|
Метод наименьших квадратов
На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.
Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
xi | x1 | x2 | … | xn |
yi | y1 | y2 | … | yn |
Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.
Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:
- устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y=ax+b);
- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(xi), найденных по эмпирической формуле y=f(x), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.
(в нашей задаче ).
В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:
,
получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a и b линейной зависимости:
.
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 25 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Метод множителей Лагранжа | | | Вариант 6 |