Для заданного поперечного сечения определить положение центра тяжести, положение главных центральных осей инерции, величину главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции сечения.

Для заданного поперечного сечения определить положение центра тяжести, положение главных центральных осей инерции, величину главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции сечения.

2. Рассматриваем заданное сечение как составное, состоящее из трёх элементов. Для определения центра тяжести всего сечения выбираем вспомогательные оси, относительно которых, при помощи чертежа сечения, определяем координаты центров тяжести элементов сечения С₁;С₂;С₃. За вспомогательные можно принимать любые оси, положение которых относительно сечения известно. Принимаем за вспомогательные Х₃;У₃.

С₁ (8,94; 2,46) С₂(-4; 2,46) С₃(0; 0)

3. Вычислим координаты центра тяжести всего сечения относительно вспомогательных осей:

x_c= = = =1,58см

y_c= = = =2,00см

4. По найденным координатам, строим точку «С»- центр тяжести всего сечения.

Через точку «С» параллельно вспомогательным осям Х₃;У₃, проводим центральные оси сечения Х_с;У_с. Вычислим координаты центров тяжести элементов сечения в произвольных центральных осях Х_с;У_с:

x_н1=8,94-1,58=7,36 см; y_н1=2,26-2,00 = 0,26 см;

x_н2=-4-1,58=-5,58 см; y_н2=2,26-2,00 = 0,26 см;

x_н3=0-1,58=-1,58 см; y_н3=0-2,00 =-2,00 см;

С₁ (7,36; 0,42) С₂(-5,58; 0,42) С₃(-1,58; -1,84)

5. Вычисляем моменты инерции произвольных центральных осей всего сечения:

I_xc=

I_xc=0,94+1090+46,6+17,6 0,26²+20,7 0,26²+8,78 (-2,00)² = 1175,24 см⁴

I_yc=

I_yc=709,87+86+46,6+17,6 7,36²+20,7 (-5,58)²+8,78 (-1,58)² = 2462,3 см⁴

I_xcyc=

I_xcyc=0+0+27,3+17,6 7,36 0,26+20,7 (-5,58) 0,26+8,78 (-1,58) (-2,00)=58,69 см⁴

6. Определяем угол поворота центральных осей до положения главных центральных осей с помощью формулы:

tg2α= ; tg2α= =0,093; α = = 36'

Строим на чертеже главные центральные оси всего сечения, откладывая α=+ 36' против часовой стрелки. Обозначаем построенные оси «U» и «V».

7. Величины главных центральных моментов инерции определим по формуле:

I = =2464,77 см⁴

I = =1172,77 см⁴

Выполняем проверку вычислений I_max, I_min.

2464,7+1172,77=1175,24+2462,3

3637,54=3637,54 см⁴

8. Вычислим изменение моментов инерции при повороте центральных осей:

I_v= ; Cos²( 36')=0.998; Sin²( 36')=0.0017

I_u= ; Sin (5⁰12') = 0,089

I_v=1175,24 0,998+2462,3 0,0017 - 58,69 0,089 = 1171,85см⁴

I_u=1175,24 0,0017+2462,3 0,998+58,69 0,089 = 2464,59 см⁴

Сравнивая результаты, полученные по разным формулам, проверяем правильность определения величины I_max, I_min. Разницу в значениях, вычисляемых величин можно отнести к арифметической погрешности вычислений.

Окончательно принимаем: Imax=24 65 см⁴; Imin= 1172 см⁴

9. Определим главные радиусы инерции и построим эллипс инерции сечения:

r_max= = = 7,24 см; где А= А₁+А₂+А₃= 17,6+ 20,7+ 8,78= 47,08 см²

r_min= = = 4.99 см

Рис.1 Поперечное сечение.

Дата добавления: 2015-08-29