№1. Определитель 2-го порядка:

№1. Определитель 2-го порядка:

=…

Определитель 3-го порядка:

|=…

Свойства определителей:

1)detA=detA^T;

2)detA=detÃ, Ã:a_ij,a_ji

3)Лин.св-во: ∆^~=λ∆₁+μ∆₂

_­a_i1= λb_j+ μc_j

№2. Св-ва и опр.2-го порядка в №1. Формулы Крамера: рассм.СЛАУ: {a11x1+a12x2+..+a1nXn=b1, a21x1+a22x2+..+a2nXn=b2,.., an1x1+an2x2+..+annXn=bn; (2). Ф-лы Крамера: xi=∆i/∆; ∆=detA, ∆i=Ai;

Док-во1: a11 a12..a1n

X1|a21 a22..a2n|=∆*x1;

….

an1 an2..ann

a11 x1a12..a1n

|a21 x1a22..a2n|=x1*∆;

….

_ann x1an2..ann

b1 a12..a1n

|b2 a22..a2n|=∆1, => x1=∆1/∆;

…

Bn an2..ann

Аналогично xi=∆i/∆; Док-во2: Под.реш.(2) будем понимать сист.чисел (x1..xn), обращающ.(2) в сист.тождеств. Предположим, что реш.(2) сущ.и найдем его. Последовательно умножим ур-е (2) на A1j, A2j,..,Anj; (A1j=(-1)^i+jMj).. получ.(2*); просуммируем тождества (2*) => ∑xi(a11A1j+a2iA2j+..+aniAnj)=b1A1j+b2A2j+..+bnAn (2**); j=1,..,n; По опр.detA=ai1Ai1+ainAin; разлож.по i-му столбцу. Пусть i≠j (i<j;).. (a1i+a1j)A1i+(a2i+a2j)A2i+..+(ani+anj)Ani=detA; ∑a1iAej=δ1jdetA (3); из (2**)=> j=iL => xi∆=∆I => xi=∆i/∆ (4)-ф-ла Крамера.Мы предположили, что реш.сущ. => получили ф-лы Крамера. Обратное: пусть ∆=detA≠0, тогда (4) дают ед.(2) СЛАУ.

№3.Виды матриц: квадратная(m=n), прямоугольн., матрица-строка, матрица-столбец, еденич., верхняя(нижн.)треугольн, диагональная, симметричная. Верх(ниж) треуг.матр. => ∆=П aij=a11 a22..ann;

Операции: 1)Сложение A=(aij), B=(bij); C=A+B <=> Cij=aij+bij; Св-ва сложения: переметит. A+B=B+A; сочетательн. (А+В)+С=А+(В+С); 2)умнож.матрицы на число: С=λA<=>cij=λaij (i=1..mj)(j=1..nj); Св-ва: соч.относит.числ.сомножителя: (λμ)А=λ(μА), распред.относит.суммы матриц: λ(А+В)=λА+λВ, распред.относит.суммы чисел: (λ+μ)А=λА+μА; 3)Разность матриц: А-В =А+(-1)В; 4)Перемножен.матриц. A=(aij)(i=1..m)(j=1..n); B=(bij)(i=1..p)(j=1..q); C=AB=(cij), i=1..m; Cв-ва произведения: коммутативности нет АВ≠ВА; сочетательн.(АВ)С=А(ВС); распред.относит.суммы: (А+В)С=АС+ВС; det(AB)=detA*detB;

№4.Обратная матрица. Правая обратная матрица B: AB=E; лев.обратная матрица C:CA=E; A,B,C,E-квадратные nxn матрицы. Т1:если В и С сущ., то В=С. Док-во: АВ=Еб СА=Е(по опр.), С=СЕ => С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В; Т2: для того, чтобы для матрицы А сущ.прав.и лев.обратные матрицы, необходимо, чтобы detA≠0; Ax=b; A^-1Ax=A^-1b, x=A^-1b; Док-во: а)необходимость: Пусть сущ.В (или С) => АВ=Е => det(AB)=detA*detB=detE => (detA)detB=1 => detA=1/detB≠0. Б)достаточность: пусть ∆=detA≠0;

№5. Ранг матрицы – max число линейно-независимых строк(столбцов). В матрице А выберем произвольн.k-строк и k-столбцов. Элементы, стоящ.на пересеч.этих строк и столбцов образ.матрицу порядка (kxk). Det этой матрицы – минор k-го порядка. Теорема о ранге. Ранг матрицы равен наивысш.порядку минора отличного от нуля.

№6. Метод обратной матрицы. 1)Ax=B => A^-1Ax=A^-1B => x=A^-1B; detA≠0, detB≠0; 2)XB=C =>XBB^-1=CB^-1 => X=CB^-1; 3)AXB=C => A^-1AXBB^-1=A^-1CB^-1 =>X=A^-1CB^-1; Ax=b-частный случай. Метод Гаусса. Рассм.СЛАУ (1)

«Прямой ход» в методе Гаусса: пусть а11≠0

Приведем (1) к виду (2):

Продолжим процесс и получим: (3)

Конец «прямого хода». «Обратный ход»-нах.xi(i=n,n-1..). Пример:

№7. Исследование СЛАУ. 1)применение м.эл.преобраз.к исследованию СЛАУ:

r(A)=r(A)=2; x3=c3; x4=c4; x5=c5-свобод.переменые. n-r=5-2=3(своб.перем.)

Общее реш:

Частные реш: a)С3=с4=с5=0

Б)с3=с4=с5=1

Однородные системы уравнений. (1):

Утверждения: 1)если r=n (s≥n), то нулевое реш.-ед.решение (1). 2)сист.(1) всегда совместна, т.к. r(A)=r(A); 3)если r<n, то сист.(1) имеет также ненулевые реш. 4)сист.(1) обладает при n=s ненулевыми реш.т.и т.д., когда detA=0; 5)если в однород.сист.число уравнений (S<n) меньше числа неизвестных, то сист.имеет ненулевые реш. Св-ва решений СЛАУ (1):

№8. Геометрич.векторы – направленные отрезки. Начало вектора – точка приложения. Если нач.и конец вектора совпадают, то вектор нулевой. Если векторы лежат на одной прямой или || прямых, то они – коллинеарные. Векторы наз.равными, если они имеют одинак.длину и сонаправлены. В геометрии векторы рассм.с точностью до их положения (параллел.перенос допускается.) В этом случ.векторы наз.свободными. Т.приложения может быть выбрана произвольно. Линейные операции: 1)сложение (правило треугольника (параллелограмма)):

2)Умножение вектора на число. α*a-вектор, длина кот.равна |α|*|a|. Напр.совп.с напр.вектора a и противоположно при α<0. Св-ва лин.операций: 1)a+b=b+a (переместит.закон); 2)сочетат.св-во: (a+b)+c=a+(b+c); Общ.правило слож.векторов: a1+a2+a3+a4. 3)(λ+μ)a=λa+μa (распределит.закон); 4)λ(μa)=(λμ)a (сочетательное); 5)λ(a+b)=λa+λb.

Разность векторов: a-вычитаем., b-уменьш. Разность b-a – вектор, исходящ.из конца вычитаемого в конец уменьшаемого.

№9.Лин.завис.векторов.

Т1:максимальное число лин.независ.векторов в n-мерном пространстве равно в точности размерности этого пространства. Док-во: е1={1,0,0..0}; e2={0,1,0..0}; en={0,0..0,1};

Если добавим вектор n, то число столбцов будет (n+1), но число строк (n) => 2(x)=n => (n+1)-столбец-лин.комбинац.первых (n). Опр.: Любая совокупность n лин.независ.векторов n-мерного лин.вект.пр-ва En наз.базисом этого пр-ва. Т2: каждый в-р пр-ва Еn может быть представлен и при том ед.образом в виде лин.комбинации векторов.

Декартов базис. На пл-ти i=(1,0); j=(0,1); В пр-ве: i=(1,0,0); j=(0,1,0); k=(0,0,1). Разложен.в-ра по дек.базису. a=λi+μj+νk={λ,μ,ν}. Разлож.следует из пред.теоремы.

№10. Скаляр.произв.в-ров – число равное произв.длины в-ов на cos угла м/ду ними. a*b=|a,b|=|a||b|cosφ; Физ.смысл – работа силы. Св-ва скаляр.произв.векторов: а)перестановочность a*b=b*a; б)сочетат.закон при умнож.на число (αa,b)=α(a,b); (αa,βb)=αβ(a,b); в)Распределит.закон относит.сложения. a(b+c)=a*b+a*c; г)a≠0, b≠0 сост.острый угол, то a*b=|a||b|cosφ>0; д)φ-тупой, то a*b<0; a┴b ó (a,b)=0; Выражен.скаляр.произв.через координаты перемножаемых векторов в дек.сист.коорд.

A={x1,y1,z1}; b={x2,y2,z2}. Т1: a*b=x1x2+y1y2+z1z2. Док-во: a=x1i+y1j+z1k; b=x2i+y2j+z2k. I,j,k-дек.прямоуг.базис.

№11. Векторн.рроизв.векторов a и b наз.вектор c=axb=[a,b], определяющийся след.св-ми: 1)|axb|=|a||b|sinφ; 2)c=axb => c┴a, c┴b. 3)a,b,c – правая тройка. Физич.(механич.) интерпретация.

b-сила прилож.к концу в-ра a.

Axb-момент силы b относит.т.О.

3)Геомтрич.св-ва: 3.1)a||b ó axb=0; 3.2)Если a и b приведены к общ.началу, то прощадь параллелограмма. S=|a||b|sinφ => axb=S*e; e=axb/|axb|; 4)Алгебраич.св-ва: 4.1)axb=-bxa (a,b,axb-прав.тройка; b,a,axb-лев.тройка)

4.2)(λa)xb=λ(axb); ax(λb)=λ(axb);

4.3)Распределит.закон. ax(b+c)=axb+axc; (a+b)xc=axc+bxc; 4.4)axa=0; 5)выражен.векторного произвед.через координаты перемножаемых век-ров в дек.сист.координат.

№12.Смешанное произвед.в-ров.

A,b,c;b,c,a;c,a,b-прав.тройки; b,a,c;a,c,b;c,b,a-лев.тройки. Т1: Смеш.произвед.(axb)c равно объему параллелепипеда постр.на в-рах a,b,c, взятому со знаком «+», если a,b,c-правая и знаком «-», если a,b,c-левая. Если a,b,c-компланарны, то (axb)c=0; Док-во: Пусть a (не ||) b => axb=S*e; (S-площадь параллелограмма, постр.на a,b; e-ед.в-ор axb); (axb)c=Se*c=Sпр.e=±S*h=±V. Компланарность: пр.С=h=0=v=0; Сл.1: (axb)c=a(bxc)=±V; (axb)c=±V; (a,b,c) и (b,c,a)-тройки одной ориентации. Сл.2: (axb)c=a(bxc)=abc; abc=0 ó компланарность в-ров a,b,c. Т2: пусть a={x1,y1,z1}; b={x2,y2,z2}; c={x3,y3,z3}; Заданы своими дек.коорд.: тогда

abc=(axb)c=a(bxc)=

Док-во: abc=(axb)c =>

Пример: А(1;1;1), B(-4;4;4), C(3;5;5), D(2;4;7); Объем тетраэдра: ABCD(VtABCD)=?

Решение: Vt=1/6 abc(AB*AC*AD); AB={-5;3;3}, AC={2,4,4}, AD={1,3,6};

|AB*AC*AD|=abs

Vt=3.

№13. Общ.ур-е прямой. Т: В дек.сист.коорд.каждая прямая опр.ур-ем 1-й степени и обратно, кажд.ур-е 1-й степени опр.прямую. Док-во:

Наоборот, пусть: (1) Ax+By+C=0 – ур-е 1-й степ. =>Y=-(A/B)x-C/B=kx+b. Прямая – геометрич.место точек, удовл.(1). (1)-общ.ур-е прямой.

2)Неполн.ур-е прямой.

2.1)А=0 => Y=-C/B;

2.2)B=0 => X=-C/A;

2.3)C=0 => Y=-Ax/B;

3) Ур-е прямой «в отрезках». Ax+By+C=0 => Ax+By=-C; (*1/(-C)); -Ax/C-By/C=1 => x/a+y/b=1; a=-C/A; b=-C/B;

A,b-отрезки отсек.

прямой от коорд.осей.

№14. Плоскость в пр-ве. 1)Общ.ур-е: Ax+By+Cz+α=0; 2)ур-е пл-ти, проходящ.через заданную точку M0(x0,y0,z0) и имеющ.заданную нормаль n=(A,B,C); i=M0M={x-x0,y-y-0,z-z0}; n*i=0 => A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (2); 3) Векторн.ур-е пл-ти: n*i=0 (3); Ур-е пл-ти, проходящ.через 3 зад.точки в пр-ве: M1(x1,y1,z1); M2(x2,y2,z2); M3(x3,y3,z3); M(x,y,z); M1M2, M1M3, M1M-компланарны.

5) Ур-е пл-ти в отрезках. Ax+By+Cz+D=0; Ax+By+Cz=-D; (D≠0) => x/-D/A+y/-D/B+z/-D/C=1 => x/a+y/b+z/c=1 (a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C).

Угол м/ду пл-тями: П1:A1x+B1y+C1z+D1=0; П2:A2x+B2y+C2z+D2=0; n1={A1,B1,C1}; n2={A2,B2,C2}; cosφ=(n1*n2)/(|n1|*|n2|)=(A1A2+B1B2+C1C2)/(sqrt(A1²+B1²+C1²)*sqrt(A2²+B2²+C2²));

Усл. || и ┴. n1||n2 <=> n1*n2=0 <=>A1/A2=B1/B2=C1/C2; n1┴n2 <=> n1*n2=0 <=> A1A2+B1B2+C1C2=0;

№15.Прямая линия в пр-ве. Общ.ур-я прямой в пр-ве. A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0; n1={A1,B1,C1}; n2={A2,B2,C2};(1)-общ.ур-я прямой в пр-ве, если n1 (не ||) n2 ó A1/A2≠B1/B2≠C1/C2;

(x-x0)/q1=(y-y0)/q2=(z-z0)/q3 (3); (3)-канонич.ур-я прямой в пр-ве.

№16. Прямая и пл-ть в пр-ве. 1)L||П. П:A1x+B1y+C1z+D=0; L:x-x0)/q1=(y-y0)/q2=(z-z0)/q3; n={A,B,C}; q={q1,q2,q3}; n┴y <=> n*q=0 <=> Aq1+Bq2+Cq3=0; 2)угол м/ду прямой и пл-тью.sinφ=n*a/|n|*|q|=(Aq1+Bq2+Cq3)/(sqrt(A²+B²+C²)*sqrt(q1²+q2²+q3²)); cosψ=cos(y0-φ)=sinφ; 3) L┴П. q||n <=> qxn=0 <=> A/a1=B/q2=C/q3; 4)L€П. а)параллельность: q||n <=> Aq1+Bq2+Cq3=0;

б) (x1,y1,z1)€L; (x1,y1,z1)€П; П:Ax+By+Cz+D=0 => (2) Ax1+By1+Cz1+D=0;

№17.Линии второго порядка. Эллипс – геометрич.место точек, для кот.сумма расст.от двух фиксир.точек пл-ти, наз.фокусами, есть натуральн.величина. Треб., чтобы расст.>фокуса. Вывод ур-я: M(x,y); r2=F1M; r1=F2M; r1+r1=2a (3); F1(-C,O); F2(C,O); r2=sqrt((x+c)²+y²); r1=sqrt((x-c)²+y²) (4); Из (3) => sqrt((x+c)²+y²)+sqrt((x-c)²+y²) =2a (5) => sqrt((x+c)²+y²)=2a-sqrt((x-c)²+y²) (^2); (x+c)²+y²=4a²-4a*sqrt((x-c)²+y²)+(x-c)²+y² (6);

a*sqrt((x-c)²+y²)=a²-cx (*-следствие (7))

(*)-рациональн.выражен.фокальных радиусов. (7)^2 => a²[(x-c)²+y²]=a⁴-2a²cx+c²x² (8) => (9) a²x²-2a²cx+a+a²c²+a²y²=a⁴-2a²cx+c²x²; b=sqrt(a²-c²), (a>c) => b²=a²-c² => (10) b²x²+a²y²=a²b² (*1/a²b²); (10*) x²/a²+y²/b²=1; (10*)-канонич.ур-е эллипса. Окружность: a=b => x²+y²=a²=R²;

№18.Гипербола – геометрич.место точек, для кот.разность расст.до двух фиксир.точек пл-ти, наз.фокусами, есть величина постоянная. Разность < расст.м/ду фокусами. Разность ≠0.

№19.Парабола – геометрич.место точек, для каждой из кот.расст.до некот.фиксир.точки пл-ти (наз.фокусом) до некот.прямой (директрисой), не проходящ.через фокус.

Дата добавления: 2015-08-29