, где k является постоянной Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной R к числу Авогадро NA), i — число степеней свободы молекул ( в большинстве задач про идеальные газы, где молекулы

, где k является постоянной Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной R к числу Авогадро N_A), i — число степеней свободы молекул ( в большинстве задач про идеальные газы, где молекулы предполагаются сферами малого радиуса, физическим аналогом которых могут служить инертные газы), а T - абсолютная температура.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

[править] Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной и одна частица массой в нём.

Обозначим скорость движения , тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен , а после — , поэтому стенке передается импульс . Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно .

Отсюда следует:

Так как давление , следовательно сила

Подставив, получим:

Преобразовав:

Так как рассматривается кубический сосуд, то

Отсюда:

.

Соответственно, и .

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: , аналогично для осей y и z.

Поскольку , то . Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятны.

Отсюда

или .

Пусть — среднее значение кинетической энергии всех молекул, тогда:

, откуда .

Для одного моля выражение примет вид

Давление газа или пара. Рассмотрим прямоугольный сосуд, в единице объема которого содержится n молекул газа массой m каждая. Нас будут интересовать только те молекулы, которые ударяются об одну из стенок сосуда. Выберем ось x так, чтобы она была перпендикулярна этой стенке и рассмотрим молекулу, у которой составляющая скорости v вдоль выбранной нами оси равна vx. При ударе молекулы о стенку сосуда ее импульс в направлении оси x изменится на величину -2mvx. В соответствии с третьим законом Ньютона таков же будет импульс, переданный стенке. Можно показать, что если все молекулы движутся с одинаковыми скоростями, то с единицей площади стенки в 1 с сталкивается (1/2) nvx молекул. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пограничный слой газа вблизи одной из стенок, заполненный молекулами с одинаковыми величинами v и vx (рис. 1). Предположим, что толщина этого слоя настолько мала, что большинство молекул пролетают его без столкновений. Молекула А долетит до стенки в момент времени t = l /vx; к этому времени о стенку ударится ровно половина молекул из пограничного слоя (другая половина движется от стенки). Их число определяется плотностью газа и объемом пограничного слоя площадью А и толщиной l: N = (1/2) nAl. Тогда число молекул, ударившихся о единичную площадку за 1 с, составит N/At = (1/2) nvx, и полный импульс, переданный этой площадке за 1 с, будет равен (1/2) nvx Ч2mvx = nmvx2. На самом деле составляющая vх неодинакова для разных молекул, поэтому величину vx2 следует заменить ее средним значением

и">

. Если молекулы движутся хаотически, то среднее всех vх равно среднему для vy и vz, так что

и

<="" div="" style="border-style: none; ">

Рис. 1. ДАВЛЕНИЕ ГАЗА на стенки сосуда можно найти, рассматривая импульс, передаваемый молекулами стенкам.

где - среднее для всех молекул значение v2. Удары молекул о стенку так быстро следуют один за другим, что последовательность передаваемых импульсов воспринимается как постоянное давление Р. Величину Р можно найти, если вспомнить, что давление - это сила, действующая на единицу площади, а сила, в свою очередь, - это скорость изменения импульса. Следовательно, Р равно скорости изменения импульса, приходящегося на единицу площади, т.е.

<="" div="" style="border-style: none; ">
Такое же соотношение мы получим, если вместо случайного движения молекул во всех направлениях будем рассматривать движение одной шестой их числа перпендикулярно каждой из шести граней прямоугольного сосуда, считая, что каждая молекула обладает кинетической энергией

.

Дата добавления: 2015-08-29