По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция, или сложение) и * (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция, или сложение) и * (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей 1!=0, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и * (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

--------------------------------

Гру́ппа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией *: G x G -> G называется группой (G, *), если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: для любого a,b,c принад. G: (a*b) * c = a * (b*c);

наличие нейтрального элемента: сущ. e принад. G, что для любого а принад. G: (e*a = a*e = a);

наличие обратного элемента: для любого а принад G сущ а^-1 принад. G: (a*a^-1 = a^-1*a = e);

------------------------

В математике полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией (S, *).

Примеры:

Положительные целые числа с операцией сложения.

Любая группа является также и полугруппой.

-----------------------

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.

Таким образом, моноидом называется множество M, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент e, что ex = x = xe для любого x принад M. Элемент e называется единицей и часто обозначается. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Примеры:

Множество всех отображений произвольного множества S в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.

Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры A является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.

Всякая группа является моноидом.

Свойства:

Всякую полугруппу P без единицы можно вложить в моноид.

Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.

Произвольный моноид можно рассматривать также как категорию с одним объектом.

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как a^0 = e, для любого а.

---------------------------

Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной.

Магма (группоид) — в абстрактной алгебре — базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление;

петля или лупа — квазигруппа с нейтральным элементом;

полугруппа — магма с ассоциативной операцией;

моноид — полугруппа с нейтральным элементом;

группа — моноид с обратным элементом или, что то же, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);

абелева группа — группа с коммутативной операцией.

------------------------------

В теории групп группа (G, *) называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: G = <a>.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени g^n будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению (Z, +).

Все циклические группы абелевы.

-----------------------------

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа (G, *) абелева если a*b = b*a для любых двух элементов a,b принад G.

Примеры:

Группа параллельных переносов в линейном пространстве.

Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.

------------------------------

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

— коммутативность сложения;

— ассоциативность сложения;

— существование нейтрального элемента относительно сложения;

— существование обратного элемента относительно сложения;

— ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы

— дистрибутивность.

Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

наличие единицы: сущ e принад R для любого а (a x e = e x a = a) (кольцо с единицей);

коммутативность умножения: люб a,b принад R (a x b = b x a) (коммутативное кольцо);

отсутствие делителей нуля: люб a,b принад R (a x b = 0 => a=0 v b = 0).

Примеры:

{0} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Считать этот тривиальный пример кольцом важно с точки зрения теории категорий, так как при этом в категории колец возникает нулевой объект, через который пропускается любой нулевой гомоморфизм колец.

Z — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над.

Zn — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Они являются полями тогда и только тогда, когда число n простое.

Q — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.

-------------------------------

В абстрактной алгебре евклидово кольцо (эвклидово кольцо) — кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Евклидово кольцо — это область целостности R, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) d:R -> N U {- бескон}, причём d(a) = -бескон <=> a = 0, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых a,b принад R, b!=0 имеется представление a=bq+r, для которого d(r) < d(b).

Примеры:

Произвольное поле является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.

Кольцо целых чисел Z. Пример евклидовой функции — абсолютная величина |.|

------------------------------

Подкольцо кольца K — это пара (R,i), где R — кольцо, а i: R-> K — гомоморфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

--------------------------------

Пусть на множестве X задано отношение эквивалентности ~. Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается X/~. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из X в множество классов эквивалентности X/~ называется факторотображением.

-------------------------------

Гомоморфизм — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы (G1,*), (G2, x). Отображение f: G1 -> G2 называется гомоморфизмом групп G1 и G2, если оно одну групповую операцию переводит в другую: f(a*b) = f(a) x f(b).

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм m: A-> B категории C, для которого из всякого равенства f o m = h o m следует, что f = h (другими словами, на m можно сокращать справа).

В категории множеств роль эпиморфизмов играют сюръекции, в общей алгебре ― сюръективные гомоморфизмы. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма.

Изоморфи́зм — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными», они называются изоморфными. Классическим примером изоморфных систем могут служить множество R всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество R+ положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение x -> exp(x) в этом случае является изоморфизмом.

Группы:

Пусть G и H – две группы. Биекция f: G -> H называется изоморфизмом, если для любых a,b принад G: f(a)f(b) = f(ab);

Поля:

Пусть F1 и F2 – поля. Биекция f: F1 -> F2 называется изоморфизмом, если для любых a,b принад F1 выполняется:

1. f(a) + f(b) = f(a+b)
2. f(a) * f(b) = f(a*b)

--------------------------------

Отображение F: X-> Y называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть для любого y принад Y существует x принад X такой что y = F(x). Для случая числовых функций это выражается как «функция, принимающая все возможные значения».

Отображение F: X -> Y называется инъекцией (или вложением, или отображением «в»), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы (F(x) = F(y) => x = y). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью).

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

----------------------------------

Для кольца R идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из R. При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из R. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.

Более точно: Идеалом кольца R называется такое подкольцо I кольца R, что

(I, {+}) – подгруппа (R, {+})

1. Для любого i принад I, для любого r принад R произведение ir принад I (условие на правые идеалы);
2. Для любого i принад I, для любого r принад R произведение ri принад I (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.

Кольцо главных идеалов — кольцо, каждый идеал которого является главным. В случае некоммутативного кольца различают кольцо главных правых идеалов и кольцо главных левых идеалов.

---------------------------------

Факторкольцо́ — в абстрактной алгебре это кольцо классов вычетов некоторого кольца K по модулю его идеала J.

Обозначается K/J.

Классы вычетов по модулю идеала J определяются как смежные классы кольца K по аддитивной подгруппе J. Класс вычетов, содержащий элемент a обычно обозначается [a] = (a+J) = {a+с | с принад J}. Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.

Операции в факторкольце (сложение и умножение) определяются равенствами:

(a+J) + (b+J) = (a+b) + J

(a+J)(b+J) = ab + J

-----------------------------

Дата добавления: 2015-08-29