Семинарское занятие по теме «Складская логистика»

Семинарское занятие по теме «Складская логистика»

Тема «Оптимизация транспортно – складского материалопотока»

Задача. Определить численность комплексной бригады транспортно-складских рабочих для погрузки 302 т груза по технологической схеме: склад – погрузчик – автомобиль. Одна укрупненная комплексная бригада грузчиков разгружает автомобили, прибывающие к пункту разгрузки в течение суток, т.е. на протяжении одной смены, производительность одной бригады на текущий момент времени 40 т/час. Автомобили, прибывающие на склад, имеют грузоподъёмность 2,5 т, коэффициенты использования грузоподъемности 0,9, среднее число ездок одного автомобиля 2,5. Известно, что убытки, связанные с простоем часа бригадой составляют 3 тыс. руб. (например, это их фонд оплаты труда), а убытки, связанные с простоем автомобилей за час составляют 0,412 тыс. руб. (штрафы, неустойки).

Для решения задачи могут быть использованы математические методы теории массового обслуживания. Теория массового обслуживания, опираясь в основном на теорию вероятностей, позволяет найти оптимальное решение, при котором оптимальная численность рабочих и грузчиков сводит до минимума суммарные убытки, вызванные простоем автомобилей в ожидании грузчиков и простоев грузчиков в ожидании автомобилей.

Чтобы воспользоваться одной из типовых задач, представленных в теории массового обслуживания, следует описать количественно поступающий в систему поток требований.

Задачи, решаемые математическим аппаратом теории массового обслуживания, имеют определенную структуру, которая характеризуется последовательностью событий обслуживающей системы и обслуживающими аппаратами.

Последовательность событий определяется потоком требований, поступающих в обслуживающую систему. Обслуживающая система состоит из 1) обслуживающих устройств – аппаратов, в данном случае пунктов погрузки, оборудованных перегрузочными средствами и 2) укомплектованных необходимыми составами бригад грузчиков.

Требование – это необходимость обработки каждого автомобиля, прибывающего на предприятие (в понятие обработки каждого автомобиля включаются грузовые и все вспомогательные операции, связанные с полным обслуживанием автомобилей с момента прибытия его на предприятие и до момента его отправления).

Поток требований автомобилей, нуждающихся в обработке, и поступающий в обслуживающую систему предприятия, называется входящим потоком.

Отсутствие графиков и расписаний движения автомобилей дает право рассматривать прибытие автомобилей на предприятия как случайный процесс.

В большинстве задач теории массового обслуживания рассматриваются так называемые простейшие потоки требований, обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствий.

Стационарными являются потоки, для которых вероятность поступления некоторого количества требований в течение определенного промежутка времени не зависит от начала отсчета, а зависит от длительности промежутка времени. Стационарность потока заключается в том, что количество автомобилей, прибывающих на предприятие, будет определяться теми периодами времени, в течение которых приходят данные автомобили.

Независимость характера потока требований от числа ранее поступивших требований и моментов времени их поступления носит название отсутствия последствий. Отсутствие последствий выполняется, поскольку, по условию задачи, автомобили прибывают на предприятие независимо друг от друга.

Поток требований называется ординарным, если вероятность того, что появится больше одного требования за малый промежуток времени t, есть бесконечно малая величина. Ординарность потока вытекает из постановки задачи: требование на обслуживание поступает в систему только вместе с обслуживаемым объектом.

Задачу можно сформулировать следующим образом: в систему, состоящую из n обслуживающих аппаратов, поступают требования от m обслуживаемых объектов. Одновременно в системе не может быть больше m требований, где m – конечное число. Часть времени обслуживаемые объекты находятся в системе обслуживания, часть – вне ее. Критериями качества обслуживания являются математическое ожидание числа простаивающих автомобилей, т. е. среднее число требований, ожидающих начало обслуживания, – M₁ и математическое ожидание числа простаивающих бригад – M₂.

Время обработки автомобилей, прибывающих на предприятие, зависит от количества груза, типа автомобиля, пунктов погрузки, погрузочных механизмов и других причин. Таким образом, требования (то есть необходимость обслуживания) идентичны, а время обслуживания – случайная величина.

Время обслуживания автомобилей укрупненной комплексной бригадой подчинено показательному закону (экспоненциальному) с параметром u. Тогда 1/u – математическое ожидание времени обслуживания.

Так как поток автомобилей является простейшим (т.е. удовлетворяет требованиям стационарности, ординарности и отсутствия последствия), то вероятность того, что в течение единицы времени на предприятие прибудут m автомобилей за время t, определяется выражением (В теории массового обслуживания приводится доказательство теоремы о том, что простейший поток подчинен закону распределения Пуассона):

или

где l (лямбда) – отношение общего числа автомобилей, прибывающих на предприятие под обработку за анализируемый период, к периоду Т или среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени; е – основание натурального логарифма, - вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отра­жает многие процессы массового обслуживания. Почему такое предположение в ряде важных случаев оказывается верным, дает ответ общая теорема А.Я.Хинчина. Эта теорема имеет место в случае, когда входящий поток можно представить в виде суммы большого числа незави­симых потоков, ни один из которых не является сравнимым по интенсив­ности со всем суммарным потоком. “Не строгая” формулировка этой теоремы следующая.

Теорема (А.Я.Хинчин) Если входящий поток представляет собой сумму большого числа независимых между собой стационарных и ординар­ных потоков, каждый из которых вносит малый вклад в общую сумму, то при одном дополнительном условии аналитического характера (которое обычно выполняется на практике) поток близок к простейшему.

Применение этой теоремы на практике можно продемонстрировать, на следующем примере: поток судов дальнего плавания в данный грузовой порт, связанный со многими портами мира, можно считать близким к простейшему. Это дает нам право считать поток прибытия судов в порт распределенным согласно процесса Пуассона.

Кроме того, наличие пуассоновского потока требований можно оп­ределить статистической обработкой данных о поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины.

Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, кото­рая определяет пропускную способность всей системы, является в ремя обслуживания, которое есть случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабиль­ности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных пара­метров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной гру­зоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или вы­грузку). Время обслуживания полностью характеризуется законом распре­деления, который определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания.

Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возраста­нием времени t. Например, когда основная масса требований обслужива­ется быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Нали­чие показательного закона распределения времени обслуживания уста­навливается на основе статистических наблюдений.

При показательном законе распределения времени обслуживания ве­роятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:

где υ - интенсивность обслуживания одного требования одним об­служивающим устройством, которая определяется из соотношения:

, (1)

где - среднее время обслуживания одного требования одним об­служивающим устройством.

Следует заметить, что если закон распределения времени обслужи­вания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих уст­ройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным.

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.

(2)

где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления тре­бований в систему; υ - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО):

.

В противном случае число поступающих требований будет больше суммар­ной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ос­лаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребо­вать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки :

Рассматриваемая система является системой с ожиданиями, так как предполагается, что если в момент прибытия очередного автомобиля на базу все бригады заняты, то он становится в очередь. Время обработки одного автомобиля определяется законом распределения F(t) (это функция распределения времени обслуживания) с параметром l/u.

Автомобиль может уйти с базы только после полной погрузки, поэтому вводится условие, не позволяющее очереди автомобилей расти безгранично: l/u < n. Это условие в рассматриваемой задаче имеет следующий смысл: l – среднее число автомобилей, прибывающих на базу под обработку в единицу времени; 1/u – среднее время обработки автомобиля, поэтому l * 1/u – среднее число укрупненных комплексных бригад грузчиков, которое необходимо иметь, чтобы обрабатывать в единицу времени среднее число автомобилей.

Отсюда условие означает, что число укрупненных комплексных бригад грузчиков должно быть больше среднего их числа, чтобы за единицу времени обрабатывать все автомобили, приходящие на базу.

Задаваясь последовательно числом укрупненных бригад, большим l/ u, можно определить математическое ожидание числа простаивающих автомобилей в единицу времени в ожидании погрузки и математическое ожидание числа простаивающих укрупненных бригад в ожидании автомобилей. Очевидно, что с увеличением числа бригад расходы, связанные с простоем автомобилей, будут уменьшаться, а расходы по простою укрупненных бригад – расти.

Оптимальным будет то число укрупненных бригад грузчиков и рабочих, при котором сумма затрат по простою автомобилей и бригад минимальна.

Выражения для расчетов следующие:

1) вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты:

, где Р₀ – вероятность, что все обслуживающие аппараты (комплексные бригады) свободны и равны

, ,

2) среднее время ожидания начала обработки из-за занятости укрупненных комплексных бригад равно

,

3) простой автомобилей в единицу времени вследствие отсутствия свободных укрупненных комплексных бригад

,

4) математическое ожидание числа простаивающих бригад (среднее число свободных обслуживающих аппаратов)

,

5) потери (убытки) в сутки, вызванные простоем автомобилей, определяем в приведенных затратах

R_a = G_ож * Э_ф,

где Э_ф – убытки в результате простоя автомобиля за час, руб.

6) расходы по базе, связанные с простоем бригады

R_б = Э_б * М₂,

где Э_б – убытки часа простоя бригады; М₂ – математическое ожидание числа простаивающих бригад в ожидании погрузки автомобилей.

Для производства соответствующих расчетов с помощью математического аппарата теории массового обслуживания необходимо определить значение параметров.

Имея формулы для расчета можем проводить анализ.

На первом этапе рассчитаем среднее число автомобилей, прибывающих под обработку (или параметр l, характеризующий среднее число автомобилей, прибывающих на базу в течение рабочего дня):

(автомобиля),

где Q_сут – суточный грузооборот, т; n_с – количество ездок автомобилей; g – коэффициент использования грузоподъемности; q – грузоподъемность автомобиля, т.

На втором этапе, чтобы определить значение параметра u, необходимо предварительно рассчитать средний простой автомобилей под погрузкой t_пр под грузовыми и вспомогательными операциями.

Время простоя под грузовыми операциями автомобиля определяем из уравнения:

,

где t_пр – продолжительность нахождения автомобиля под погрузкой, ч; W – производительность комплексной бригады.

Тогда время простоя при производительности в 40 т составит .

Зная, что , можно найти параметр : .

Результаты расчетов можно представить в таблице

Производительность бригады, т/ч (W)	Время простоя автомобиля, ч (1/u= tпр)	Параметр u (1/ tпр)
	2,5*0,9/40=0,056	1/0,056=18

Зная параметры l и u, определяем число бригад, принимая во внимание, что производительность в час равна 40 т находим коэффициент загрузки . Так как в системе массового обслуживания с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО), , значит минимальное число бригад будет равно четырем.

Таким образом, рассмотрим транспортный процесс с четырьмя бригадами.

1) Вероятность того, что в момент прибытия автомобилей под погрузку обслуживающие бригады свободны

.

(Первое слагаемое =1+3+4,5+4,5=13.

Второе слагаемое: ),

откуда .

2) Вероятность того, что в момент прибытия очередного автомобиля под погрузку все комплексные бригады заняты

.

3) Среднее время ожидания одним автомобилем начала погрузки вследствие занятости бригад .

4) Простой автомобилей за смену в ожидании погрузки (среднесуточное количество автомобилей, прибывающих на базу под погрузку, составляет 54)

= G_ож * l = 0,028 * 54 = 1,512 автомобиле-часов,

5) Потери (убытки) в сутки, вызванные простоем автомобилей, в приведенных затратах

R_а = – Э_а= 1,512 * 0,412 = 0,62 тыс. руб.,

где Э_а – убытки простоя автомобиля за час, тыс. руб.

6) Математическое ожидание числа простаивающих бригад в ожидании погрузки автомобилей при m = 4

.

7) В сутки будет простаивать одна бригада, а расходы предприятия, связанные с простоем бригады, R_б = M₂ * Э_б = 1 * 3,0 = 3,0 тыс. руб./ч,

где Э_б – убытки часа простоя бригады, равные 3 тыс. руб.

8) Убытки по предприятию, вызванные простоем автомобилей и простоем бригад

R = R_a + R_б = 0,62 +3,0 = 3,62 тыс. руб./ч

Дата добавления: 2015-09-28