1. Вектор – направленный отрезок. Это отрезок AB, для которого указана какая из его ограничивающих точек является началом и какая концом.

1. Вектор – направленный отрезок. Это отрезок AB, для которого указана какая из его ограничивающих точек является началом и какая концом. Длина вектора – расстояние между началом и концом вектора. Коллинеарные вектора – если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Компланарные вектора – если существует плоскость, которой вектора параллельны.	4. Теорема о линейной зависимости 2-х векторов: пусть , тогда - линейно зависимы . Доказательство:необходимость: т.к. - линейно зависимы, то по критерию линейной зависимости . Достаточность: , тогда существует такая прямая, на которой можно отложить эти векторы. , если либо , если , тогда и по критерию линейной зависимости - линейно зависимы. Лемма 1 о разложении: пусть - компланарны, , тогда , что . Доказательство: , , , , , , - по теореме о линейной зависимости двух векторов, - по теореме о линейной зависимости двух векторов. , . Единственность: предположим, что , тогда , - линейно независимы, следовательно и . Теорема о линейной зависимости 3-х векторов: Векторы линейно зависимы - компланарны. Доказательство:необходимость: пусть линейно зависимы, то . Точки определяют некую плоскость . Достроим и до параллелограмма. , тогда компланарны. Достаточность: пусть компланарны, тогда а) , то по лемме 1 о разложении , то по критерию линейной зависимости линейно зависимы. б) , то по теореме о линейнои зависимости 2-х векторов линейно зависимы, то по теореме о линейно зависимой подсистеме векторов линейно зависимы. Лемма 2 о разложении: пусть не компланарны, тогда , , что . Доказательство: Из некомпланарности следует: Вектора и образуют плоскость . , из леммы 1 о разложении , . . Единственность: предположим, что , тогда , линейно независимы, тогда , , . Теорема о линейной зависимости 4-х векторов: векторы линейно зависимы в пространстве. Доказательство: а) - некомпланарны, тогда по лемме 2 о разложении , то по критерию о линейной зависимости линейно зависимы. б) - компланарны, тогда по теореме о линейной зависимости 3-х векторов - линейно зависимы, тогда по теореме о линейно зависимой подсистеме линейно зависимы.	7. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной, если изконца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки, в противном случае тройка называется левоориентированной. Свойства: 1) Ориентация тройки векторов при циклической перестановке не меняется. 2) Ориентация тройки векторов при перестановке двух из них местами меняется на противоположную тройку.
2. Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число. Сумма векторов: Пусть даны два вектора и . Построим равные им и (перенесем конец и начало в одну точку B), тогда называется суммой векторов и . Умножение вектора на число: Произведением вектора на вещественное число называется любой вектор , удовлетворяющий условиям: и коллинеарен вектору . Свойства суммы векторов: 1) 2) 3) 4) Свойства произведения вектора на число: 1) 2) 3) 4) 5)	8. Векторное произведение: пусть даны векторы и . Построим по ним вектор , удовлетворяющий условиям: 1) , где - угол между и , 2) ортоганален и , 3) если и не компланарны, то векторы образуют правую тройку. Свойства векторного произведения: 1) 2) 3) 4) 5) Доказательство: 1) , , - правая тройка, тогда - левая тройка, тогда - правая тройка, тогда . 2) = , a) . б) .
3. Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю; иными словами, если существует набор коэффициентов , что , причем Если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулю, то эти векторы линейно независимы. Тривиальная линейная комбинация векторов – если все ее коэффициенты равны нулю, такая комбинация равна нулевому вектору. Критерий линейной зависимости: Система векторов линейно зависима когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Доказательство:необходимость: , что . , пусть , то , тогда - есть линейная комбинация векторов . Достаточность: пусть - некая линейная комбинация, тогда - линейно зависимая комбинация. Теорема о линейно зависимой подсистеме системы векторов: Если система векторов имеет линейно зависимую подсистему векторов, то она линейно зависима. Доказательство: пусть - система векторов, , тогда: , , что , тогда , тогда - линейно зависимая комбинация векторов. Следствия: 1) Если система векторов содержит , то она линейно зависимая. 2) Если система векторов линейно независимая, то любая подсистема тоже линейно независимая.	9. Смешанное произведение: число называется смешанным произведением и обозначается . Теорема о геометрическом смысле смешанного произведения: пусть некомпланарны и - параллелепипед, построенный на , тогда , если - правая тройка или , если - левая тройка. Доказательство: . Здесь - угол между и , тогда . Критерий компланарности тройки векторов: компланарны . Доказательство:необходимость: если компланарны, то , тогда . Достаточность: 1) компланарны. 2) компланарны. 3) компланарны.
10. Выражение называется двойным векторным произведением. Свойства: 1) . 2) . Доказательство: 1) Пусть - ортонормированный базис такой, что , , , . . , ; . 2) .
5. Проекция вектора на ось – вектор, соединяющий начальную и конечную точку проекции. Скалярная проекция вектора на ось – длина векторной проекции вектора на ось. Свойства проекции: 1) . Проекция суммы векторов является суммой проекций этих векторов. 2) . Проекция произведения вектора на число является произведением этого числа на проекцию вектора. Доказательство: 1) , , , , тогда . 2) Угол между векторами – наименьший угол между векторами, отложенными из одной точки. Теорема о вычислении проекции: пусть , тогда . Доказательство: 1) , тогда . 2) , тогда
6. Скалярное произведение векторов и - это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними . Свойства: 1) 2) 3) 4) , 5) Доказательство: 1) из определения скалярного произведения векторов. 2) = = . 3) . 4) , причем . 5) необходимость: , тогда . Достаточность: , то .
11. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется афинным базисом. Если , , то это ортоганальный базис. Если , , то это ортонормированный базис. Пусть - афинный базис, , тогда , , , то - биортоганальный базис. Свойства: 1) , если , , если . - символ Кронеккера. 2) Пусть , , - контрвариантные координаты и - ковариантные координаты, где i=1,2,3. 3) Если - ортонормированный базис, то .
12. Операции над векторами в координатах: , , - афинный базис. . . . . . .	13. Пусть даны - афинный базис и точка , четверка называется афинная система координат. Если - ортонормированный базис, то - декартова система координат. - радиус-вектор точки М, тогда координаты точки М равны координатам . , , тогда .	14. Параллельный перенос: , , тогда , , . Поворот декартовой системы координат в плоскости: , ; , . , , , . , .

Дата добавления: 2015-08-29