Рис. 1. Схема четырёхполюсника

ЗАДАНИЕ

Рис. 1. Схема четырёхполюсника

Параметры элементов цепи: кОм, кОм, мГн, нФ. Тип внешнего воздействия задается кусочно-непрерывной функцией, имеющей конечные разрывы при , , :

где В, В, В, мкс, мкс.

В результате выполнения курсовой работы необходимо найти:

1. выражения для - параметров заданного четырехполюсника (рис. 1) в виде функции частоты;

2. комплексный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

3. амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики коэффициента передачи по напряжению;

4. операторный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

5. переходную характеристику цепи ;

6. импульсную характеристику цепи ;

7. отклик цепи на заданное входное воздействие при отключенной нагрузке.

РАСЧЁТ

1. Для определения Н -параметров четырёхполюсника составим уравнения электрического равновесия цепи по методу контурных токов [1]:

Выбирая направление обхода контуров, как указано на рис. 2, и учитывая, что ; ; ; ; , а ; ; ; , запишем контурные уравнения цепи:

Рис. 2. Электрическая схема заданной цепи

Выразив из (2) : и подставив в (1), а затем в (3), получим:

; (4)

. (5)

Полученные уравнения содержат только токи и напряжения на входных и выходных зажимах четырёхполюсника и могут быть преобразованы к стандартному виду записи основных уравнений четырёхполюсника в форме Н:

; (6)

. (7)

Преобразуя уравнение (5) к виду (7), а затем, используя его для преобразования уравнения (4) к виду (6), получим:

; (8)

. (9)

Сравнивая (8) и (9) с (6) и (7), получаем

Ом;

;

См.

2. Комплексный коэффициент передачи по напряжению от зажимов 1-1’ к зажимам 2-2’ в режиме холостого хода на выходе () связан с Н -параметрами соотношением

, где .

.

(10)

.

Из выражения (10) следует, что АЧХ и ФЧХ имеют вид:

;

(11)

где резонансная частота рад/с определяется из условия .

С учётом заданных значений параметров элементов:

;

Результаты представлены в виде графиков на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика цепи

Рис. 4. Фазочастотная характеристика цепи

Для контроля вычислений определим предельные значения и при и , не прибегая к расчетным формулам.

Сопротивление индуктивности на постоянном токе равно нулю, поэтому её можно заменить перемычкой, а сопротивление ёмкости бесконечно велико и можно разорвать ветвь, содержащую конденсатор. В этом случае и . На бесконечно большой частоте сопротивление индуктивности бесконечно велико, а сопротивление ёмкости стремится к нулю, поэтому и .

3. Операторный коэффициент передачи по напряжению получим из выражения для комплексного коэффициента передачи по напряжению , заменяя оператором :

. (12)

Преобразуем последнее выражение так, чтобы коэффиенты при старших степенях р в знаметателе были равны единице.

.

Нулем данной функции является . Найдем полюсы , приравняв знаменатель нулю и решив квадратное уравнение:

.

В результате найдены следующие корни (полюсы):

, .

Полюсно-нулевая диаграмма функции приведена на рис. 5, из которого видно, что переходные процессы в рассматриваемой цепи имеют затухающий апериодический характер:

Рис.5. Полюсно-нулевая диаграмма функции

4. Выражения для операторных изображений переходной и импульсной характеристик данной цепи записываются соответственно в виде [2]:

,

.

Преобразуем изображения переходной и импульсной характеристик к виду, удобному для определения оригиналов временных характеристик с помощью таблиц преобразований Лапласа:

. (13)

. (14)

Таким образом, все изображения сведены к следующим операторным функциям, оригиналы которых приведены в таблицах преобразований Лапласа [1]:

, (15)

. (16)

Сравнивая выражения (13), (14) и (15), (16) и, учитывая, что , , получаем выражения для переходной и импульсной характеристик

, (17)

, мкс^-1

Графики переходной и импульсной характеристик приведены на рис. 6 и 7. Переходной процесс в цепи практически заканчивается за время , где для рассматриваемого случая мкс, т.е. мкс.

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи подсоединим к входным зажимам независимый источник напряжения . Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходе при воздействии на цепь единичного скачка напряжения В, при нулевых начальных условиях.

В первоначальный момент времени после коммутации ток заряда и напряжение на конденсаторе равно нулю, т.к. по законам коммутации при конечном значении амплитуды входного скачка напряжение на обкладках конденсатора и ток заряда конденсатора скачком измениться не может. Следовательно, . Переход от начального состояния к установившемуся происходит в колебательном режиме, что объясняется процессом периодического обмена энергией между индуктивностью и ёмкостью. Затухание колебаний происходит из-за потерь энергии в сопротивлениях и .

При напряжение на входе можно считать постоянным ( В), в цепи могут протекать только постоянные токи и поэтому ёмкость можно заменить разрывом ветви, а индуктивность – коротким замыканием. В преобразованной таким образом цепи В, а значит, .

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения В. В течение действия единичного импульса весь входной ток протекает через конденсатор, напряжение на обкладках конденсатора скачком увеличивается от нуля до . В то же время ток катушки индуктивности скачком увеличивается от нуля до i_L(0₊)= .

Корректность расчета импульсной характеристики подтверждается качественно тем, что график переходит через ноль в тот момент времени, когда имеет экстремум, а максимум совпадает по времени с точкой перегиба графика .

Рис. 6. Переходная характеристика

Рис. 7. Импульсная характеристика

5. Рассчитаем отклик в заданной цепи при воздействии на зажимы 1–1’ напряжения (рис. 8), которое описывается кусочно-непрерывной функцией, имеющей конечные разрывы при мкс и мкс:

а) б)

Рис. 8. Внешнее воздействие: а) – ; б) – и .

Представим для анализа отклика на выходе входное воздействие как сумму двух частичных входных воздействий, действующих поочерёдно (рис. 8, б) с использованием теоремы наложения

,

,

,

или

.

Частичные отклики можно найти с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов. Поскольку начальные условия в задании нулевые и известна операторная характеристика передачи, воспользуемся операторным методом анализа переходных процессов.

Операторные отклики на оба частичных воздействия равны произведению операторного коэффициента передачи цепи и соответственно изображений неединичных скачков и по Лапласу:

;

.

Таким образом, оригинал отклика на первое частичное воздействие численно равен произведению переходной характеристики цепи на величину скачка В:

, В.

Отклик на второе частичное воздействие при мкс тождественно равен нулю, так реакция цепи не может опережать по времени внешнее воздействие на цепь.

При мкс отклик на неединичный скачок будет равен произведению сдвинутой по времени на переходной характеристики на высоту скачка -6 В:

, В.

Окончательное выражение реакции цепи на заданное воздействие будет иметь вид

Упростив, получаем:

График отклика приведён на рисунке 9.

Рис. 9. Отклик на заданное воздействие

Переходные процессы в цепи при заданном воздействии практически заканчивается за время ,где для рассматриваемого случая мкс, т.е. мкс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Комплексные полюсы операторного коэффициента передачи с нулевой действительной частью указывают на апериодический затухающий характер переходных процессов в цепи.

Переходная характеристика является апериодической функцией. Предельные соотношения для изображения и оригинала выполнены:

Импульсная характеристика также является апериодической функцией, стремясь при t→¥ к нулю.

Переходные процессы в цепи при заданном воздействии практически заканчиваются за время мкс.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов – 4-ое изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 575 с. с ил.

2. Бирюков В.Н., Дедюлин К.А., Методическое пособие №1036. Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу Основы теории цепей, Таганрог, 1996, 36 с.

Дата добавления: 2015-08-29