Элементарные построения

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

12.1. Перпендикуляр к отрезку в его середине	Одинаковым раствором циркуля проводим дуги с центрами в концах отрезка так, чтобы эти дуги пересекались. Прямая, проходящая через точки пересечения засечек — искомый перпендикуляр.
12.2. Угол, равный данному. На луче О'А' построить угол, равный данному углу АОВ.	Данный угол АОВ «измеряем» дугой АВ произвольного радиуса R и расстоянием а между точками А и В. Далее проводим дугу радиуса R с центром в вершине О' данного луча О'А', а из точки А' раствором циркуля радиуса а делаем засечку на дуге. Угол А'О'В' искомый.
12.3. Прямая, параллельная данной. Через точку А провести прямую, параллельную данной прямой.	Описываем дугу произвольным радиу­сом с центром в точке А. Тем же радиусом описываем дугу с центром в точке В. На первой дуге из точки В раствором циркуля радиуса АС делаем засечку и получаем точку D. Прямые АD и ВС параллельны. (Радиус дуги больше расстояния от точки А до прямой АС).
12.4. Биссектриса угла. Разделить данный угол пополам.	Из вершины произвольным радиусом проводим дугу АВ. Из точек А и В достаточно большим радиусом (например, АВ) делаем засечки. Точка М пересечения засечек лежит на биссектрисе.
12.5. Четвертый пропорциональный отрезок. По данным отрезкам а, b, с построить отрезок x такой, что a:b=c:x.	На одной стороне произвольного угла откладываем отрезки а и с, а на другой — отрезок b. Через точку С проводим прямую, параллельную АВ (см. задачу из п. 12.3). Отрезок ВХ=х — искомый.
12.6. Средний пропорциональный отрезок. По двум отрезкам а и b построить отрезок x такой, что a:x=x:b.	На отрезке, равном сумме а и b, как на диаметре, строим окружность. (Для этого делим отрезок пополам, используя решение задачи из п. 12.1.) Перпендикуляр x будет искомым отрезком.

12.7. Деление отрезка на равные части.	Под некоторым углом к данному отрезку проводим луч и откладываем на нем столько равных отрезков OB1, B1B2, B2B3, …, на сколько частей нужно разделить ОА. Соединяем последнюю точку В с точкой А. Через B1, В2, В3,... проводим прямые, параллельные АВ (см. задачу из п. 12.3). A1, А2, A3,....— искомые точки деления.
12.8. Перпендикуляр в конце луча. К данному лучу ОА, не продолжая его, восставить перпендикуляр в точке О.	Возьмем вне луча какую-либо точку K так, чтобы окружность с центром в точке K и радиусом ОК пересекала луч ОА в некоторой точке А. Через точку А проведем диаметр АВ. OB — искомый перпендикуляр.
12.9. Золотое сечение. Разделить отрезок АВ=а в среднем и крайнем отношении: а:х=х:(а—х).	Находим . Строим отрезок CВ, перпендикулярный к АВ и равный а/2. — искомая величина.
12.10. Сегмент, вмещающий данный угол. На данном отрезке построить сегмент, все вписанные углы которого, опирающиеся на АВ, равны а.	Строим угол ВАС, равный а, с верши-вой в точке А (АВ — сторона этого угла). Центр О искомого сегмента — пересечение перпендикуляра OD к середине отрезка АВ и перпендикуляра ОА к стороне АС угла ВАС (см. п. 12.8).
12.11. Касательная к окружности. Через точку А вне окружности провести касательную к ней.	На отрезке ОА, как на диаметре, строим окружность с центром в точке O1. Точки В и В1 лежат на касательных.

12.12. Общая касательная к двум окружностям.

Можно построить две внешние касательные (обе окружности лежат по одну сторону) и две внутренние (окружности лежат по разные стороны — на рисунке показаны штриховой линией). Строим окружность с центром в точке О и радиусом, равным разности (для внутренней касательной — сумме) радиусов данных окружностей. К построенной окружности проводим касательную O1C (соответственно O1D). Касательные АВ и A1B1 параллельны соответственно O1C и O1D. Две другие касательные симметрич­ны относительно ОО1.

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

12.13. По трем сторонам.	Из концов отрезка АВ, равного одной из сторон треугольника, делаем засечки радиусами, равными двум другим сторонам. Задача имеет решение, если данные отрезки удовлетворяют неравенствам треугольника (см. п. 11.6).
12.14. По двум сторонам и углу между ними.	Построив угол ВАС, равный данному, откладываем на его сторонах два данных отрезка. Задача имеет решение всегда.
12.15. По стороне и прилежащим к ней углам.	При каждом из концов отрезка АВ, равного данной стороне, строим по одному данному углу. Задача имеет решение, если один из углов острый.
12.16. По трем медианам.	Если медиану СN продолжить на отрезок NK, равный PN, то получим треугольник АРК, каждая из сторон которого равна 2/3 соответствующей медианы. Задача сводится к задаче п. 12.3.

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

12.17. Треугольник и шестиугольник.	Делая на окружности последовательные засечки радиусом R, получим шесть вершин правильного шестиугольника. Соединяя вершины через одну, построим правильный треугольник.
12.18. Квадрат и восьмиугольник.	Два взаимно перпендикулярных диа-метра пересекают окружность в вершинах квадрата. Повернув диаметры на 45° (или разделив углы между ними пополам), получим восемь точек, являющихся вершинами правильного восьмиугольника.
12.19. Пятиугольник и десятиугольник.	Разделив радиус в среднем и крайнем отношении (см. п. 12.9), получим отрезок ОА, равный стороне правильного вписанного десятиугольника. Соединяя вершины десятиугольника через одну, построим правильный пятиугольник.

Дата добавления: 2015-08-29