Коллинеарные векторы – векторы, направления которых совпадают или противоположны. Компланарные векторы – векторы (не менее 3-х), которые отложены из одной и той же точки пространства.

Ответы на зачёт по линалу.

Коллинеарные векторы – векторы, направления которых совпадают или противоположны.
Компланарные векторы – векторы (не менее 3-х), которые отложены из одной и той же точки пространства.

1.Вектор – направленный отрезок.
Операции над векторами: а) Сумма ; б) Разность ; в) Умножение ;
г) Скалярное произведение; д) Векторное произведение.
Свойства: а) Ассоциативность ; б) Коммутативность ; в) Дистрибутивность ;
Геометрический смысл операций: а) Если векторы и не являются коллинеарными, то определение суммы векторов реализует правило треугольника, либо правило параллелограмма.
б) При сумме 3-х векторов будет использоваться правило результирующей или замыкающей;
в) Для 3-х некомпланарных векторов это правило называют правилом параллелепипеда.

2.Скаляное произведение векторов – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:
а) Симметричность - ;
б) – скалярный квадрат.
в) Если , то , где – «длина со знаком» проекции вектора.
г) Если ;
д) ;
е) ;
ж) .

3.Скалярное произведение как функция координат векторов:
Скалярное произведение векторов и, заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой .
Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
Критерий ортогональности векторов: .

4. Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого .
Свойства векторного произведения:
а) , тогда и только тогда, когда ;
б) ;
в) Модуль векторного произведения | равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах и .
г) .
д) .

5. Результатом векторного произведения векторов является вектор

.

6. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор : .
Свойства смешанного произведения:
а)
б)
в) Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
г) Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы образуют левую тройку векторов.
д)
е)
ж)
з)
и)
к) Тождество Якоби:

7. Смешанное произведение как функция координат векторов:
Смешанное произведение векторов заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой: . При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.
Если векторы – компланарны, то .

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Если в общем уравнении прямой , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом , где угловой коэффициент.
Условие параллельности прямых: Если прямая L∥Ox, то
Геометрический смысл параметров:

9. Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
Если , то прямые ортогональны.

10. Уравнение прямой по двум точкам: .
Уравнение прямой в отрезках: M₁(a;0), M₂(0;b)
Параметрическое уравнение прямой: M₀(x₀;y₀) – фиксированная точка, лежащая на прямой;
x=x₀+lt
y= y₀+mt

11. Уравнение прямой общего вида: Ax+By+C=0
Вектор нормали:
Вектор нормали всегда ортогонален прямой.
12.Свойства уравнения прямой общего вида:
1)Если известны угловые коэффициенты k₁ и k₂ двух прямых, то один из углов α определяется по формуле
2)Прямые параллельны при k₁=k₂
3)Прямые ортогональны при k₁k₂=-1.

13.Нормальное уравнение прямой: , где p - расстояние от прямой до начала координат; α - угол между нормалью к прямой и осью Ox.
Чтобы привести общее уравнение прямой Ax+By+C=0 к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель µ определяемый формулой , µ противоположен знаку C.

14.Расстояние от точки M(x₁;y₁) до прямой определяется по формуле:

15.Вектор в пространстве – это три некомпланарных вектора , взятые определённом порядке (эти векторы называются базисными).
Операции над векторами:
1) Сложение
2)Вычитание
3)Умножение на число
4)Разложение по ортонормированному базису - координаты вектора в данном базисе.
Условия коллинеарности:
а) Векторы коллинеарны, если существует число n такое, что
б) Векторы коллинеарны, если отношения их координат равны, где
в) Векторы коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
Условие ортогональности:
а) Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Дата добавления: 2015-08-29