5.2 Экономико-математические методы. Сущность и содержание экономико-математического моделирования в планировании финансовых показателей заключаются в том, что оно позволяет найти количественное

5.2 Экономико-математические методы. Сущность и содержание экономико-математического моделирования в планировании финансовых показателей заключаются в том, что оно позволяет найти количественное выражение взаимосвязей между финансовыми показателями и факторами, их определяющими. Эта связь выражается через экономико-математическую модель. Экономико-математическая модель представляет собой точное математическое описание экономического процесса, т.е. описание факторов, характеризующих структуру и закономерности изменения данного экономического явления с помощью математических символов и приемов (уравнений, неравенств, таблиц, графиков и т. д.). В модель включаются только основные (определяющие) факторы.

Модель может строиться по функциональной или корреляционной связи. Функциональная связь выражается уравнением вида:

Y = f (х), где Y - показатель; х - факторы.

Корреляционная связь – это вероятностная зависимость, которая проявляется лишь в общем и только при большом количестве наблюдения. Корреляционная связь выражается уравнениями регрессии различного вида. Например, однофакторные модели вида:

линейного Y = а₀ + а₁ Х;

параболы Y = а₀ + а₁ Х + а₂Х²

гиперболы Y =а₀ + а₁ Х а₁ / Х

многофакторные модели вида:

линейного у = а₀ + а,Х +... + аn Xn.

логарифмического log Y = а₀+ a₁ log Х₁... а_n log Х_n,

где а₀- а₁-...- а_n - параметры уравнения

При расчете моделей планирования первостепенное значение имеет определение периода исследования. Он должен браться таким, чтобы исходные данные были бы однородны. При этом следует иметь в виду, что слишком малый период исследования не позволяет выявить общие закономерности. С другой стороны, нельзя брать и слишком большой период, так как любые экономические закономерности непостоянны и могут существенно изменяться в течение длительного времени. В связи с этим при практической плановой работе наиболее целесообразно использовать для перспективного планирования годовые данные финансовой деятельности за 5 лет, а для текущего (годового) планирования - квартальные данные за 1-2 года. При существенных изменениях условий работы хозяйствующего субъекта в плановом периоде в рассчитанные на основе экономико-математических моделей показатели вносятся необходимые коррективы. Экономико-математическое моделирование позволяет также перейти в планировании от средних величин к оптимальным вариантам.

В экономико-математическую модель должны включаться не все, а только основные факторы. Проверка качества моделей производится практикой. Практика применения моделей показывает, что сложные модели со множеством параметров оказываются зачастую непригодными для практического использования

Пример. Экономико-математическая модель зависимости суммы прибыли от объема выручки выражается линейным управлением вида

Y = а₀ + а₁ Х,

где Y - прибыль, руб.;

Х - выручка, руб.;

а₀, а₁- параметры уравнения;

а₁ - коэффициент регрессии, показывающий, на сколько рублей увеличивается прибыль при увеличении выручки на один рубль;

а₀ - сумма прибыли, определяемая совокупным действием всех других факторов, кроме выручки, руб.

Решение модели заключается в нахождении параметров а₀ и а₁. Эти параметры обычно отыскиваются методом наименьших квадратов.

Важное значение для обоснованности модели имеет ее репрезентативность. Репрезентативность наблюдений - это показательность наблюдений, т. е. речь идет о соответствии характеристик, полученных в результате частичного обследования объекта, характеристикам этого объекта в целом. Репрезентативность полученных показателей модели проверяется путем расчетов среднего квадратического отклонения полученных данных от фактических и коэффициента вариации. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле

где G - среднее квадратическое отклонение;

Y - фактическая сумма прибыли, руб.;

Y x - расчетная сумма прибыли, руб.;

n - число случаев наблюдений.

Коэффициент вариации (V) представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к среднеарифметической величине отчетных (фактических) показателей.

где V - коэффициент вариации, %;

G-среднее квадратическое отклонение, руб.;

- среднеарифметическая величина прибыли, руб.

5.2.1 Регрессионные и авторегрессионные зависимости.

Регрессионный анализ. Регрессионный анализ – это статистическая процедура для математической усредненной оценки функциональной зависимости между зависимой переменной и независимой переменной (независимыми переменными). Простая регрессия рассматривает одну независимую переменную, например цену или затраты на рекламу в функции спроса, а множественная регрессия рассматривает две или большее количество переменных, например, цену и затраты на рекламу совместно.

Регрессионный анализ выполняется в два этапа:

1 этап – выбор типа линии, выравнивающей ломаную регрессии (прямая, парабола, гипербола и т. д.);

2 этап – определение параметров, входящих в уравнение линии выбранного типа таким образом, чтобы из множества линий этого типа выбрать ту, которая наиболее близко проходит около точек ломаной регрессии (наиболее точные результаты дает использование метода наименьших квадратов).

Регрессионный анализ применяется преимущественно в среднесрочном прогнозировании, а также в долгосрочном прогнозировании. Средне- и долгосрочные периоды дают возможность установления изменений в среде бизнеса и учета влияний этих изменений на исследуемый показатель.

Простая (линейная) регрессия:

Для расчета значений коэффициентов в уравнении регрессии используется метод наименьших квадратов.

Регрессионный анализ как разновидность статистического исследования использует набор коэффициентов, характеризующих точность и надежность полученного результата. К ним относятся:

1. Коэффициент корреляции r показывает степень корреляции (зависимости) между значениями X и Y и определяется по формуле:

Значение коэффициента корреляции изменяется в интервале [-1,1]

Если значение:

г = -1 свидетельствует о наличии обратно пропорциональной связи между изучаемыми признаками:

г = +1 - функциональная прямо пропорциональная зависимость,

г близко к 0 предполагает отсутствие линейной связи между признаками.

На практике: при [г]< 0,3 - связь слабая

при 0,3 < [г] < 0,7 - связь средней тесноты

при [г] > 0,7 - тесная связь.

Более широко используется коэффициент смешанной корреляции (коэффициент детерминации) R₂, который говорит о том, насколько хорошо составлено уравнение регрессии. Если говорить точнее, этот коэффициент характеризует "добротность" модели предсказания (в какой степени совпадают фактические и прогнозируемые значения Y). Чем больше значение R₂, тем лучше. R₂ изменяется в диапазоне [0,1].

- межгрупповая дисперсия, влияние систематических факторов

- общая дисперсия

Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения () называемого средней ошибкой аппроксимизации. Рекомендуемое значение для < 15%.

На практике также нередко используют модификацию уравнения, вводя в него в качестве фактора период (момент) времени t. Тогда уравнение будет иметь вид:

Пример: Уравнение прямой линии выражено формулой:

Для нахождения параметров а₀ и а₁, необходимо решить систему нормальных уравнений:

где у - фактические уровни ряда динамики;

n - число уровней.

Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода.

Данные для расчета параметров а₀ и а₁ представлены во вспомогательной таблице:

Годы
Т	-3	-2	-1		+1	+2	+3

Следовательно, , тогда система нормальных уравнений примет вид:

Данные для расчета параметров а₀ и а_х представлены во вспомогательной таблице:

годы	Фактические объемы производства т.р. Y	Условные годы, t	t²	y*t	y_t
		-3		-1380
		-2		-940
		-1		-500




∑

a₀ = 536,43 a₁= 29,46.

Таким образом, уравнение прямой примет вид:

Y_t =536,43 + 29,46 t

Подставив в это уравнение значение t (гр.З), получим выровненные теоретические значения Y_t (гр.6).

Условное значение 2013 г. будет (+4). Исходя из этого, определим прогноз объема производства услуг на 2008 г.:

У₂₀₁₃ = 536,43 + 29,46* 4 = 654,3 тыс. руб.

Для характеристики адекватности уравнения авторегрессионной зависимости используют величину среднего относительного линейного отклонения. Если е < 0,15, считается, что уравнение авторегрессии может использоваться при определении тренда временного ряда экономического показателя в прогнозных целях. Ввиду простоты расчета критерий «е» достаточно часто применяется при построении регрессионных моделей. Если его значение не превышает 15%, то считается, что уравнение авторегрессии может использоваться в прогнозных целях.

Лекция: Методы планирования

1. Балансовый метод. С помощью балансового метода реализуется принцип сбалансированности и пропорциональности. Он применяется при разработке прогнозов, планов и программ. Сущность его заключается в увязке потребностей страны в различных видах продукции, материальных, трудовых и финансовых ресурсов с возможностями производства продукции и источниками ресурсов. Балансовый метод предполагает разработку балансов, представляющих собой систему показателей, в которой одна часть, характеризующая ресурсы по источникам поступления, равна другой, показывающей распределение (использование) по всем направлениям их расхода. В переходный период к рыночным отношениям усиливается роль прогнозных балансов, разрабатываемых на макроуровне: платежного баланса, баланса доходов и расходов государства, баланса денежных доходов и расходов населения, сводного баланса трудовых ресурсов, балансов спроса и предложения. Результаты балансовых расчетов служат основой при формировании структурной, социальной, финансово-бюджетной и кредитно-денежной политики, а также политики занятости и внешнеэкономической деятельности. Балансы применяются также для выявления диспропорций в текущем периоде, вскрытия неиспользованных резервов и обоснования новых пропорций. Система балансов, используемых в прогнозировании и планировании, включает:

• материальные;

• трудовые;

• финансовые.

Подсистема материальных балансов является самой многочисленной и разветвленной. С их помощью увязывается производство и потребление материальных ресурсов, конкретных видов продукции. Материальные балансы широко используются для установления межотраслевых пропорций. Материальные балансы различаются по следующим признакам:

а) периодам и стадиям разработки и использования:

• балансы на долгосрочную перспективу;

• на среднесрочную перспективу;

• на год.

б) по виду используемой балансовой модели:

• балансы однопродуктовые;

• многопродуктовые (сводные, комплексные, межпродуктовые);

• межотраслевые.

с) по единицам измерения:

• балансы натуральные;

• стоимостные;

• натурально - стоимостные.

Все материальные балансы состоят, как правило, из двух частей: ресурсов и распределения. В ресурсной части отражаются основные источники поступления, а в распределительной - основные направления потребления.

Например: Схема баланса промышленной продукции

Ресурсы	Распределение (потребности)
1. Производство	1. Производственно - эксплуат. нужды
2. Импорт	2. Капитальное строительство
3. Прочие поступления	3. Экспорт
4. Остатки на начало прогнозного (план)периода	4. Рыночный фонд
	5. Прочие расходы (пополн. гос.рез.)
	6. Остатки на конец прогнозного (план)периода
Итого	Итого

Разработка баланса начинается с потребностей, для определения которых чаще всего используется нормативные метод: с помощью норм, нормативов и объема производства продукции (работ) определяются потребности в конкретном ресурсе.

Ресурсная часть баланса формируется после определения потребностей. Главным источником ресурсов является производство.

Заключительным этапом разработки является процесс увязки потребностей с ресурсами. При наличии несоответствия между частями материального баланса разрабатываются конкретные мероприятия по их ликвидации. Например, сокращение норм расхода ресурса (если есть недостаток в ресурсах), или поиск новых рынков сбыта конкретного ресурса, если выявлено превышение ресурсов над потребностями. Эта работа по увязке называется корректировкой баланса.

Например, балансовая увязка по финансовым фондам имеет вид:

О_н+ П = Р + О_к

где О_н - остаток средств фонда на начало планового периода, руб.;

П -поступление средств в фонд, руб.;

Р -расходование средств фонда, руб.;

О_к -остаток средств фонда на конец планового периода, руб.

4.4.2 Нормативный метод

Нормативный метод является одним из основных методов прогнозирования и планирования. В современных условиях ему стало придаваться особое значение в связи с использованием ряда норм и нормативов в качестве регуляторов экономики.

Сущность нормативного метода заключается в технико-экономическом обосновании прогнозов, планов, программ с использованием норм и нормативов. Последние применяются для расчета потребности в ресурсах и показателей их использования. С помощью норм и нормативов обосновываются важнейшие пропорции, развитие материального производства и непроизводственной сферы, осуществляется регулирование экономики.

Норма характеризует научно обоснованную меру расхода ресурса на единицу продукции (работы) в принятых единицах измерения, например расход муки на 1 тонну хлебобулочных изделий согласно утвержденной рецептуре. В виде нормы выступает потребление того или иного продукта на душу населения согласно научно обоснованному рациону питания. Например, рекомендуемая норма потребления мяса и мясопродуктов в год на 1 человека - 82 кг. В непроизводственной сфере применяются нормы, характеризующие необходимый размер общей и жилой площади на 1 жителя, потребление воды на 1 человека и др.

Нормативы, как правило, разрабатываются в относительном выражении. Они характеризуют степень использования ресурсов (например, расход ресурса на 1 млн. р. продукции, размер платы за кредит (% ставки) и др.

Комплекс норм и нормативов, используемых для разработки прогнозных и плановых заданий, называется нормативной базой. В зависимости от уровня планового регулирования (народное хозяйство, отрасль, регион, предприятие) изменяются состав и содержание нормативной базы.

В практике прогнозирования и планирования применяется система норм и нормативов.

Действующая система норм и нормативов включает:

- Социальные нормы и нормативы - это нормы и нормативы потребления населением отдельных материальных благ и услуг, обеспеченности населения жильем, коммунальными и бытовыми услугами, уровня жизни (минимальный потребительский бюджет, минимальная заработная плата);

- Финансово - экономические нормы и нормативы - это нормы и нормативы отчислений от прибыли, нормативы оборотных средств, нормы амортизационных отчислений, плата за кредит, ставки налогов и др.;

- Нормы и нормативы капитальных вложений и продолжительности инвестиционного цикла - это нормативы удельных капитальных вложений, эффективности капитальных вложений, технологической структуры капитальных вложений и др.;

- Нормы и нормативы расхода запасов сырья, материалов, топлива, энергии отражают нормы и нормативы материальных ресурсов на основное производство, ремонтно - эксплуатационные нужды, запасов материальных ресурсов;

- Нормативы и нормы затрат труда и заработной платы - включают в себя нормы времени, выработки, численности, обслуживания, нормы затрат заработной платы, нормы использования и прироста трудовых ресурсов;

- Нормы и нормативы использования и потребности в оборудовании - это нормы и нормативы потребности в оборудовании для определения парка и замены изношенного оборудования и др.;

- Нормы и нормативы охраны окружающей среды - это нормы и нормативы охраны и рационального использования флоры и фауны, водных ресурсов, земель, запасов природных ресурсов.

По характеру распространения нормы подразделяются на местные, отраслевые, межотраслевые. Одна из перспективных задач реформирования экономики состоит в том, чтобы при помощи научно - обоснованных норм и нормативов обеспечить эффективное управление всеми четырьмя фазами процесса воспроизводства. Эта система ориентировочно будет включать следующие составные элементы: нормы производства, распределения, обмена, потребления. Система норм и нормативов не есть раз и навсегда созданное и застывшее образование. Развитие хозяйственного механизма, переход к рыночным отношениям обуславливает ее постоянное развитие: это расширение состава норм и нормативов, дальнейшая проработка методических вопросов нормирования, улучшение технологии подготовки норм и нормативов.

4.4.3Модели оптимального планирования используются для определения оптимального варианта функционирования экономики в целом и ее отдельных звеньев.

Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание экономического процесса и состоит из целевой функции и системы ограничений.

Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведется оптимизация, от независимых переменных. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом - значением показателя, экстремум которого используется в качестве критерия оптимальности.

Система ограничений отражает объективные экономические связи и зависимости и представляет собой систему равенств и неравенств.

На макроуровне критерием оптимальности является максимум валового национального продукта.

На микроуровне в качестве критерия оптимальности могут быть использованы экстремумы показателей: максимум прибыли, минимум затрат, максимум выпуска продукции (услуг) и др.

Модели по расчету оптимального варианта производства продукции имеют следующий общий вид.

Целевая функция

Система ограничений:

где - значение i -го показателя на единицу j -го вида продукции;

а_gj - норма расхода g- говида сырья на производство единицы j -го вида продукции;

х_j - искомое количество j -го вида продукции;

А_g - имеющийся фонд g-ro вида сырья

- затраты времени на k- мвиде оборудования дляпроизводства единицы j -го вида продукции;

- действительный фонд времени работы k-гo вида оборудования;

- нижний и верхний пределы выпуска j -го вида продукции.

Нижний предел устанавливается с учетом заданий на поставку продукции для государственных нужд, верхний - с учетом спроса на продукцию.

Метод оптимизации плановых решений. Сущность и содержание метода оптимизации плановых решений сводятся к разработке нескольких вариантов плановых расчетов с тем, чтобы выбрать из них наиболее оптимальный. При этом могут применяться разные критерии выбора:

- минимум приведенных затрат;

- максимум приведенной прибыли;

- минимум вложения капитала при наибольшей эффективности результата;

- минимум текущих затрат;

- минимум времени на оборот капитала, т.е. ускорение оборачиваемости средств;

- максимум дохода на рубль вложенного капитала;

- максимум рентабельности капитала (или суммы прибыли на рубль вложенного капитала);

- максимум сохранности финансовых ресурсов, т.е. минимум финансовых потерь (финансового или валютного риска).

Приведенные затраты представляют собой сумму текущих затрат и капиталовложений, приведенных к одинаковой размерности в соответствии с нормативными показателями эффективности. Они исчисляются по формуле

И + Е_н К = min,

где И - текущие затраты, руб.;

К - единовременные затраты (капиталовложения), руб.;

Е_н - нормативный коэффициент эффективности капиталовложений.

В настоящее время Е_н = 0,15, что соответствует нормативному сроку окупаемости капиталовложений 6,6 года.

Пример. Имеются два варианта вложения капитала. По первому варианту при капиталовложениях 1000 тыс. руб. годовая прибыль составит 500 тыс. руб. По второму варианту при капиталовложениях 2000 тыс. руб. годовая прибыль – 900 тыс. руб.

Приведенная прибыль равняется:

первый вариант 500 – 0,15 * 1000 = 350 тыс. руб.;

второй вариант 900 – 0,15* 2000 = 600 тыс. руб.

Второй вариант более прибыльный.

4.4.4 Программно-целевой метод

По сравнению с другими методами программно-целевой метод (ПЦМ) является относительно новым и недостаточно разработанным. Широкое распространение он получил только в последние годы, хотя был известен давно и впервые использовался еще при разработке плана ГОЭЛРО.

ПЦМ тесно связан с нормативным, балансовым и экономико-математическими методами и предполагает разработку плана начиная с оценки конечных потребностей исходя из целей развития экономики при дальнейшем поиске и определении эффективных путей и средств их достижения и ресурсного обеспечения. С помощью этого метода реализуется принцип приоритетности планирования.

Сущность ПЦМ заключается в отборе основных целей социального,
экономического и научно-технического развития, разработке взаимоувязанных мероприятий по их достижению в намеченные сроки при сбалансированном обеспечении ресурсами с учетом эффективного их использования. ПЦМ применяется при разработке целевых комплексных программ, представляющих собой документ, в котором отражаются цель и комплекс научно- исследовательских, производственных, организационно-хозяйственных, социальных и других заданий и мероприятий, увязанных по ресурсам, исполнителям и срокам осуществления.

5.2 Методы моделирования

Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков.

Прогнозирование экономических и социальных процессов с использованием моделей включает:

• разработку модели;

• ее экспериментальный анализ;

• сопоставление результатов прогнозных расчетов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса;

• корректировку и уточнение модели.

В зависимости от уровня управления экономическими и социальными процессами различают макроэкономические, межотраслевые, межрайонные, отраслевые, региональные модели и модели микроуровня (модели развития фирмы). Рассмотрим некоторые из наиболее разработанных экономико-математических моделей, получивших широкое применение в практике прогнозирования экономики за рубежом (особенно в США)

К матричным моделям относятся модели межотраслевого баланса (МОБ): статические и динамические. Первые предназначены для проведения прогнозных макроэкономических расчетов на краткосрочный период (год, квартал, месяц), вторые - для расчетов развития экономики страны на перспективу. Они отражают процесс воспроизводства в динамике и обеспечивают увязку прогноза производства продукции (услуг) с инвестициями.

Статическая модель МОБ имеет вид:

где а_ij - коэффициенты прямых затрат (среднеотраслевые нормативы расхода продукции i -й отрасли-производителя, используемой в качестве средств производства для выпуска единицы продукции j -й отрасли-потребителя); х_j - объем производства продукции j -й отрасли-потребителя ; X_i- валовое производство продукции (услуг) i -й отрасли-производителя ; Y_i - объем конечного использования продукции (услуг) i -йотрасли-производителя.

Выражение характеризует межотраслевые потоки и в целом промежуточное потребление;

- конечное использование продукции всех отраслей;

- валовой выпуск всех отраслей.

Упрощенная динамическая модель имеет вид:

где t - индекс года;

I_ijt - продукция отрасли i, направляемая в качестве производственных инвестиций в t- мгоду для расширения производства в отрасль j;

Y_it - объем конечного использования продукции (услуг) _i-й отрасли в t- мгоду за исключением продукции, направляемой на расширение производства.

Метод межотраслевого баланса базируется на принципах разработки межотраслевого баланса, которые были обоснованы специалистами бывшего СССР и развиты за рубежом (В. Леонтьевым в США). Использование метода на основе модели межотраслевого баланса позволяет осуществить прогнозирование развития экономики и ее отраслевой структуры.

Процесс разработки межотраслевого баланса подразделяется на ряд последовательных этапов:

1. определение объема и отраслевой структуры конечного продукта (конечного использования ВНП) в прогнозируемом периоде;

2. разработка коэффициентов прямых материальных затрат по каждой отрасли на прогнозируемый период;

3. расчет коэффициентов полных затрат на производство единицы конечного продукта (конечного использования ВНП);

4. определение прогнозируемых объемов производства продукции по каждой отрасли, исходя их коэффициентов полных затрат и намечаемых объемов конечного продукта (конечного использования ВНП);

5. формирование структуры выпуска продукции с выделением промежуточного
потребления и конечного использования по каждой отрасли.

В математической форме межотраслевой баланс представляет собой систему уравнений:

Для решения системы уравнений составляется матрица коэффициентов прямых затрат a_ij. Путем математических преобразований формируется матрица коэффициентов полных затрат b_ij. Расчет производится на ЭВМ с помощью специальной программы обращения матрицы.

Путем умножения матрицы коэффициентов полных затрат на матрицу (вектор) Y_j у конечного продукта (конечного использования ВНП) рассчитывается объем производства продукции (услуг) по каждой отрасли X_i.

Затем на основе представленной выше системы уравнений производится расчет межотраслевых поставок, в целом промежуточного продукта и формируется таблица межотраслевого баланса, адекватная модели межотраслевого баланса. В настоящее время проводятся исследования по совершенствованию методики разработки прогнозного межотраслевого баланса в системе национальных счетов.

Сформированный на основе моделей межотраслевой баланс может использоваться для решения многих задач: прогнозирования макроэкономических показателей, межотраслевых связей и потоков (поставок), структуры экономики, отраслевых издержек, динамики цен, показателей эффективности производства (материало-, энерго-, фондоемкости).

Модели оптимального планирования используются для определения оптимального варианта функционирования экономики в целом и ее отдельных звеньев.