Предмет ТВ-закономерности, присущие случайным явлениям.

-=1=- Предмет ТВ Предмет ТВ-закономерности, присущие случайным явлениям. ТВ-наука, изучающ мат модели случ явлений. -=2=- События.Операции надо событиями. События бывают: -невозможные –несовместные AΩB=Ǿ Совместные -когда наступление одного события не противоречит наступлению другому. А благоприят В если из наступления А ->наступление В. АиВ равносильны, если каждое из них благоприятствует другому. ОПЕРАЦИИ над событиями: А+В=С (AuB=C) состоящая в наступлении хотя бы одного из них. А*В=С (AΩB=C) состоящее в одновременном наступлении обоих событий. Противоположное: Ā-наступает, когда не наступает исходное событие. А и Ā несовместные. -=3=- вероятностное пространство. δ-алгебра событий. Вероятностное пространство -мат объект, содерж (Ω-испытание А -сигма алгебра событий и числ ф-ю P(A)) Если выполняются след аксиомы: Неотрицательность: Р(А)≥0 Нормированность: Р(А)=1 Аддитивность:Р(А+В)=Р(А)+Р(В); AΩB=Ǿ -=4=-Урнова модель N шаров->шар Ω={ω1, … ω n} кол-во подмн-в 2^n (Ai) Если ωiЭAi =>событие наступило,иначе не наступило. Ω-пространство элементарных событий -=5=-Конечные вероятностные пространства, классическое определение вероятности. Св-ва вероятности: 1)для всех А 0≤Р(А)≤1; 2)Р(Ǿ)=0 3) АизВ=>P(A)≤P(B); 4)A=BóP(A)=P(B); 5)P(Ā)=1-P(A); 6)P()= ; 7)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Классическое определение вероятности - отношение числа благопр этому соб исходов к общему числу всех равновозм несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Конечное вероятностное пр-во-(Ω A P(A))где Ω-конечное мн-во, А-все подмн-ва Ω, Р(А)=m\n -=6=-Геометрическая вероятность Ω-область, А-часть Ω. Найти:Р(хЭА) 1)Ω-отрезок L. А-отрезок S; S=1\2L; S=1\3L; P(хЭА)=1\3 => P(хЭА)=S\L 2)A=[a,b] х,yЭ[a,b] => P((x,y)ЭА)= = 3) Ω-область в пространстве. А-часть Ω => P((x,y,z)ЭА)= -=7=-Условн вероят - Р(В/А)Когда наступ соб А следует из наступ др события Тh. умножения вероятностей для зависимых и независимых событий 1)Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В) 2)Р(АВ)=Р(А)Р(В) Сл к 2:Если АиВ независ,то независ будут и АиḂ, ĀиВ, ĀиḂ. -=8=-Вероятность появления хотя бы одного события Пусть А1…An-независимы в совокуп. P(A1)=p1…P(An)=pn. A-наступление хотя бы одного события {Ai}где i=1…n. P(A)=1-P(Ā1Ā2 …Ān)=1-P(Ā1)P(Ā2)…P(Ān)=1-q1q2…qn => P(A)=1-q^n,если P(Ai)=i Формула полной вероятности. Р(А)= -=9=-Формула Байеса. Дает возможность пересмотреть вероятность гипотез с учетом результата проведенного испытания. Р(Hi/A)= -=10=-Произведение вероятностных пр-в. Независ испытания Бернулли. Испытания( А,Р). Пусть даны n-испытаний( А1,Р1)… ( Аn,Рn) n-испытаний называется независ, если результат каждого из них не зависит от того, что произошло в другом событии. В частном случае испытание с двумя исходами. i={0,1} тогда A i={Ǿ,{0},{-1}, i}; P(1)=p, P(0)=q; p+q=1. В прямом произведении этих пр-тв получаем: ω={ω1*…*ωn} ωi=0 или 1. P(ω)= . Таким образом построенные n-испытаний называются схемой Бернули Схема Бернулли: 1)n-независ испытаний. 2)2 исхода A и Ā. 3)вер Р(А)=р – пост и независ от номера испытания. -=11=-ThПуассона: если вероятность наступления А в кажд испытании пост и мала, а величина λ=np остается небольшим ≤10, то вероятность того,что событие наступит k-раз равна: Pn,k(A)≈ -ф-я Пуассона -=12=- Локальная Th М-Л: если вероятность наступления соб А постоянно и отлично от 0 и 1, а число испытаний велико, то вероятность события А наступит ровно к-раз и равно: Рn,k(A)≈ , где φ(х)= , где х= Св-ва ф-ии Лапласа: φ(х)= 1)ф(х)-четная; 2)ф(х)-убывает.(при х-> ф-я =0); 3)для х>5 ф(х)=0 -=13=-Интегральная предельная Th М-Л: Если вероятность наступления А в кажд испытании постоянно и ≠0и1,а n-достаточно велико, то вер наступ А на промежутке Рn,m1≤k≤m2(A)≈Ф(х2)-Ф(х1). Где Ф(х)= dt; Где х1= ; x2= Св-ва Ф(х): 1)нечетная; 2)возрастает 3)для х<-5 Ф(х)=-0.5; для х>5 Ф(х)=0.5 -=14=-Следствие интегральной Th М-Л: 1)Th:если вероятность наступления P(A)=p и ≠0и1, n-велико, то: P(|m-np|≤ )≠2Ф() 2)Th: P(A)=p и ≠0и1, n-велико, то: Р(| |≤ )≈2Ф( ) С помощью этой формулы можно находить: 1)Число испытаний,необходимых для того,чтоб с заданной вероятностью отклонения частости события А от его вероятности наступления не превосходило заданного 2) границы в кот нах.частность события,если известно n,p – вероятность его наступления в каждом испытании. -=15=-Случайные величины -значение определяется случайными исходами(ф-я на исходах ξ(ω)). Случ величина считается заданной, если задан закон распределения. Закон распределения -соответствие меж возможными значениями и соответствующими вероятностями. Случ вел:дискретные(дсв) непрерывные(нсв) смешанные(ссв). Случ велич, имеющ одинак з-н распред наз одинаково распределенными. -=16=-Ф-я распределения.(интегральный з-н) Ф-я,опред на всей числовой оси и ставящая каждому действительному числу в соответствии вероятность. Th:P(x1≤Х≤2х)=F(x2)-F(x1). Св-ва: 1)0≤F(x)≤1 2)из th следует: F(x2)-F(x1)≥0 => F(x2)≥F(x1) для всех х2>x1 => ф-я монотонно неубывающая. 3) 4)непрерывна слева F(x-0)=F(x) -=17=-ДСВ -мн-во кот конечно или счетно. Х-дсв, {xi}i=1…n и pi=P(X=xi)i=1…n 1)ряд или таблица распределения: (В порядке возрастания и одинаковые объединять!) 2)аналитически Pn,k(A)=Pn(X=k)= p^kq^n^-^k 3)графически {(xi,pi)} если их последовательно соединить, получим полигон (многоугольник) событий. -=18=- Виды распределений ДСВ. ДСВ -мн-во кот конечно или счетно. 1)равномерное xi c pi=1\n i=1…n 2)биномиальное (по з-ну Бернули) она принимает значения k=0,1…n c P(x=k)= p^kq^n^-^k Т.е. определяет кол-во наступления события А в n-независ испытаний. 3)з-н Пуассона: она принимает значения k=0,1…n c P(x=k)= ; =np 4)геометрическое: принимает значения k=0,1…n c P(x=k)=q^k^-1p 5)гипергеометрическое (возникает,когда) Х имеет г.распред с парам a,b,n если ее возм знач 0,1…m…a имеет вершину Рm=P{X=m}= ; m=0,…a Основ х-ки: m= ; P(ξ=m)= m=0,1…min(n,M) ξ-случ велич от 0 до М -=19=-Математические операции над ДСВ 1)y=kx – случ велич, приним знач {kxi c pi} 2)возведение в степень Y=x^k – прин знач с теми же вероятностями {x^ki c pi} 3)сложение – случ велич,прин все возможные значения xi+yj с вероятностью pij 4)вычитание X-Y=Z xi-yj c pij. 5)умножение X*Y=Z xi*yj c pij -=20=-Мат ожидание М(Х)= Вероятностный смысл: n-испытаний; x. Пусть х1-m1-раз…xk-mk-раз. Причем ; Найдем сумму всех наблюдаемых величин:x1m1+…+xkmk X = , где -относительная частота. n-> Тогда: X = = =M(X) Если вероятности случ.вел разные, то мат.ожидание это просто средне возведённое наблюдаемое значение, а если одинак, то сраднеарифметич. Св-ва: 1.хнаим≤М(Х)≤ хнаиб; 2. М(С)=С; 3. М(СХ)=С*М(Х); 4. М(Х+С)=С+ М(Х); 5. М(Х±У)= М(Х)±М(У) для всех Х У; 6. М(ХУ)=М(Х)*М(У), где Х У-независимые случ.вел; 7.М(f(Х))= ; 8. М(Х-М(Х))=0 -=21=-Дисперсия д.в.с М(Х-М(Х))=0 рассм М(Х-М(Х))^2 D(X)=М{[Х-М(Х)]^2}; D(X)= ^2- D(X)=М{[Х-М(Х)]^2}=М{Х^2-2ХМ(Х)+М(Х)^2}=М(Х^2)-(М(Х))^2=> D(X)=М(Х^2)-(М(Х))^2 Св-ва: 1.D(X)≥0 2. D(C)=0 3. D(XC)= C^2D(X) 4. D(X+C)=D(X) 5. D(X+Y)=D(X)+D(Y) X Y-независимые случ.вел 6. среднеквадратическое отклонение δ(х)= Св-ва: 1.δ(X)≥0 2. δ(C)=0 3. δ(XC)= |C| ; 4. δ(X±Y)= 5.Для х=независимых случ.вел с δ^2 δ()=

-=22=-Теоретические моменты а) Начальные моменты – М(Х^k) mk= М(Х^k) b)Центральные моменты = М{[Х-М(Х)]^k}; = М{[Х-М(Х)]^0}= М(1)=1; = М{[Х-М(Х)]}=0 = М{[Х-М(Х)]^2}= D(X)=М(Х^2)-(М(Х))^2=m1-m2 -=23=- Непрерывная случ.вел: Случ.вел мн-во которой явл некоторый промежуток называется НЕПРЕРЫВНОЙ. F(x)= F(x)-непрерывна на всей оси Случ.вел у которой ф-ия распред-я непрерывна на всей оси является н.с.в. Плотность распределения вероятности: Пусть Х-н.с.в, F(x)-непрер и диф-я ф-ия. Рассмотрим Р(х х+ F(x+ )-F(x) разделим на + : ; .при диф получим F’(x)=>F’(x)=f(x)-плотность распределения вероятностей. y=f(x)-кривая распределения. СВ-ва: 1)f(x)≥0 F(x)-неуб. F’(x)≥0 => f(x)F’(x)≥0 (тоесть все точки респределения лежат не ниже оси ОХ) 2) =1; Д-во: ≈f(+∞)-F(-∞)=1 (т.е. площ криволинейной трапеции ограничена кривой распр и осью ОХ=1) 3)Р( <X< )= (x)dx (вероятность попадания x= ,х= ,OX,y=f(x)) -=24=- Числовые характеристики нсв. 1)M(x)= ; 2)D(x)= - 3)δ= 4)M0-нсв,значение котор соответствует fmax диф ф-ии 5)ML,для кот Р(Х> ML)=P(Х< ML)=1\2 6)теоретические моменты: а)начальные моменты: k=M(X^k)= б)центральные моменты: к=М{(X-M(x))^k}= f(x)dx -=25=-Равномерное и показательное распределение РАВНОМЕРНОЕ:если на мн-ве ее знач пл-ть распред вероятности постоянна X~U(a,b) ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ (экспоненциальное):Х~Е() f(x) -=26=- Нормальное распределение НСВ N(a, ) f(x)= – Гаусово распределение. у=f(x)-гаусова кривая или нормальная кривая. Симметрична х=а. fmax=f(x=a)= . Точка перегиба: х=а±δ fперегиба- . На расположении y=f(x) a-сдвиг по ОХ. δ-чем больше δ(при задан а), тем положе кривая и наоборот. М(х)= dx=a D(x)= = N(); A=0; =0; При а=0 δ^2=1 – стандартное нормальное распределение. -=27=-Логарифмич нормальное распределение НСВ. С.В х подчиняется логариф.норм.з-ну распр если его ~N(a, ) Говорят,что задана случ вел общего вида, если каждому барелеву мн-ву поставлено в соотв Р(А) для всех А-барелево мн-во->P(A). 1)Р(R)=1; 2)если Ai∩Aj=Ǿ,то: P()= -=28=- Двумерная случ величина.з-н распределения. Многомерная случ велич-N-мерный вектор(х1…xn), кажд компонент которой есть случайная величина. Xi-случ вел; xi(ω)=xi для xi R. Обычно рассматривают двумерную случ вел. где (Х,У)-случайная точка на пл-ти. Случ велич наз дискретной, если ее составляющие дискретные случ вел. Она считается заданной, если задан з-н ее распределения, определенная набором значений. {xi,yj} c Pij=P(X=xi, Y=yj) -=29=- Ф-я распределения двумерной случ величины. Дсв м.б. задана: 1) в форме таблицы с двойным входом. Где ; …- безусловный з-н распределения составляющих. 2) аналитически: F(x,y)-ф-я распределения двум.сл.велич. или интегральный з-н распределения. F(x,y) наз ф-ю кот в кажд точке (x;y) ставит в соответствие вероятность того, что составляющая для всех (х,у) R^2; P(X<x,Y<y) -=30=-Условные з-ны распределения составляющих. Х при условии У=yj,либо У при усл Х=xi. X при усл Y=yj называется последовательность условных вероятностей РX,Y=yj(x1),…, РX,Y=yj(xn) – у принимает фиксированное значение. Аналогич с У. Усл вероятности определяются по след формулам: Py=yj(xi)= = Px=xi(yj)= = -=31=- Непрерывная(ХУ)- если ее ф-я распределения непрерывна и диференцируема по каждому аргументу и существует вторая смешанная производная: . Для непр (ХУ) f(x,y)-пл-ть распред-я вероятностей. f(x,y)= – диференц. з-н распределения. Св-ва f(x,y): 1)f(x,y)≥0; 2) ; 3)F((x,y)€D)= -=32=- Числовые х-ки двум.сл.вел M(x)= ; M(x)= M(y)= ; M(y)= D(x)=M(x^2)-(М(х))^2; D(x)= D(y)=M(y^2)-(M(y) ;так же как и для х. -=33=- Завис и независ компонент. Th:для того, чтоб случ велич были независ, необходимо и достаточно,что б ф-я распределения этой системы случ вел была представлена ф-ей составляющих: F(x,y)=F1(x)*F2(y) Д-во: необходимость:пусть х и у независ, тогда P(X<x,Y<y)=P(X<x)*P(Y<y)-по независимости, а по определению: P(X<x,Y<y)= F(x,y)=F1(x)*F2(y) Следствие: f(x,y)= f1(x)*f2(y) для непрерывных двумерных случ величин есть необходимое и достаточное условие независимости. Cov(x,y)-мат.ожидание произведения отклонения случ величин от своих математических ожиданий. Cov(x,y)=M[(x-mx)-(Y-my)]; Cov(x,y)=cov(y,x) Для дискр (Х,у): cov(x,y)= Для непр:cov(x,y)= r(x,y)= =r(y,x) Св-ва Кореляции: 1 )|r|≤1; 2)если х и у независ, то r=0 (тогда случ величины некоррелируемы); 3) |r|=1 –сущ линейная функц зависимость. -=34=-Линейная регрессия Пусть х и у завис случ.вел (линейная зависимость) У≡ + где R; ф(х)= + -наилучшее приближение У в смысле метода наим. квадратов. Если М[(Y-ф(х))^2] принимает наименьшее значение, то ф- среднеквадратическая регрессия: Ух=my+r xy=mx+r где r - коэфф регрессии У по Х; r - Х по У -=35=-Ф-ии случ величин: Y=ф(х). 1)если Х-д.с.в, то У-дсв (kx,x^k, ,x*y); 2)если Х-нсв, то У=f(x)-нсв. Если ф(х)-строго монотон, непр и диференц на [a,b] то ф(а)=с, ф(b)=d. => сущ х=ф^-1(у) на [c,d], G(y)= (Y<y)= = Ф-я распределения g(y)= G’(y)=f(ф^-1(y))((ф^-1(у))’y) где g(y)=пл-ть распределения. f(от хрени)-пл-ть распределения аргумента. -=36=- нер-во Маркова (лемма Чебышева): если случ вел. для кот определены М(х), причем только неотр значения будут больше некоторого неотрицательного числа. Р(х> )≤ где >0; X> и х≤ противоположны. Р(х≤ )=1- Р(х> )≥ => Р(х≤ )≥ -=37=- Неравенство Чебышева: Если случ величина имеет конечные М(х) и D(x), то вероятность отклонения значения этой величины от своих М(х) и D(x) не более, чем на : Р(|x-M(x)|≤ )≥1- X~B(n,p); M(x)=np; D(x)=npq; P(|x-np|≤ ) – нер-во Ч. для бином.распред-я. -=38=- З-н больших чисел в форме Чебышева. Под з-м больших чисел понимается принцип,согласно которому совокупность действия большого числа случайных факторов приводит к результату, независ от случая. Th Чебышева: если попарно независимые случ вел. Х1,х2… имеют конечные М(х) и равномерно ограничены D(x) (все D(x)≤C)то среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к среднеарифметическому из М(х): =1 Замечание1:Среднеарифм большого числа случ.вел утрачивает характер случайности. 2: Th Чебышеваприменима как для дискретн так и для случ.вел. 3: Th Чебышева играет большую роль в практике. -=39=-Th Бернули: Для всех > P(| |≤ )->1 при n->1 или =1 Замечание1: Th Бернули явл частным случаем Th Чебышева. Замечание2: Th Бернули дает теоритическую основу замены неизвестной вероятности ее статистич аналогам. Центральная Th: 1)Если х1,х2…xn…-независ случ вел с известным законом распределения, то М(хi)=mi; D(xi)= , то у= N

Дата добавления: 2015-08-29