Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Радиотехнический факультет

Кафедра электротехники

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к домашней работе на тему:

«Расчет сложной электрической

цепи переменного синусоидального тока»

Студент: Генералов Р.В. гр.5103

Вариант №18

Проверил: Католиков В.И.

Самара 2011

ЗАДАНИЕ

1) Рассчитать все токи в цепи, изображенной на рисунке 1, методом контурных токов, методом узловых потенциалов. Рассчитать ток в любой ветви методом эквивалентного источника.

2) Провести проверку с помощью законов Кирхгофа.

Дано:

z ₁=10-15j z ₅=25

z ₂=20 z₆ =-30j

z ₄=20j

Рисунок 1­­ ­– Схема электрическая

РЕФЕРАТ

Пояснительная записка 18с, 8 рисунков, 2 источника.

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ, МЕТОД КРАМЕРА, МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ, МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ИСТОЧНИКА, УРАВНЕНИЯ КИРХГОФА.

Объектом исследования является сложная электрическая цепь, состоящая из комплексных сопротивлений, источников ЭДС и источника тока.

Цель работы – изучить методы расчета сложных электрических цепей.

В процессе работы использованы методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного источника и уравнений Кирхгофа.

В результате работы найдены токи во всех ветвях.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….5

1.Расчет цепи методом контурных токов…………………………………..6

2.Расчет цепи методом узловых потенциалов……………………………..8

3.Расчет цепи методом эквивалентного источника……………………….11

4.Проверка по законам Кирхгофа…………………………………………15

Заключение………………………………………………………………….17

Список используемой литературы………………………………………….18

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе представлено три способа нахождения токов в ветвях сложной электрической цепи:

1) метод контурных токов

2) метод узловых потенциалов

3) меток эквивалентного источника

Затем произведена проверка полученных значений токов с помощью уравнений Кирхгофа.

1.РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ

По известным данным вычислим действующее значение синусоидальной функции F _действ= [1]

E ₁= () В

E ₃= =3jВ

J ₅= =-2jВ

Пользуясь схемой на рисунке 2, составим систему уравнений контурных токов (1) [1].

Рисунок 2 – Схема электрическая для расчета контурных токов

I ₁₁∙ (z ₄+ z ₆) + I ₂₂∙ (- z ₆) + I ₃₃ (- z ₄) + I ­₄₄∙0= E ₃

I ₁₁∙ (-z ₆) + I ₂₂∙ (z ₂+ z ₅+ z ₆) + I ₃₃ ∙(- z ₅) + I ­₄₄∙ (- z ₅) =0

I ₁₁∙ (- z ₄) + I ₂₂∙ (- z ₅) + I ₃₃ ∙(z ₁+ z ₄+ z ₅) + I ­₄₄∙ z ₅= E ₁

(1)

Так как в четвертом контуре поток тока вызывает только источник тока J₅ , то ток I₄₄= J₅=-2j. Подставив числовые значения в систему один, получим систему (2):

I ₁₁∙ (20-30j) + I ₂₂∙ (30j) + I ₃₃ (-20j) =3j

I ₁₁∙ (30j) + I ₂₂∙ (20+25-30j) + I ₃₃ ∙ (-25) -2j∙ (-25) =0

I ₁₁∙ (-20j) + I ₂₂∙ (-25) + I ₃₃ ∙ (10-15j+20j+25) -2j∙25=6

(2)

Упростим систему (2) и получим систему (3):

I ₁₁∙ (-10j) + I ₂₂∙ (30j) + I ₃₃ (-20j) =3j

I ₁₁∙ (30j) + I ₂₂∙ (45-30j) + I ₃₃ ∙ (-25) =-50j

I ₁₁∙ (-20j) + I ₂₂∙ (-25) + I ₃₃ ∙ (35+5j) =6+50j

(3)

Решим систему приведенных уравнений (3) методом Крамера[2].

-10j(45-30j)(35+5j)+25∙20j∙30j∙2-(20j∙20j(45- -30j)-25∙25∙10j+30j∙30j(35+5j))=-10j(1725-825j)-30000-(-400∙(45-30j)-6250j- -900∙(35+5j))=-8250-17250-30000-(-18000+12000j-6250j-31500-4500j)= =11250-18500j

3j∙(45-30j)(35+5j)-25∙6∙30j-50j∙20j∙25- -(-20j(45-30j)(6+50j)+25∙25∙3j-50j∙30j(35+5j))= –28930+26700j

-10j(-50j)(35+5j)+25∙20j∙3j-(6+50j)∙30j∙20j- -((-20j)(-50j)(-20j)+25∙10j(6+50j)+3j∙30j(35+5j)=250+6450j

-10j∙ (6+50j) (45-30j) +50j∙30j∙20j-25∙30j∙3j-

- ((-20j) (-50j) (-20j) +25∙ (6+50j) ∙10j+3j∙30j∙ (35+5j)) =13150-900j

Находим токи I ₁₁, I ₂₂, I ₃₃:

I ₁₁=

) А

I ₂₂=

I ₃₃= )А

Так как ток I ₁ и I ₂ возбуждается только током I ₃₃ и I ₂₂ соответственно, то

I ₁= I ₃₃= ) А

I ₂= I ₂₂= () А

Из схемы на рисунке 2 видно, что I ₄= I ₁₁- I ₃₃, так как возбуждается двумя токами I ₁₁, I ₃₃, I ₅=- I ₂₂+ J ₅+ I ₃₃, так как возбуждается тремя токами I ₂₂, J ₅ и I ₃₃, I ₆= I ₁₁- I ₂₂, так как возбуждается двумя токами I ₁₁ и I ₂₂. По первому закону Кирхгофа[1] для узла b следует что, I ₃=- I ₆- I _2, так как сумма токов в узле равна нулю.

I ₄= I ₁₁– I ₃₃=(–2, 0989-0.9982j) А

I ₅= – I ₂₂+ J ₅+ I ₃₃=(0.5996–1.6673j) А

I ₆= I ₁₁– I ₂₂=(–1.4993–0.6655j) А

I ₃=– I ₆– I ₂=(1.7478+0.5009j) А

2.РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Пользуясь методом узловых потенциалов [1] по схеме изображенной на рисунке 3 составим систему уравнений (5):

φ ₁∙ () + φ ₂∙ () + φ ₃∙ () = J ₅+

φ ₁∙ () + φ ₂∙ () + φ ₃∙ () = – J ₅

(5)

Рисунок 3–Схема для метода узловых потенциалов

Так как потенциал φ ₀=0, тогда φ ₂= – E ₃= (–3j)В. Подставив численные значения, решив полученную систему уравнений с помощью функций Given/Find (пакет «Mathcad 14»)(Рисунок 4) и преобразовав дроби в десятичные числа получим:

φ ₁= (–4.971+0.293j) В

φ ₃= (–19.961+41.976j) В

Рисунок 4–Решение уравнений в пакете «Mathcad 14»

На схеме (рисунок 3) видно, что по закону Ома I ₁ = , I ₂= , I ₃= – I ₆ – I ₂ , I ₄ = – – , I ₅ = , I ₆ = . Подставив все численные значения, получим (все математические расчеты делаем в пакете «Mathcad 14»):

I ₁= ) А

I ₂= () А

I ₄= (–2, 0989–0.9982j) А

I ₅=(0.5996–1.6673j) А

I ₆= (–1.4993-0.6655j) А

I ₃=(1.7478+0.5009j) А

3.РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ИСТОЧНИКА

Для схемы, изображенной на рисунке 5, выберем направления обходов и направления контурных токов.

Рисунок 5–Схема цепи для метода эквивалентного источника

Составим систему уравнений (6) по методу контурных токов[1] для схемы на рисунке 6:

I ₁₁∙ (z ₆+ z ₄) + I ₂₂∙ (– z₄) + I ₃₃∙0= E ₃

I ₁₁∙ (- z ₄) + I ₂₂∙ (z ₁+ z ₄+ z ₅) + I ₃₃∙ (z ₅) = E ₁

(6)

Так как в третьем контуре поток тока вызывает только источник J ₅, то I ₃₃= J ₅= –2j. Подставив числовые значения в систему (6) получим систему (7):

I ₁₁∙ (20j-30j) + I ₂₂∙ (-20j) =3j

I ₁₁∙ (-20j) + I ₂₂∙ (10-15j+20j+25) –2j∙25=6

Решаем систему методами сложения и подстановки:

I ₁₁∙ (-10j) + I ₂₂∙ (-20j) =3j

I ₁₁∙ (-20j) + I ₂₂∙ (35+5j) =6+50j

Умножим верхнее уравнение системы на (-2):

I ₁₁∙ (20j) + I ₂₂∙ (40j) =-6j

I ₁₁∙ (-20j) + I ₂₂∙ (35+5j) =6+50j

Сложим верхнее и нижнее уравнения и подставим в нижнее:

I ₂₂∙ (35+45j) =6+44j

I ₁₁∙ (-20j) + (0, 6738+0, 3908) (35+5j) =6+50j

I ₂₂= 0.6738+0.3908j

I ₁₁∙ (-20j) + 21,629+17.047j =6+50j

I ₂₂= 0.6738+0.3908j

I ₁₁∙ (-20j) = –15.629+32.953j

I ₁₁= –1.6477–0.7814j

I ₂₂= 0.6738+0.3908j

Из схемы на рисунке 5 видно, что I ₆= I ₁₁, так как возбуждается только током I ₁₁ ,

I ­₅= I ₂₂+ J ₅.

I ­₅= (0.6738–1.6092j) А

I ₆=(–1.6477–0.7814j) А

Найдем напряжение по закону Ома для участка цепи[1]:

U ₅= I ₅∙ z ₅=25∙ (0.6738–1.6092j) = (16.845–40.23j) В

U ₆= I ₆∙ z ₆= (–30j) ∙ (–1.6477–0.7814j) = (–23.445+49.431j) В

Найдем E _эк.

E _эк = U ₅+ U ₆= (16.845–40.23j) + (–1.6477–0.7814j) =(–6.6+9.201j) В

Пользуясь схемой на рисунке 6, рассчитаем z _эк.

Рисунок 6–Эквивалентная схема для нахождения z _эк

z _эк =

Подставив численные значения, получим:

z _эк= ) Ом

Составим эквивалентную схему цепи (рисунок 6)

E _эк

z _эк

a

в

Z ₂

I ₂

Рисунок 7–Эквивалентная схема цепи для нахождения тока

Пользуясь схемой на рисунке 6, найдём ток I ₂ по закону Ома [1]

I ₂=

Подставив численные значения, получим

I ₂= ) А

4.ПРОВЕРКА ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА

По схеме на рисунке 8 составим по первому закону Кирхгофа [1] уравнение для узла a

Рисунок 8–Схема для проверки по законам Кирхгофа

I ₁– I ₂– I ₅+ J ₅=0

0

0=0–верное равенство

Аналогично составим уравнения для узлов b и d соответственно

I ₂+ I ₆+ I ₃=0

–1.4993-0.6655j+1.7478+0.5009j=–2.6863∙10^-5+4.4714j∙10^-5

–2.6863∙10^-5+4.4714j∙10^-5 0

верное равенство

– J ₅+ I ₅+ I ₄– I ₆=0

2j+0.5996–1.6673j–2,0989–0.9982j+1.4993+0.6655j=9.9893∙10^-5+1.4871j∙10^-4

9.9893∙10^-5+1.4871j∙10^-4 0

верное равенство

Проверка по второму закону Кирхгофа [1]

Второй закон Кирхгофа для контуров

Первый контур

I ₁ z ₁+ I ₅ z ₅– I ₄ z ₄= E ₁

0.5996–1.6673j –((–2, 0989–0.9982j)20j)=6

10.9705-0.2929j+14.99-41.6831j–19.9605+41.976j=6

6=6

верное равенство

Второй контур

I ₄ z ₄+ I ₆ z ₆= E ₃

(–2, 0989–0.9982j) 20j+ ((–1.4993-0.6655j) (-30j)) =3j

19.9605-41.976j–19.965+44.979j=3j

-4.4614∙10^-4+3.003j

верное равенство

Третий контур

I ₂ z ₂– I ₆ z ₆– I ₅ z ₅=0

() ∙20–((–1.4993-0.6655j) (-30j)) ­–25∙ (0.5996–1.6673j) =0

-4.97+3.292j–(–19.965+44.979j)–(14.99–41.682j) =0

5∙10^-4–4.5j∙10^-4

верное равенство

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы мы посчитали токи в сложной электрической цепи разными методами, у нас получились одинаковые значения токов, сделали проверку по законам Кирхгофа, уравнения преобразовались в тождества, а это значит, что цепь рассчитана правильно.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат, 1989.–528с.

2. Зубрина Л.Г., Поникарова Н.Ю., Храмова Ю.Н. Линейная алгебра с приложениями к аналитической геометрии: Учеб.пособие / Самар. Гос аэрокосм. ун-т. Самара, 2004. 100с.

Дата добавления: 2015-08-29