Уравнения Лагранжа 2-го рода (задачи).
Кинетическая энергия в разных системах координат.
T=1/2v2 = 
,
В декартовых координатах: Координаты x, y, z
В полярных координатах: Координаты r, j.
В цилиндрических координатах: Координаты r, j, z
В сферических координатах: Координаты r, j, q
Кинетическая энергия в обобщенных координатах зависит от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени и может быть представлена в виде T = T2 + T1 + T0
Если связи голономны, а кинетическая энергия явно от времени не зависит, то имеет место обобщенный интеграл энергии: T2 - T0 +П = const – интеграл Якоби.
Т1 –называется гироскопическим членом.
В случае стационарных связей Т0 = 0, тогда Т2 = Т и обобщенный интеграл энергии становится законом сохранения механической энергии: T + П = const.
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия в поле силы тяжести: U= - mgz. П = mgz
Потенциальная энергия в центральном поле сил: U~1/r, П = k/r.
Потенциальная энергия упругой силы: F= - kx, U= - kx2/2, П =-kx2/2.
Порядок составления уравнений Лагранжа:
-ввести независимые обобщенные координаты,
-определить обобщенные силы,
-вычислить кинетическую энергию системы материальных точек,
-найти частные производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям и затем производные по времени,
-определить частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам.
Задача 1. Вывести дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с помощью уравнений Лагранжа.
Решение. Выберем угол j в качестве обобщенной координаты. Обозначим через Iz момент инерции относительно оси z. В данном случае (одна степень свободы) имеем
Определим обобщенную силу и кинетическую энергию:
и обобщенная сила равна 
.
Кинетическая энергия материальной точки, вращающейся вокруг оси, имеет вид 
. Вычислим частную производную от кинетической энергии по обобщенной скорости 
: 
, а затем возьмем производную от полученного результата по времени: 
. Учитывая, что в выражение кинетической энергии T не входит обобщенная координата j, имеем 
.
После подстановки в уравнение Лагранжа второго рода находим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг оси: 
.
Задача 2. Вывести дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки, воспользовавшись уравнениями Лагранжа.
Решение. Свободная материальная точка имеет три степени свободы.
Уравнения Лагранжа для обобщенных координат x, y, z имеют вид
, 
, 
Вычислим обобщенные силы Qx, Qy, Qz. Дадим материальной точке независимые возможные приращения dx, dy, dz. При определении считаем: dx ¹ 0, dy =0, dz.=0. Сумма работ приложенных к материальной точке сил имеет вид
.
Обобщенной силой является коэффициент, стоящий при dx в уравнении, т.е. 
.
Аналогично находим две другие обобщенные силы.
Запишем выражение кинетической энергии материальной точки
Взяв частные производные от кинетической энергии по 
, 
, 
, получим
, 
, 
Вычислим производные от полученных результатов по времени:
, 
, 
Заметив, что кинетическая энергия материальной точки не зависит от обобщенных координат x, y, z, имеем
, 
, 
После подстановок в систему уравнений Лагранжа получим дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки:
, 
, 
Задача 3. Трубка, закрепленная в точке О, может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси z. Внутри трубки на расстоянии r от оси вращения находится шарик массы m. Выберем в качестве обобщенных координат переменные r и j. Показать, что координата является циклической. Найти первые интегралы движения.
Запишем выражения для кинетических энергий трубки и шарика
Т = Ттр + Тш (1)
Имеем Ттр = 
, Тш = 
(2)
Кинетическая энергия записывается в виде Т = +
Функция Лагранжа имеет вид: L = T-П = + , поскольку потенциальная энергия трубки и шарика при движении в горизонтальной плоскости равна нулю. Составим уравнение Лагранжа
. 
.
, 
Но координата j явно в уравнение Лагранжа не входит, т.е. является циклической.
Поэтому 
и 
- один из первых интегралов движения.
С учетом выражения для L имеем 
.
Этот первый интеграл фиксирует постоянство главного момента количества движения системы относительно оси z.
Для получения другого первого интеграла используем интеграл энергии T+П=h. Это возможно при потенциальных силах и стационарных связях.
На систему наложена стационарная связь – ось вращения трубки. Записав закон сохранения механической энергии T+П=С, и внося в него соответствующие значения для кинетической и потенциальной энергии, получим другой первый интеграл 
.
Определение первых интегралов позволило миновать интегрирование двух уравнений Лагранжа. Это оказалось возможным благодаря наличию циклической координаты и применению закона сохранения энергии.
Задача 4. Решим предыдущую задачу, считая, что трубка равномерно вращается с угловой скоростью w. В данном случае трубка реализует нестационарную связь. Положение шарика определяется с помощью обобщенной координаты r. Абсолютную скорость шарика вычислим с помощью теоремы о сложении скоростей:
, 
, 
,
Кинетическая энергия шарика равна 
В соответствии с 
найдем 
и 
, где T2 - квадратичная функция обобщенной скорости, T0 не содержит обобщенной скорости. Потенциальная энергия равна нулю (П=0) и функция Лагранжа L=T-П имеет вид
.
Время в явном виде ф выражение для кинетической энергии не входит.
В данном случае первым интегралом является обобщенный интеграл энергии
T2 – T0 +П = С
Искомый первый интеграл найдем в виде 
(С1 = С/2m).
Задача 5. Написать законы сохранения и уравнения движения спутника в полярных координатах φ и ρ.
Кинетическая энергия спутника равна 
, потенциальная энергия силы тяготения 
. Поскольку 
, функция Лагранжа имеет вид 
.
Запишем уравнения Лагранжа
или 
или 
, поскольку координата φ – циклическая.
Отсюда следует, что сохраняется обобщенный импульс 
. Подставив в уравнение функцию Лагранжа, получим 
или 
.
В центральном поле равенство означает закон сохранения момента количества движения. Запишем закон сохранения энергии (связь стационарная):
.
-----------------------------------------
Задача 6. Материальная точка движется по гладкой вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью 
. Найти функцию Лагранжа точки и уравнения движения.
Решение. Обобщенные координаты 
-расстояние точки от оси вращения по горизонтали, 
- высота точки ( направлена по вертикали). Тогда, имея в виду уравнение связи 
, найдем 
и уравнения Лагранжа
, 
, 
, 
, 
.
Обобщенный интеграл энергии 
.
----------------------------------------
Задача. 7. Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движения плоского математического маятника. Длина подвеса маятника 
.
Решение. Примем в качестве обобщенной координаты угол 
.
Координаты массы m: 
, 
.
Кинетическая энергия в декартовых координатах 
. Подставив производные, получим 
в полярных координатах. Потенциальная энергия 
.
Функция Лагранжа 
.
Подставим в уравнение Лагранжа () величины 
и 
и получим 
- нелинейное уравнение второго порядка. При малых значениях угла можно принять 
и 
линейное уравнение второго порядка.
------------------------------------
Задача 8. Два шарика, соединенные пружиной, движутся по гладкой горизонтальной прямой. Найти функцию Лагранжа и закон движения.
Решение. Направим ось 
по прямой и запишем функцию Лагранжа в виде
.
Однако в качестве независимой координаты удобнее выбрать 
- координату центра масс шариков и - расстояние между ними. Тогда
Так как 
, сохраняется интеграл энергии 
.
Далее из цикличности координаты вытекает закон сохранения импульса 
.
-------------------------------------
Задача 9. Две материальные точки массами 
и 
соединены гладкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок пренебрежимо малой массы. Найти функцию Лагранжа и закон движения точек. Длина нити за вычетом половины длины окружности блока 
.
Решение. В качестве независимой координаты выберем расстояние по вертикали от оси вращения блока до точки . Тогда координаты точек: 
, 
.
(ось направлена вниз).
, 
, 
.
, 
, 
.
-------------------------------------------
Задача 10. В гладкой трубке, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , находится шарик 
и невесомая пружина жесткости 
, связывающая шарик с осью.
Найти функцию Лагранжа и уравнение движения.
Решение. 
, 
, 
.
, 
.
-----------------------------------------
Задача 11.
Трубка, закрепленная в точке О, может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси z. Внутри трубки на расстоянии r от оси вращения находится шарик массы m. Выберем в качестве обобщенных координат переменные r и j.. Найти первые интегралы движения.
Запишем выражение для кинетических энергий шарика Т =
Функция Лагранжа имеет вид: L = T-П = , поскольку потенциальная энергия шарика при движении в горизонтальной плоскости равна нулю. Составим уравнение Лагранжа
. .
, 
Но координата j явно в уравнение Лагранжа не входит, т.е. является циклической.
Поэтому и - один из первых интегралов движения.
С учетом выражения для L имеем 
.
Этот первый интеграл фиксирует постоянство главного момента количества движения системы относительно оси z.
Для получения другого первого интеграла используем интеграл энергии T+П=h. Это возможно при потенциальных силах и стационарных связях.
На систему наложена стационарная связь – ось вращения трубки. Записав закон сохранения механической энергии T+П=С, и внося в него соответствующие значения для кинетической и потенциальной энергии. Получим другой первый интеграл 
.
Определение первых интегралов позволило миновать интегрирование двух уравнений Лагранжа. Это оказалось возможным благодаря наличию циклической координаты и применению закона сохранения энергии.
-----------------------------------------------
Задача 12.
Решим предыдущую задачу, считая, что трубка равномерно вращается с угловой скоростью w. В данном случае трубка реализует нестационарную связь. Положение шарика определяется с помощью обобщенной координаты r.
Абсолютную скорость шарика вычислим с помощью теоремы о сложении скоростей:
, , ,
Кинетическая энергия шарика равна
В соответствии с соотношением найдем и , где T2 - квадратичная функция обобщенной скорости, T0 не содержит обобщенной скорости. Потенциальная энергия равна нулю (П=0) и функция Лагранжа L=T-П имеет вид
.
Время в явном виде в выражение для кинетической энергии не входит.
В данном случае первым интегралом является обобщенный интеграл энергии
T2 – T0 +П = С
Искомый первый интеграл найдем в виде (С1 = С/2m).
--------------------------------
Задача. 13. Доказать, что функция Лагранжа определена с точностью до полной производной по времени от произвольной функции обобщенных координат.
Доказательство: Двум функциям 
и 
соответствует одно и тоже уравнение Лагранжа (
- произвольная дифференцируемая функция).
Это следует из соотношения 
.
Добавочный член, входящий в 
, при составлении выражения, стоящего в левой части уравнения, обращается в нуль. Производная 
. 
и 
.Поэтому, если вместо 
подставить 
, то величины 
и 
взаимно сокращаются.
--------------------------------------
Задача.14 Сферический маятник. Тяжелая точка массы m движется по поверхности гладкой сферы радиуса l. Написать уравнения движения точки.
Решение. Кинетическая энергия в сферических координатах при 
равна
, потенциальная энергия 
.
Координата является циклической; соответствующий ей первый интеграл уравнения движения будет 
. Составим еще один первый интеграл уравнения движения
, который может быть записан в виде 
.
--------------------------------------------
Задача 15. Записать уравнения движения тяжелой частицы массы по конической поверхности.
Решение. Пусть координаты частицы будут r, j, z; полный угол раствора конуса 2a. Кинетическая энергия равна 
. Замечая, что 
, перепишем это выражение в виде 
.
Потенциальная энергия равна 
. Циклический интеграл и интеграл энергии могут быть записаны в форме 
, 
.
-----------------------------------------------
Задача 16. Вывести уравнения Рауса.
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы. Пусть первая из обобщенных координат есть циклическая. Функция Лагранжа имеет вид 
. Уравнения движения системы
, где 
,
.
Первое из этих уравнений соответствует циклической координате; оно интегрируется:
, где p1– произвольная константа интегрирования.
Из последнего равенства можно найти циклическую скорость 
как функции остальных нециклических координат q2, 
, p1, t и подставить ее в функцию Лагранжа. Чтобы уравнения Лагранжа для нециклических координат сохранили свой вид, Раус ввел функцию 
, которая играет роль функции Лагранжа для нециклической координаты. Функция Рауса имеет вид 
.
При этом предполагается, что в правой части циклическая скорость исключена. Ее следует определить из уравнения для обобщенного импульса.
Чтобы убедиться, что функция 
, независящая от циклических параметров, действительно играет роль функции Лагранжа для нециклической координаты, запишем полные дифференциалы левой и правой частей уравнения (4).
Дифференциал правой части уравнения для функции Рауса
. (5)
С другой стороны, вычислив полный дифференциал правой части равенства,получим
. (6)
В правой части равенства второй и последний члены взаимно уничтожаются. Сравнивая правые части равенств и учитывая, что 
, находим
, 
, 
, 
, 
,
Но для нашей системы справедливы уравнения Лагранжа 
(j=1,…,n).
Из сравнения получаем уравнение движения для нециклической координаты, в котором роль функции Лагранжа играет функция Рауса: 
и равенства 
, 
. Циклическая координата находится из уравнения : 
,
-------------------------------------------------
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 234 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| 1.Обобщенные БПТ и УПТ (общие) | | | Интерфейс. Вкладка Файл |