчет

Все вычисления удобно проводить с использованием Таблицы, последовательно заполняя колонки, находя по каждой их них сумму и занося ее в последнюю строку.

Таблица

1			4	5	6	7	8
	1.030	2.900	1.061	2.987	2.978	-0.078	0.006
	1.215	3.248	1.475	3.945	3.178	0.070	0.005
	1.462	3.387	2.136	4.951	3.445	-0.058	0.003
	1.643	3.747	2.698	6.155	3.641	0.106	0.011
	1.880	3.919	3.533	7.367	3.898	0.021	0.000
	2.109	4.118	4.448	8.685	4.147	-0.028	0.001
	2.340	4.311	5.475	10.088	4.397	-0.085	0.007
	2.526	4.656	6.378	11.758	4.598	0.058	0.003
	2.753	4.861	7.577	13.382	4.844	0.018	0.000
	2.980	5.067	8.880	15.099	5.090	-0.023	0.001
	19.936	40.215	43.663	84.417			0.038

По исходным данным (колонки К 2 и К 3):

1) заполняются К4 и К5;

2) выполняется суммирование по К2 – К5 (последняя строка).

Мы получили

10 19.936 43.663 40.215 84.417

и по формулам (2), (3) имеем

= 43.663·10 – 19.936 ² = 39.202

= 84.417·10 – 40.215·19.936 = 42.460

= 40.215·43.663 – 84.417·19.936 = 73.006

= 42.460 / 39.202=1.083 = 73.006 / 39.202=1.862.

Теперь вычислим относительную ошибку. По найденным и заполняем колонки К6 (), К7 () и К8. Выполняем суммирование по К8.

Найдем среднюю квадратичную ошибку

и, наконец, относительную ошибку аппроксимации

.

Дата добавления: 2015-08-29