Контрольная работа по ДУЧП

Контрольная работа по ДУЧП

Приближенные метода решения дифференциальных уравнений с частными производными

Вариант 7

Задание. Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате ABCD с вершинами A(0;0), B(0;1), c(1;1), D(1;0); шаг h=0,2. При решении задачи использовать итерационный процесс усреднения Либмана до получения ответа с точностью до 0,01.

Номер варианта

Процесс решения разобьем на несколько этапов.

I. Построим область решения, покроем ее сеткой с шагом h=0,2; вычислим значения искомой функции в граничных точках области (рис. 8).

1) Значения функции на стороне AB найдем по формуле ; имеем ; ; ; ; ; .

2) На стороне BC: ; ; ; ; ; .

3) На стороне CD: ; ; ; ; ; ; .

4) На стороне AD: ; ; ; ; .

заменим на 1.

II. Для определения значений функций во внутренних точках области методом сеток заданное уравнение Лапласа в каждой точке заменим конечно-разностным уравнение по формуле:

Используя эту формулу, составим уравнение для каждой внутренней точки. Предварительно пронумеруем искомые значения функции, изобразив их на рис. 9, соответствующим построенной выше сеточной области; на этом рисунке отметим также найденные граничные значения. В результате получаем систему уравнений:

;

;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Все полученные значения представим в следующей таблице, которая называется нулевым шаблоном:

III. Для каждого нового приближенного решения задачи будем составлять таблицу, содержащую только внутренние значения, которые изменяются в процессе вычислений. Эти таблицы называются шаблонами. В результате получим следующую последовательность шаблонов:

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

№11

№12

№13

№14

№15

№16

Шаблоны №15 и №16 содержат значения, отличающиеся друг от друга меньше, чем на 0,01 (заданная точность); поэтому вычисления прекращаем. Последние значения округляем до сотых долей и получаем ответ:

Дата добавления: 2015-08-29