Способы конструирования задач

Способы конструирования задач

К проблеме конструирования задач обращались С.С. Бакулевская (для реализации идеи гуманизации), Т.Н. Бузулина (конструирование неопределенных задач), Ю.М. Колягин (дестандартизация задачи), И.Б. Ольбинский («развитие» задачи), Д. Пойа (разбиение задачи на подзадачи, подбор задач, обеспечивающих решение более сложных задач), Р.В. Селюков (конструирование способа решения задачи), Э.А. Страчевский (как средство активизации мыслительной деятельно­сти), Н.П. Туч­нин (с целью формирования умения задавать вопросы) и др., объединяет эти работы указание способа конструирования задач.

Д. Пойа выделяет пять основных приемов видоизменения задачи для получения новых задач (т. е. для конструирования): обобщение, специализация, аналогия, разложение и составление новых комбинаций.

По мнению Г.В. Токмазова, динамическая задача может форми­роваться в двух направлениях: от основной задачи — к серии взаимосвязан­ных проблем и от цепочки взаимосвязанных проблем — к формулировке ос­новной задачи.

При конструировании новых эвристических задач С.С. Бакулевская, И.Б. Оль­бинский оперируют понятием «развитие» задачи, понимая под «развитием задачи» (авт. – И.Б. Ольбинский) получение новой задачи, теоре­мы, формулы, гипотезы, нового решения, метода и т.д. Эти результаты могут быть получены путем возвращения к этапам решения задачи (анализ, поиск решения (выдвижение гипотезы), составление плана решения и его реализа­ция (проверка гипотезы), ответ (верификация ответа) и исследования задачи).

С.С. Бакулевская и И.Б. Ольбинский, выделяют следующие схемы конструирования задач: преобразование задачи; конструирование за­дачи, аналогичной данной; обобщение; конкретизация; конструирование за­дачи, обратной данной. Н.П. Тучнин выделяет такие же схемы конст­руирования задач, отождествляя понятия «конкретизация» и «специализа­ция» задачи (рассмотрение частных случаев).

Т.И. Бузулина определяет основную идею для разработки меха­низма конструирования задач – дополнение. Он основан на том, что типовые задачи дополняются задачами:

1) аналогичные типовым;

2) являющиеся промежуточными между типовыми, выводя их на более высокий уровень сложности;

3) существенно отличающиеся от типовых и включающие предшест­вующие в структуре типовые задачи;

4) обобщение задачи (обобщение по размерности, обобщение путем отбрасывания условий, обобщение на основе рассмотрения частных случаев, обобщение путем изменения, обобщение на основе соединения);

5) составление серии подготовительных задач, которая может включать типовые (серия типовых задач строится так, чтобы обучаемые могли выделить общую закономерность; включение в серию задач, упрощающих реше­ние);

6) составление задач-следствий данной или задач, решение которых ба­зируется на открытом способе или приеме решения данной.

Анализ схем конструирования позволил нам выделить способы конст­руирования задач: конструирование задач аналогичных данной; обобщение задачи; конкретизация задачи; конструирование задачи, обратной данной; варьирование; переформулировка задачи.

1 -й способ конструирования задач – конструирование задач аналогичных данной (в основу положен прием открытия фактов – аналогия).

Аналогия понимается как один из видов традуктивного умозаключения (лат. traductio – перемещение, при котором от двух или нескольких суждений некоторой степени общности переходят к новому суждению той же степени общности), как сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках, от­ношениях, причем таких предметов, которые в целом различны (Н.И. Кондаков), как сходство отношений, причем это сходство имеет ясный смысл, если отношения управляются одними и теми же законами (Д. Пойа).

При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассуждений о каком-либо объекте, переносится на другой, менее изученный. Заключения, полученные по аналогии, носят вероятностный характер. Они являются од­ним из источников гипотез, индуктивных рассуждений и играют важную роль в открытиях нового факта учащимися.

Примером конструирования на основе аналогии является мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии в стерео­метрию. Так, например, попытки найти в пространстве теорему, аналогич­ную теореме Пифагора в плоскости, привели к рассмотрению идее поставить в соответствие на плоскости объекты, свойства объектов, отношения в про­странстве.

Исходная задача:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Сконструированная задача:

В тетраэдре сумма квадратов площадей трех взаимно перпендикулярных граней равна квадрату площади четвертой грани.

2 -й способ конструирования задач – обобщение задачи (в основу положен переход от частного к общему).

Обобщение как форма перехода от частного к общему имеет целью вы­деление общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов. Использование обобщения основано на расширении облас­ти изменения параметра, либо на переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Первое направление преимущественно применяется в алгебре, второе – в геометрии. Снятие или ослабление ограничения, наложенного на условие первоначальной задачи, приводит к новой, более общей задаче или к доказательству некоторого утверждения.

Докажите, что , где О – произвольная точка пространства, а М – середина отрезка АВ.

Данная задача на практике часто используется в качестве иллюстрации применения векторного метода. Если ОМ выразить через векторы ОА и AM и векторы ОВ и BM, далее после преобразований выполнить сложение полу­ченных векторных равенств, то получим требуемый результат.

Приведенные рассуждения можно использовать в случае замены в ус­ловии задачи отрезка параллелограммом. Преобразования условия вызовет изменения и в заключении задачи: , где A, B, C, D – вершины параллелограмма.

Дальнейшее обобщение задачи приводит к замене параллелограмма параллелепипедом, что обуславливает и новое требование задачи: докажите, что , где – вершины параллелепипеда.

Анализ преобразований условия задачи показал, что они осуществля­ются при сохранении основной идеи: фигура, заданная в условии, должна быть центрально-симметричной. Это условие и определяет направление обобщения.

3 -й способ конструирования задач – конкретизация задачи (прием обратный к обобщению).

Исходная задача: АВ и CD пересекаются в точке М. А, В, С, D лежат на окружности. Докажите, что AM • MB = CM • MD.

Конкретизируя положение точки М — внутри или вне окружности рас­сматриваем возможные случаи.

При рассмотрении частного случая исходной задачи: одна из хорд (пусть АВ) является диаметром окружности, а другая (хорда CD) перпенди­кулярна ей – получим, что AM • MB = CM².

Формулировка задачи примет вид: если из некоторой точки окружно­сти опустить перпендикуляр на диаметр, то квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков диаметра (Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки окружности на диаметр, есть среднее пропорциональное между отрез­ками диаметра). Заметив, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, преобразуем задачу в следующую: если из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу, то квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков гипотенузы.

Взяв предельный случай, который дает совпадение точек, например, А и В, формулировка задачи трансформируется в следующую: через точку М проведены касательная МА (А – точка касания) и секущая, которая пересека­ет окружность в точках С и D. Докажите, что МА² = МС • MD.

Второй предельный случай (совпадение точек С и D) соответствует следующей задаче: из точки М проведены к окружности две касательные МА и МС (А и С - точки касания). Докажите, что МА = МС.

4 -й способ конструирования задач – конструирование задачи, обратной дан­ной.

Задача: Даны четыре точки А, В, С и D, причем А Ï ВС. Докажите, что если эти точки принадлежат одной плоскости, то , причем и О – произвольная точка пространства.

Условие задачи: четыре точки, принадлежащие одной плоскости, за­ключение: , где х. у, z такие, что . Преобразуем исходную задачу таким образом, что бы ее условие (точки принадлежат од­ной плоскости) стало заключением, а заключение (, где х, у, z такие, что ) – условием. Получим задачу, которая является об­ратной исходной.

Обратная задача: Даны четыре точки А, В, С и D причем А Ï ВС. Дока­жите, что если , причем и О – произ­вольная точка пространства, то эти точки принадлежат одной плос­кости.

5 -й способ конструирования задач – варьирование.

В сборниках задач, методических рекомендациях наиболее часто представлены варьирование условия (способ кон­струирования задач, который может изменить решение и результат задачи путем замены всего одного слова, например, задача на построение треуголь­ника по трем сторонам имеет элементарное решение, а если заменить «сто­роны» на «биссектрисы», решение усложняется). Варьирование условий при­водит к образованию серии задач, очень похожих друг на друга по звучанию, но совершенно различных по способу и сложности решения. Варьирование бывает разным: в первом случае изменяется определение или термин, во вто­ром — равенство или неравенство, причем ми два способа довольно сильно отличаются на практике, хотя и схожи в теории.

Р.В. Селюков описывает один из способов варьирования, кото­рый опирается на способ решения геометрических задач и методику обратно­го поэтапного формирования способа действия. Анализ приведенной ниже методики позволил выделить идею построения задач: замена одного или не­скольких условий другим с опорой на имеющуюся теоретическую базу уча­щихся.

Автор выделяет основные аспекты конструирования из способа реше­ния задач.

Решение задачи есть обоснованная цепочка замен одних данных дру­гими, причем в качестве обоснования могут использоваться аксиомы, опре­деления, теоремы, следствия. Произведя каждую такую замену данных, мы получаем новую задачу. Таким образом, процесс решения задачи есть пере­ход от более сложной задачи к менее сложной, а в конце пути мы приходим к некоторой типовой задаче, которая решается путем прямого применения ка­кой-то одной теоремы (свойства, признака).

Составление своей собственной задачи необходимо начинать с типовой задачи. Примером типовой задачи может служить задача, в которой требует­ся доказать равенство двух треугольников, если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу ме­жду ними в другом треугольнике, или задача, в которой требуется доказать параллельность двух прямых, если известно, что при пересечении этих пря­мых секущей накрест лежащие углы равны.

«Перепрячем» одно (несколько) данное с помощью какой-либо теоре­мы (определения, свойства). При этом получаем более сложную задачу, для решения которой необходимо применить выбранную ранее теорему (опреде­ление, свойство) и вновь прийти к типовой задаче, решение которой уже не представляет труда.

6 -й способ конструирования задач — переформулировка задачи.

1. Диаметр окружности АВ перпен­дикулярен прямой МК. Точка B ле­жит на прямой МК. Сколько общих точек имеют прямая МК и окруж­ность?

2. МР - диаметр окружности, угол КМР равен 90°. Является ли КМ ка­сательной к окружности?

3. Прямая АВ перпендикулярна диа­метру окружности КС. Будет ли пря­мая АВ касательной к этой окружности?

4. Угол КАЕ - прямой, АК - диаметр окружности. Сколько общих точек имеют прямая ЛЕ и окружность?

Ключевая информация

Анализ психолого-педагогической и методической ли­тературы показал, что задача может пониматься как ситуация, объект мысли­тельной деятельности, цель, система и может рассматриваться в двух направ­лениях как специальный объект и как средство.

Анализ задачи как объекта позволил выделить особый вид задач – за­дачи с трансформацией элементов информационной структуры. В практике часто возникает потребность в таких задачах, их в сборниках задач содер­жится в небольшом количестве, поэтому востребованным становится их кон­струирование.

Выделены способы конструирования задач:

· конструиро­вание задач аналогичных данной;

· обобщение задачи;

· конкретизация задачи;

· конструирование задачи, обратной данной;

· варьирование;

· переформулировка задачи.

Рекомендуемая литература

1. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

2. Орлянская О.Н. Методика формирования у будущих учителей математики умения конструировать системы задач: Дис… канд. пед. наук. Волгоград, 2004.

3. Пойа Дж. Математическое открытие / Дж. Пойа. – М.: Наука, 1976.

4. Тучнин Н.П. Как задать вопрос? (О мат. творчестве школьников): Кн. для учащихся / Н.П. Тучнин. – М.: Просвещение, 1993 с. – 192 с.

Дата добавления: 2015-08-29