Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3 Архитектура Биология География Другое Иностранные языки Информатика История Культура Литература Математика Медицина Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Программирование Психология Религия Социология Спорт Строительство Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника

Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня

Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня

Задача 9.1.1: Свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях называется…

1) жесткостью; 2) твердостью; 3) упругостью; 4) устойчивостью.

Решение:

1) Ответ неверный! Под жесткостью понимается способность системы воспринимать внешние воздействия без существенного изменения геометрических размеров.

2) Ответ неверный! Под твердостью понимается способность материла противодействовать механическому проникновению в него других, более твердых тел.

3) Ответ неверный! Свойство материала тела восстанавливать свои первоначальные размеры после снятия нагрузки называется упругостью.

4) Ответ верный. Пусть на прямолинейный стержень действует сжимающая сила . При определенном значении силы стержень не может сохранять прямолинейную форму и неминуемо изогнется, как показано на рисунке.

Свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях называется устойчивостью.

Задача 9.1.2: Критическая сила сжатого стержня – …

1) наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой напряжения достигают допускаемой величины;

2) наименьшее значение осевой сжимающей силы, способной удержать стержень в изогнутом состоянии;

3) значение осевой сжимающей силы, превышение которой вызывает отклонение от закона Гука;

4) величина осевой сжимающей силы, при которой происходит существенный рост деформаций без заметного увеличения самой силы;

Решение:

1) Ответ неверный! Определение соответствует понятию сжимающей силы в случае одноосного сжатия, вызывающей в опасном сечении возникновение нормального напряжения , которое сопоставляется с допускаемым напряжением . Условие прочности имеет вид: .

2) Ответ верный. Под критической силой сжатого стержня понимается наименьшее значение осевой сжимающей силы, способной удержать стержень в изогнутом состоянии.

3) Ответ неверный! Данное определение соответствует понятию максимальной сжимающей силы, превышение которой вызывает превышение предела пропорциональности . – наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука. Здесь А – площадь поперечного сечения стержня.

4) Ответ неверный! Определение соответствует понятию сжимающей силы, входящей в формулу предела текучести при сжатии . – напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Здесь А – площадь поперечного сечения стержня.

Задача 9.1.3: Стержень круглого сечения диаметром нагружен внешней силой . Модуль упругости материала , длина . Значение критического напряжения равно… (При расчете принять )

1) 12,5 МПа; 2) 50 МПа; 3) 200 МПа; 4) 25 МПа.

Решение:

1) Ответ неверный! Проверьте значение коэффициента приведения длины . В данной задаче .

2) Ответ верный. Формула для определения критического напряжения имеет вид

где Е – модуль упругости материала,
– гибкость стержня.
Величина λ определяется по формуле .
В данной задаче , , , тогда . Подставим значения и λ в выражение , тогда .

3) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении минимального радиуса инерции сечения. Для круглого сечения диаметром d имеем .

4) Ответ неверный! При подстановке значения модуля упругости материала в выражение допущена ошибка.

Задача 9.1.4: На рисунках показаны схемы нагружения стержня силой F. Стержень может потерять устойчивость на рисунке …

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Потеря устойчивости – это переход от одной формы равновесия к другой. При изгибе балки этого не происходит. Сила F растет, а форма упругой линии балки остается неизменной.

2) Ответ верный. Потеря устойчивости – это переход от одной формы равновесия к другой. Это возможно только для случая на рисунке 2, если сила F превысит критическое значение. Для случаев 1, 3, 4 форма стержня при увеличении силы F остается неизменной.

3) Ответ неверный! Схема, изображенная на рисунке, соответствует растяжению. По мере возрастания величины силы F стержень будет деформироваться (удлиняться), сохраняя прямолинейную форму до разрушения. Переход к новой форме равновесия здесь невозможен.

4) Ответ неверный! Схема, изображенная на рисунке, соответствует сжатию. Однако, учитывая наложенные граничные условия, можно сделать вывод, что внешняя нагрузка не будет восприниматься стержнем, который в данных условиях сохранит прямолинейную форму и «работать» не будет. Сила F будет полностью восприниматься опорой.

Задача 9.1.5: Формула для определения гибкости стержня длиной l имеет вид…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Формула для определения гибкости стержня учитывает условия закрепления стержня через коэффициент приведения длины , который стоит в числителе. Данное выражение справедливо только для одного частного варианта закрепления стержня – шарнирного опирания концов стержня.

2) Ответ неверный! Критическое напряжение при решении задач устойчивости сжатых стержней определяется по формуле
, где параметр называется гибкостью стержня.

3) Ответ верный. Гибкость стержня длиной l определяется по формуле . Здесь l – длина стержня; – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня; А – площадь поперечного сечения; – минимальный момент инерции площади поперечного сечения стержня; – коэффициент приведения длины, – это число полуволн синусоиды, получающейся из упругой линии стержня в пределах его длины l.

4) Ответ неверный! Гибкость стержня − величина безразмерная. При анализе данной формулы получим размерность . Следовательно, ответ неправильный. В знаменателе, в формуле для определения гибкости стержня, вместо минимального осевого момента инерции поперечного сечения стоит минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

Задача 9.1.6: Число, показывающее, во сколько раз следует изменить длину шарнирно-опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной l при рассматриваемых условиях закрепления, называется коэффициентом …

1) масштабного фактора; 2) динамичности;

3) запаса на устойчивость; 4) приведения длины.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициентом масштабного фактора называется число, на которое следует умножить предел выносливости стандартного образца, чтобы получить предел выносливости образца с заданным диаметром.

2) Ответ неверный! Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз прогиб при ударе больше прогиба, возникающего в системе при статическом приложении нагрузки.

3) Ответ неверный! Коэффициент запаса на устойчивость представляет отношение значения критической силы, при которой стержень теряет устойчивость, к фактической силе, сжимающей стержень.

4) Ответ верный. При потере устойчивости стержня длиной l, шарнирно-закрепленного по концам, изгиб происходит по полуволне синусоиды. Значение критической силы, при напряжениях не превышающих предел пропорциональности, определяется по формуле

Учитывая особенности упругой линии, можно распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Пусть стержень на одном конце жестко закреплен, на другом свободен. Упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно-закрепленного стержня.

Из рисунка видно, что критическая сила для стержня длиной l, защемленного одним концом, равна критической силе шарнирно закрепленного стержня длиной . Следовательно, в рассматриваемом примере .
Анализируя другие варианты закрепления стержня и обобщая полученные формулы, можно получить общее выражение для определения критической силы сжатого стержня: ,
где – коэффициентом приведения длины; это число, показывающее, во сколько раз следует изменить длину шарнирно-опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной l при рассматриваемых условиях закрепления.

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня
Стержень квадратного сечения площадью поперечного сечения А, длиной l сжимается силой F. При замене квадратного сечения на круглое с той же площадью А, при прочих равных условиях, гибкость стержня ______________ раза.

Решение:
Воспользуемся формулой для определения гибкости
При прочих одинаковых условиях, гибкость стержня зависит от минимального радиуса инерции сечения
Для квадратного сечения
Для круглого сечения
После вычислений получим, что при замене квадратного сечения на круглое при одинаковой площади гибкость стержня увеличится в раза.

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня
При потере устойчивости сжатого стержня изгиб стержня происходит в плоскости …

Решение:

Рассмотрим прямолинейный стержень прямоугольного сечения с размерами , причем Пусть стержень сжимается силами F, приложенными строго в центре тяжести сечений. Изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости, то есть перемещения w направлены перпендикулярно той главной центральной оси, относительно которой осевой момент инерции сечения принимает минимальное значение

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня
Стержень длиной l круглого сечения диаметром d сжимается силой F. Напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности. При увеличении диаметра в два раза, при прочих равных условиях, критическое напряжение ____________ раза.

Решение:
Критическое напряжение в сжатом стержне, если напряжение в стержне не превышает предела пропорциональности, определяется по формуле
где
Для круглого стержня
При увеличении диаметра в два раза
Следовательно, при увеличении диаметра стержня в два раза критическое напряжение увеличится в четыре раза.

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня

Стержень квадратного сечения с размерами , длиной l сжимается силами F. При увеличении каждой стороны квадрата в два раза, при прочих равных условиях, гибкость стержня ___ раза.

Решение:
Гибкость стержня определяется по формуле При увеличении размеров поперечного сечения, при прочих равных условиях, гибкость будет зависеть от минимального радиуса поперечного сечения
В первом варианте
во втором –
Следовательно, во втором варианте гибкость стержня уменьшится в два раза.

Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня и пределы ее применимости

Задача 9.2.1: Стержни изготовлены из одного материала, имеют одинаковую длину, размеры и форму поперечного сечения. Критическая сила имеет наибольшее значение для стержня, показанного на рисунке…
При решении учитывайте, что напряжения в стержнях не превышают предел пропорциональности.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Необходимо проанализировать формулу для определения критической силы в зависимости от коэффициента приведения длины .

2) Ответ неверный! Для данной схемы значение критической силы будет наименьшим.

3) Ответ верный. Формула для определения критической силы при различных вариантах закрепления сжатого стержня имеет вид
,
где − коэффициент приведения длины, учитывающий условия опирания стержня. На рисунке показано несколько видов закрепления стержня и значения коэффициента .

Подставим значение коэффициента приведения длины в выражение для определения критической силы. Из сопоставления значений видно, что наибольшее значение будет для стержня на рис. 3).

4) Ответ неверный! Значение критической силы зависит при прочих равных условиях от условий закрепления стержня. При шарнирном опирании коэффициент приведения длины , а для схемы 3) имеем . Из анализа формулы для определения критической силы следует, что, чем меньше значение , тем больше значение критической силы.

Задача 9.2.2: Граница применимости обобщенной формулы Эйлера определяется...

1) величиной жесткости поперечного сечении стержня на изгиб ;

2) физико-механическими свойствами материала сжимаемого стержня;

3) неравенством ; 4) неравенством .

Решение:

1) Ответ неверный! В формулу Эйлера действительно входит выражение минимальной жесткости поперечного сечения стержня на изгиб. Это связано с тем, что потеря устойчивости сжатого стержня связана с изгибом, происходящим в плоскости с минимальной жесткостью. Однако данная величина не является критерием для определения границы применимости использования формулы Эйлера.

2) Ответ верный. Известно, что применимость формулы Эйлера ограничена неравенством .
, или , здесь . Тогда минимальное значение гибкости , где Е – модуль упругости, – предел пропорциональности.
Таким образом, граница применимости формулы Эйлера определяется физико-механическими свойствами материала.

3) Ответ неверный! Неравенство предполагает, что напряжения, возникающие в момент потери устойчивости стержня, превышают значение предела пропорциональности материала, из которого изготовлен стержень. Однако формула Эйлера получена в предположении малости перемещений и отсутствия пластических деформаций. Следовательно, границей применимости обобщенной формулы Эйлера является неравенство .

4) Ответ неверный! Неравенство предполагает наличие верхней и нижней границы применимости формулы Эйлера. Однако существует только нижняя граница, определяемая формулой . Формула получена с использованием соотношения .

Задача 9.2.3: Стержень круглого сечения диаметром нагружен силой . При увеличении диаметра в два раза значение критической силы увеличится в ________ раз (-а).
При решении учитывайте, что нормальные напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности.

1) 16; 2) 8; 3) 2; 4) 32.

Решение:

1) Ответ верный. Выражение критической силы сжатого стержня имеет вид
.
При изменении размеров поперечного сечения зависит от минимального значения осевого момента инерции сечения . При значении диаметра, равного d, получим . С увеличением диаметра стержня в два раза имеем .
Следовательно, значение критической силы увеличится в 16 раз.

2) Ответ неверный! Критическая сила пропорциональна минимальному осевому моменту инерции сечения, который определяется для круглого сечения по формуле . Диаметр стоит не в третьей, а четвертой степени.

3) Ответ неверный! Значение критической силы не изменяется пропорционально диаметру сечения.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка при возведении числа в степень.

Задача 9.2.4: Использование формулы Эйлера является корректным при выполнении неравенства …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Формула Эйлера получена в предположении, что напряжение в стержне в момент потери устойчивости не превышает предела пропорциональности
а не предела текучести .

2) Ответ неверный! Формула Эйлера получена в предположении, что значение напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превышает предела пропорциональности или , а не предела текучести . Следовательно, .

3) Ответ неверный! Величина определяет нижнюю границу значения гибкости для применимости формулы Эйлера. Верхняя граница не регламентируется. Данное неравенство предполагает использование формулы Эйлера для расчета стержней, имеющих гибкость меньше данной величины. Использование формулы Эйлера для стержней малой гибкости приведет к получению значений , превышающих предел текучести и предел прочности, что крайне опасно по своим последствиям.

4) Ответ верный. Формула Эйлера получена в предположении, что нормальное напряжение в стержне, в момент потери устойчивости, не превышает предела пропорциональности:
, ,
где – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня; − гибкость стержня.
Таким образом, .

Тема: Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня и пределы ее применимости

Стержень круглого сечения диаметром d, длиной l сжимается силой F. При увеличении линейных размеров l и d в два раза значение критической силы, при прочих равных условиях, ___________. При решении учитывать, что напряжения в сжатом стержне не превышают предела пропорциональности.

Решение:
Для определения критической силы сжатого стержня, когда напряжения не превышают предела пропорциональности, воспользуемся формулой Эйлера где для круглого сечения определяется по формуле
При увеличении линейных размеров l и d в два раза значение критической силы увеличится в 4 раза.

Тема: Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня и пределы ее применимости
Возможность применения формулы Эйлера для определения критической силы сжатого стержня, изготовленного из заданного материала, устанавливается по величине …

Решение:
Формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня справедлива, если напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности, то есть или где − гибкость стержня.
Если из неравенства выразить гибкость, то условие применения формулы Эйлера получит вид
Следовательно, величина гибкости устанавливает возможность применения формулы Эйлера.

Тема: Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня и пределы ее применимости
Для стержня с шарнирно-опертыми концами значению критической силы соответствует изгиб стержня по …

Решение:
При выводе формулы Эйлера пользуются приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. После интегрирования и выполнения граничных условий получают наименьшее значение критической силы и форму изогнутой оси стержня в виде полуволны синусоиды с максимальным прогибом А.

Тема: Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня и пределы ее применимости
Формула Эйлера для определения критической силы применима, если напряжения в сжатом стержне не превышают …

Решение:
При выводе формулы Эйлера использовалось приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня. Дифференциальное уравнение, в свою очередь, было получено на допущении, что нормальное напряжение прямо пропорционально линейной деформации . Закон Гука выполняется до предела пропорциональности. Поэтому формула Эйлера для определения критической силы применима, если напряжения в сжатом стержне не превышают предела пропорциональности.

9.3. Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Задача 9.3.1: Одинаковые стержни закреплены, как показано на рисунках. Гибкость будет наименьшей для стержня, показанного на рисунке…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Гибкость зависит от условий закрепления стержня. При шарнирном опирании значение коэффициента приведения длины . Данное значение не будет наименьшим для схем, представленных на рисунках.

2) Ответ неверный! Проанализируйте формулу для определения гибкости стержня в зависимости от условий закрепления стержня.

3) Ответ верный. Гибкость сжатого стержня определяется по формуле
.
При прочих равных условиях она зависит от условий закрепления стержня (коэффициента приведения длины ). Наименьшее значение коэффициента будет для стержня на рисунке 3).
Следовательно, гибкость также будет наименьшей для стержня 3).

4) Ответ неверный! Для данного варианта закрепления стержня коэффициент приведения длины . В этом случае гибкость стержня наибольшая.

Задача 9.3.2: Коэффициент приведения длины сжатого стержня зависит от…

1) модуля упругости материала стержня;

2) площади поперечного сечения стержня;

3) длины стержня;

4) условий закрепления стержня.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины определяется формулой , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня в данных условиях закрепления.

2) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины определяется формулой , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня в данных условиях закрепления.
Количество полуволн упругой линии стержня не связано с площадью поперечного сечения.

3) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины определяется формулой , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня в данных условиях закрепления.
Количество полуволн упругой линии стержня не связано с длиной сжимаемого стержня.

4) Ответ верный. Для расчета стержней на устойчивость используется обобщенная формула Эйлера: . Здесь – коэффициент приведения длины (число, показывающее, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе стержня длиной l при рассматриваемых условиях закрепления), n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня при данных условиях закрепления. Упругая форма линии стержня определяется условиями его закрепления.

Задача 9.3.3: На рисунке показаны два варианта закрепления одинаковых стержней. Отношение значений критических напряжений равно … (При решении учитывайте, что напряжения в стержнях не превышают предела пропорциональности).

;

1) 1; 2) 1/2; 3) 1/4; 4) 4.

Решение:

1) Ответ неверный! Значение критического напряжения зависит от условий закрепления стержня. Для представленных вариантов они разные. Поэтому отношение критических напряжений не будет равно единице.

2) Ответ неверный! При вычислениях необходимо учесть, что гибкость стержня стоит в формуле для определения критического напряжения в квадрате.

3) Ответ верный. Формула для определения критического напряжения, если напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности, имеет вид , где .
Следовательно, для одинаковых стержней значения критических напряжений зависят от коэффициента приведения длины . В первом варианте закрепления стержня , во втором . После вычислений получим

4) Ответ неверный! Необходимо определить отношение , а не отношение .

Задача 9.3.4: Если удалить опору В, то величина критической силы…

1) уменьшится в 4 раза; 2) уменьшится в 2 раза;

3) уменьшится в 16 раз; 4) не изменится.

Решение:

1), 2), 4) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неучете изменения формы потери устойчивости при удалении опоры В. Изменение формы потери устойчивости учитывается коэффициентом приведения длины .

3) Ответ верный. Величина критической силы определяется с помощью обобщенной формулы Эйлера .
Для схемы с опорой В форма потери устойчивости изображена штриховой линией на рис. 1.

В этом случае коэффициент приведения длины . Здесь n – это число полуволн упругой линии изогнутого стержня при данных условиях закрепления. Тогда . (1)
Для схемы без опоры В форма потери устойчивости изображена штриховой линией на рис. 2.

В этом случае коэффициент приведения длины . Тогда . (2)
Сопоставление выражений (1) и (2) позволяет сделать вывод об уменьшении величины критической силы в 16 раз.

Задача 9.3.5: При замене жестких закреплений стержня на шарнирные, значение критической силы…
При решении учитывайте, что напряжения в стержнях не превышают предел пропорциональности.

1) увеличится в 4 раза; 2) уменьшится в 8 раз;

3) уменьшится в 2 раза; 4) уменьшится в 4 раза.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины стоит в знаменателе формулы для определения критической силы.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка при возведении числа в степень.

3) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины в знаменателе стоит в квадрате.

4) Ответ верный. Формула для определения критической силы сжатого стержня записывается в виде
.
При прочих равных условиях значение зависит от условий закрепления стержня, т.е. от коэффициента приведения длины . В первом варианте значение , во втором .
Следовательно, при замене жестких закреплений стержня на шарнирные значение уменьшится в 4 раза.

Задача 9.3.6: При установке шарнирно-подвижной опоры в середине длины стержня АВ критическая сила…

1) увеличится в 2 раза; 2) увеличится в 4 раза;

3) увеличится в 16 раз; 4) не изменится.

Решение:

1) Ответ неверный! Ошибка заключается в неправильном вычислении критической силы

2) Ответ верный. Величина критической силы определяется формулой .
Для стержня АВ без промежуточной опоры (рис. 1) коэффициент приведения длины , тогда . (1)
Для стержня АВ с промежуточной опорой С (рис. 2) . Здесь n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня при данных условиях закрепления.

. (2)
Сопоставление выражений (1) и (2) позволяет сделать вывод, что добавление промежуточной опоры С увеличивает значение критической силы в 4 раза.

3) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неправильном определении форм потери устойчивости стержня АВ (рис. 1, 2) и, соответственно, величины коэффициента приведения длины , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня.

4) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неучете изменения формы потери устойчивости при введении в систему дополнительной опоры С.

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

При замене шарниров (рис. а) в сжатом стержне на жесткие защемления (рис. б) значение гибкости …

Решение:
Гибкость сжатого стержня определяется по формуле где − коэффициент приведения длины, значение которого зависит от условий опирания концов стержня.
Для варианта «а» значение для варианта «б» −
Следовательно, гибкость уменьшится в два раза.

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Стержень, схема закрепления которого показана на верхнем рисунке, сжимается силой F. Форма потери устойчивости стержня представлена на схеме …

Решение:
При заданной схеме закрепления стержня прогиб и угол поворота крайнего левого сечения стержня равны нулю. Вертикальное перемещение крайнего правого сечения равно нулю, но разрешается поворот сечения. Этим условиям соответствует форма потери устойчивости, показанная на схеме «в».

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Стержни изготовлены из одного материала, имеют одинаковую длину, форму и размеры поперечного сечения. Схемы закрепления стержней, сжатых силой F, показаны на рисунках. Наибольшее значение гибкости имеет стержень, показанный на рисунке …

Решение:
При определении гибкости стержня воспользуемся формулой Коэффициент учитывает условия опирания стержня. Наибольшее значение коэффициент имеет при закреплении концов стержня, показанного на рисунке «а» Поэтому гибкость будет наибольшей для стержня на рисунке «а».

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Стержень длиной l сжимается силой F. Схема закрепления показана на рисунке. Приведенная длина стержня равна …

Решение:
Приведенная длина стержня определяется по формуле где − коэффициент приведения длины, который учитывает условия опирания стержня. Для стержня с одним защемленным, а другим свободным концами Тогда

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Форма потери устойчивости сжатого стержня, (см. верхний рис.), соответствует способу закрепления, показанному на схеме …

Решение:
Форма потери устойчивости сжатого стержня, показанная на рисунке, предполагает, что оба концевые сечения имеют возможность свободно поворачиваться, а линейные вертикальные перемещения на концах равны нулю. Это возможно только для схемы закрепления стержня на схеме «г».

9.4. Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней

Задача 9.4.1: Условия закрепления стержня одинаковы во всех плоскостях, проходящих через его ось. Варианты поперечных сечений, которые имеют одинаковую площадь, показаны на рисунках. Наиболее рациональной, с точки зрения устойчивости, будет форма поперечного сечения, представленная на рисунке…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Форма поперечного сечения не совсем рациональна.

2) Ответ верный. При проектировании поперечных сечений сжатых стержней необходимо, чтобы главные моменты инерции сечения были по возможности одинаковыми. Этому критерию удовлетворяют круглые, квадратные, трубчатые сечения. С экономической точки зрения, наиболее рациональной будет форма поперечного сечения, при которой величина наименьшего радиуса инерции сечения при заданной площади является наибольшей. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения.
Поэтому наиболее рациональной является форма, показанная на рисунке 2).

3) Ответ неверный! С позиции работы на устойчивость сжатых стержней необходимо стремиться к тому, чтобы осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей были одинаковыми.

4) Ответ неверный! Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей резко отличаются, т.е. форма сечения не рациональна.

Задача 9.4.2: Стержень длиной закреплен, как показано на рисунке. Площадь поперечного сечения , минимальный момент инерции поперечного сечения , модуль упругости материала стержня , предел пропорциональности , предел текучести Значение критической силы для сжатого стержня равно…

; .

1) 2,188 Мн; 2)2,4 Мн; 3) 3,081 Мн; 4) 2,188 Кн;

Решение:

1) Ответ верный. Определяем значение предельной гибкости стержня
Найдем гибкость из уравнения
, откуда =61.
Определяем гибкость данного стержня , где , п – количество полуволн упругой линии изогнутого стержня.
.
Из условия, что гибкость данного стержня находится в пределах от 100 до 61, при определении значения критической силы используем формулу Ясинского
Мн.

2) Ответ неверный! Данное значение соответствует предельной нагрузке, определенной по формуле
.

3) Ответ неверный! При определении критической силы использована формула Эйлера. Необходимо при решении задачи на первом этапе вычислить значение гибкости сжатого стержня. В зависимости от полученного значения гибкости использовать соответствующую формулу при определении критической силы.

4) Ответ неверный! Необходимо провести анализ размерности величин при определении критической силы по формуле Ясинского.

Задача 9.4.3: Длина стержня . Поперечное сечение – квадрат со стороной . Допускаемое напряжение на сжатие . Допускаемое напряжение на устойчивость равно…

1) 100 МПа; 2) 220 МПа; 3) 180 МПа; 4) 160 МПа.

Решение:

1) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неправильном вычислении гибкости стержня.

2) Ответ неверный! Допускаемое значение напряжения на устойчивость находится из формулы . Значение коэффициента понижения основного допускаемого напряжения не может превышать единицы.

3) Ответ верный. Определяем коэффициент приведения длины для данной схемы закрепления.

Производим расчет гибкости .
Здесь – радиус инерции сечения
(),
А – площадь поперечного сечения стержня.
.
– минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.
.
.
.
По таблице находим коэффициент снижения допускаемого напряжения