Аналитическая записка 2. Модель Вольтера (Predator-Victim model)

Аналитическая записка 2. Модель Вольтера (Predator-Victim model)

В модели Вольтера численность хищников обозначается функцией , а численность жертв - функцией . Для этих величин строиться динамическая модель, имеющая вид систему двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

с постоянными и положительными константами

Точки покоя модели

(2)

Первая точка покоя - неустойчивая (седло)

(3)

Перепишем уравнения (1) в новых переменных таких, чтобы в новых переменных вторая точка покоя оказалась в начале координат. При этом в новых переменных уравнения (1) примут вид:

(4)

В линейном приближении это точка покоя оказывается центром, поэтому нелинейные слагаемые в (4) могут оказаться существенными.

Оказывается, что исходные уравнения (1) позволяют найти фазовые траектории в плоскости . Поделив первое уравнение из (1) на второе, получим:

(5)

Уравнение (5) имеет форму уравнения с разделяющимися переменными и поэтому допускает точное решение (эту процедуру легко реализовать в пакете Mathcad):

(6)

где - произвольная константа.

Из равенства (6) следует, что

(7)

Другими словами, равенство (7) означает, что константа определяется начальными условиями , а траектория движения на фазовой плоскости лежит на уровне постоянного значения функции двух переменных .

Каждое из неотрицательных значений соответствует замкнутой фазовой траектории. Эти траектории будут окружать точку покоя причем через любую точку фазовой плоскости в первом квадранте будет проходить одна замкнутая траектория. Очевидно, что эти траектории отвечают периодическому движению. Однако эти траектории не являются предельными циклами, для которых кроме замкнутости фазовой траектории необходимо еще и свойство изолированности. Другими словами в малой окрестности предельного цикла на фазовой плоскости не должно существовать замкнутых траекторий.

Нетрудно заметить, что максимальное значение константы определяется максимумом функции в точке , которая и является второй точкой покоя – центром.

В пакете Mathcad существует опция «Контурный график» (Ctrl+5) для получения уровней постоянного значения функции двух переменных . Предварительно эта функция должна быть определена и затем обозначена только буквой (без аргументов) в выделенном месте в левом нижнем углу возникающего образа трех осей.

Дата добавления: 2015-08-29