На практике для описания тенденций развития широко используют модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени. Прогнозирование на основе кривых роста базируется на экстраполяции.

Введение

На практике для описания тенденций развития широко используют модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени. Прогнозирование на основе кривых роста базируется на экстраполяции. При этом предполагается, что во временном ряду присутствует тренд, моделирование которого позволит провести прогнозирование.

Вместе с тем, при анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по периодам: месяцам, кварталам и др. Наличие сезонности усложняет процесс моделирования социально-экономических явлений. Применяется несколько методов анализа сезонности и ее учета при построении трендов. Одним из них является метод фиктивных переменных. Его рассмотрению и посвящена работа.

Цель работы – рассмотреть использование метода фиктивных переменных для анализа сезонных колебаний временных рядов.

Исходя из цели поставлены следующие задачи:

1.Проанализировать содержание понятия сезонности.

2. Проанализировать понятие фиктивной переменной и показать ее значение для изучения сезонных колебаний.

3.Рассмотреть сущность метода фиктивных переменных, применяемого для моделирования сезонных колебаний временных рядов.

4.Выявить достоинства и недостатки метода фиктивных переменных, применяемого для моделирования сезонных колебаний временных рядов.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Основные положения иллюстрированы таблицами и графиками.

Глава 1. Теоретические аспекты анализа и моделирования сезонных колебаний временных рядов

1.1.Понятие сезонности

Сезонные колебания [seasonal fluctuations] — сезонная компонента временного ряда, накладываемая часто на основную тенденцию, тренд. Строго говоря, определение “сезонные” не вполне точное, поскольку имеются в виду периодические колебания экономических показателей, необязательно связанные с природно-климатическими условиями (они могут объясняться также техническими, экономическими, культурными факторами).

Сезонная компонента определяет короткопериодические колебания, связанные именно с изменениями внутригодовой активности и повторяющиеся через более или менее фиксированные моменты времени; отслежены они могут быть при ежеквартальных, ежемесячных и более частых наблюдениях. Естественно связать сезонную компоненту с влиянием традиций (сезонные и рождественские распродажи), социальных привычек (высокая активность в курортном бизнесе в летнее время и существование «мертвых сезонов» в иные периоды), религиозных факторов (рождественские и пасхальные поездки к родственникам или друзьям в христианских странах, продажи пищевых продуктов и общественное питание во время праздников и др.).

Временные ряды с интервалом меньше года очень часто содержат эффект сезонности. Под сезонностью понимают систематически повторяющиеся колебания показателей, обусловленные особенностями производственных условий в определенный период времени. Сезонные эффекты имеют регулярный характер.

Исследования периодических колебаний в экономике уходят корнями далеко в прошлое. Еще К. Жюгляр (1819—1905) при изучении экономических временных рядов с целью выделения бизнес-циклов установил цикличность инвестиций (период цикла — 7—11 лет). Позднее этой проблематикой занимались С. Китчин, С. Кузнец, Н. Кондратьев. Были выявлены циклы в обновлении оборотных средств (период 3—5 лет), циклы в строительстве (период 15—20 лет), большие «волны Кондратьева».

В 20-х гг. XX в. начали развиваться исследования, связанные с изучением сезонных колебаний в различных секторах народного хозяйства, отраслях промышленности. При создании Гарвардского барометра под руководством У. Персонса и У. Митчела рассчитывались три производных временных ряда, отражающих динамику развития фондового рынка, товарного и денежного, рассматривались взаимосвязи в их развитии. При этом в статистически обрабатываемых временных рядах исключалась тенденция, периодическая компонента, проводился всесторонний анализ колебаний.

Успех Гарвардского барометра способствовал развитию этого направления в других странах. Однако впоследствии Е. Слуцкий в своей работе «Сложение случайных причин как источник циклических процессов» показал возможность имитации действительной периодичности с помощью скользящих средних. Эта работа косвенно подвергла сомнению периодические закономерности, выявленные с помощью экономических барометров, а также в ряде других исследований.

Потребности экономической практики послужили мощным стимулом к совершенствованию статистической методологии в области выявления, измерения, моделирования и прогнозирования сезонных колебаний. В настоящее время при описании и прогнозировании тренд-сезонных процессов используются подходы, связанные с применением индексов сезонности в сочетании с кривыми роста, процедуры, опирающиеся на широкий спектр адаптивных моделей, сезонный вариант модели ARIMA и др., а также разрабатываются специализированные подходы, учитывающие специфику конкретных временных рядов.

Остановимся более подробно на методологических вопросах расчета сезонной составляющей. Очевидно, что процедуры расчета зависят от принятой модели временного ряда, содержащей сезонность в аддитивной или мультипликативной форме. При этом для аддитивной модели характеристики сезонности будут измеряться в абсолютных величинах, а для мультипликативной — в относительных.

Для учета сезонных колебаний применяются метод простых средних (в случаях постоянства общей тенденции), метод скользящей средней, которым элиминируется тренд (когда сезонные колебания “правильны”, т. е. взаимно погашают друг друга на интервале сглаживания временного ряда), и другие, более сложные методы. Одним из них является метод фиктивных переменных.

1.2. Понятие фиктивной переменной и ее значение для изучения сезонных колебаний

В большинстве случаев независимые переменные в регрессионных моделях имеют непрерывные области изменения. Однако теория не накладывает никаких ограничений на характер коэффициентов регрессии, в частности, некоторые переменные могут принимать всего два значения или в более общей ситуации — множество дискретных значений.

Фиктивная переменная [dummy variable] — в эконометрике переменная модели, полученная путем преобразования (напр., с помощью балльных оценок) информации, содержащей качественные и другие, не поддающиеся числовой оценке величины. Фиктивные переменные используются как простое средство для включения подобной информации в регрессионный анализ.

Например, добавление фиктивной переменной, принимающей только два значения — 0 и 1 в качестве дополнительной объясняющей переменной, часто используется при анализе сезонных колебаний.

Необходимость рассмотрения таких переменных возникает в случаях, когда возникает проблема оценки какого либо качественного признака, то есть когда факторы, вводимые в уравнение регрессии являются качественными и не измеряются по числовой шкале.

Например, при исследовании зависимости заработной платы от различных факторов может возникнуть вопрос, влияет ли на ее размер наличие у работника высшего образования; существует ли дискриминация в оплате труда женщин и мужчин. Одним из возможных решений данного примера является оценка отдельных регрессий для каждой категории, а затем изучение различий между ними.

Другой подход состоит в оценке единой регрессии с использованием всей совокупности наблюдений и измерений степени влияния качественного фактора посредством введения фиктивной переменной. Она является равноправной переменной наряду с другими переменными моделями. Ее фиктивность заключается лишь в том, что она количественным образом описывает качественный признак.

Второй подход обладает следующими преимуществами: 1) это простой способ проверки, является ли воздействие качественного признака значимым; 2) при условии выполнения определенных предположений регрессионной оценки оказывается более эффективным.

Иногда заметное воздействие на зависимость оказывает сезонный фактор. В этом случае желательно непосредственно выделить этот фактор.

Если не учитывать это воздействие, то происходит снижение эффективности оценок коэффициентов. Чтобы этого не происходило, вводятся сезонные фиктивные переменные- совокупность фиктивных переменных, предназначенная для обозначения различных лет, времен года, месяцев и т.п.

1.3. Сущность метода фиктивных переменных моделирования сезонных колебаний временных рядов

Рассмотрим особенности использования фиктивных переменных на конкретных примерах временных рядов. Так при анализе временных рядов многие исследователи предпочитают квартальные данные годовым, поскольку их будет в 4 раза больше за рассматриваемый период. Вместе с тем при этом заметное воздействие на зависимость оказывает именно сезонность. Если не учесть ее, то она вносит свой вклад в случайную компоненту u и искажает регрессионную модель.

Например, рассмотрим зависимость

y = α + βt + δ 2 D2 + δ 3 D3 + δ 4 D4 + u

Переменные D2, D3, D4 - фиктивные переменные, определяемые следующим образом:

1) D2=1, если наблюдение относится ко 2 кварталу, и нулю в остальных случаях.

2) D3=1, если наблюдение относится к 3 кварталу, и нулю в остальных случаях.

3) D4=1, если наблюдение относится к 4 кварталу, и нулю в остальных случаях.

Коэффициенты δ2, δ3, δ4 дают численную величину эффекта, вызываемого сменой сезонов.

Коэффициент δ2 показывает отклонение объясняемой переменной во 2 квартале относительно 1 квартала, связанное с сезонностью. По аналогии δ3 и δ4 показывают соответствующие отклонения во 3 и 4 кварталах относительно 1 квартала. Все эти сдвиги даются относительно 1 квартала, потому что он выбран в качестве эталонной категории. Таким образом, можем показать распределение значений фиктивных переменных в следующей таблице 1.

Таблица 1. Распределение значений фиктивных переменных

Квартал

D2

D3

D4

Модели для каждого квартала имеют вид:

Для 1 квартал - = α + βt,

Для 2 квартал - = α + βt+ δ2

Для 3 квартал - = α + βt + δ3

Для 4 квартал - = α + βt + δ4

Усредняя четыре полученных уравнения, получим усредненную линию

= α + βt+ δ2+ δ3+ δ4

Расстояние между определенной линией регрессии и усредненной линией, которое представлено разностью значений постоянного члена в уравнении регрессий, дает оценку сезонных отклонений в рассматриваемом квартале. Она составляет для 1 квартала α − α, для 2 квартала α + δ 2 − α, для 3 квартала α + δ 3 − α, для 4 квартала α + δ 4 − α. Сумма сезонных отклонений должна быть равна 0.

4α − 4α − δ 2 − δ 3 − δ 4 + δ 2 + δ 3 + δ 4 = 0.

Выбор эталонной категории не оказывает воздействия на сущность уравнений регрессии. Сам выбор определяет форму представления коэффициента регрессии.

Пусть в нашем примере выбрана эталонная категория для второго квартала. Тогда вводим новую фиктивную переменную D1 = 1, если наблюдение относится к 1 кварталу, и 0 иначе и опустим переменную D2, т.к. фиктивная переменная для эталонной категории не включается в уравнение регрессии. Переменные D3 и D4 включаются в уравнение с теми же определениями, что и раньше. Получим

= α + βt + δ1 D1 + δ 3 D3 + δ 4 D4 + u

Положим D1 = D2 = D3 = 0 и получим вариант уравнения для 1 квартала:

= α + βt + δ 1 = α + δ 1 + βt

Но интерпретация коэффициентов регрессии при введении новой эталонной переменной будет уже иной.

Например, для уравнения = α + βt + δ 2 D2 + δ 3 D3 + δ 4 D4 + u коэффициент δ 3 оценивает отклонение в третьем и первом кварталах.

В уравнении = α + βt + δ1D1 + δ 3 D3 + δ 4 D4 + u коэффициент δ 3 есть разность показателей в 3-ем и 2-ом кварталах.

Если включить в уравнение фиктивную переменную для эталонной категории, то возникает ряд проблем:

1. Если бы было возможно вычислить коэффициент регрессии, то им невозможно дать интерпретацию.

2. Фактически станет невозможной процедура вычисление коэффициентов уравнений регрессии.

Укажем еще одну особенность использования фиктивных переменных при анализе сезонных колебаний.

В модели с фиктивными переменными коэффициент R ² часто бывает очень малым, а значения t-статистики незначимо отличаются от 0 для фиктивных переменных. Это не является поводом для выбрасывания фиктивных переменных из модели - чаще всего они описывают небольшие, но важные поправки к главной (нефиктивной) объясняющей переменной.

Если бы в модель со свободным членом были включены четыре фиктивные переменные, то в матрице исходных наблюдений X (она может быть построена на основе таблицы 1) сумма столбцов, соответствующих этим дихотомическим переменным, была бы равна первому единичному столбцу, соответствующему свободному члену в уравнении. Такая ситуация в эконометрических исследованиях получила название dummy trap, или ловушки. При этом существовала бы линейная зависимость между столбцами, следовательно, ранг матрицы X был бы меньше числа оцениваемых параметров, а матрица X'X — вырожденной. В результате оценивание параметров модели с помощью метода наименьших квадратов было бы невозможным. Причем в результате ошибок округления в программных расчетах определитель матрицы X'X может оказаться отличным от нуля, и вычисления будут выполнены. Однако полученные оценки не будут соответствовать реальным экономическим процессам.

Глава 2. Примеры моделирования сезонных колебаний временного ряда с использованием фиктивных переменных

2.1.Построение регрессионной модели сезонных колебаний на основе использования фиктивных переменных

Рассмотрим конкретный пример моделирования сезонных колебаний с использованием фиктивных переменных.

В таблице 2 представлены данные о расходах граждан США на газ и электроэнергию.

Таблица 2. Расходы потребителей на газ и электричество в США (млрд. долл., в постоянных ценах 1991 г.; без сезонной поправки)

	I	7,33		I	7,96		I	8,04
	II	4,7		II	5,01		II	5,27
	III	5,1		III	5,05		III	5,51
	IV	5,46		IV	5,59		IV	6,04
	I	7,65		I	7,74		I	8,26
	II	4,92		II	5,01		II	5,51
	III	5,15		III	5,67		III	5,41
	IV	5,55		IV	5,93		IV	5,83

МЛРД.

Долл.

Построим график на основе представленных данных, он представлен на рис.1.

Рисунок 1 – График сезонных колебаний потребления газа и электроэнергии жителями США в 1997-2002 гг.

Графический анализ компонентного состава временного ряда свидетельствует о наличии сезонности и случайной составляющей. Сезонные колебания демонстрируют периодические подъемы в I и IV кварталах (зимне-осенний сезон) и спады во II и IIIкварталах (весенне-летний сезон). Визуальный анализ динамики показателя позволяет предположить, что тренд может быть описан линейной моделью, а сезонность носит аддитивный характер.

Произвольно возьмем I квартал года в качестве эталонной категории и будем использовать фиктивные переменные для оценки разницы между ним и другими кварталами.

Запишем модель как y=α+βt+δ2D2 +δ3 D3 +δ4 D4₄+u

где D2, D3 и,D4 - фиктивные переменные:

D2=1, когда наблюдение относится ко II кварталу, и нулю в остальных случаях;

D3 =1 в III квартале и нулю в остальных случаях;

D4 =1 в IV квартале и нулю в остальных случаях.

Отметим, что не вводится четвертая фиктивная переменная D1, относящаяся к первому кварталу, иначе для любого квартала выполнялось бы тождество D1 + D2 + D3 + D4 = 1, что означало бы линейную зависимость объясняющих переменных и, как следствие, полную коллинеарность. Такая ситуация называется ловушкой dummy trap- выбором такой совокупности фиктивных переменных, у которой сумма этих переменных тождественно равна константе

Величины δ2, δ3 и δ4 — коэффициенты при фиктивных переменных; они дают численную величину эффекта, вызываемого сменой сезонов. Коэффициент δ2 показывает дополнительное потребление газа и электричества во II квартале относительно I квартала. δ3 и δ4 показывают соответствующие дополнительные количества в III и IV кварталах относительно I квартала.

Все эти "сдвиги" даются относительно I квартала, потому что он выбран в качестве эталонной категории.

Полная совокупность наблюдений за расходами на газ и электричество, данные о времени и фиктивные переменные приведены в таблице.

y	t	D2	D3	D4	y	t	D2	D3	D4
7,33					7,74
4,7					5,01
5,1					5,67
5,46					5,93
7,65					8,04
4,92					5,27
5,15					5,51
5,55					6,04
7,96					8,26
5,01					5,51
5,05					5,41
5,59					5,83

На основе представленных данных строим уравнение регрессии при помощи пакета Excel.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,99304
R-квадрат	0,98613
Нормированный R-квадрат	0,98321
Стандартная ошибка	0,1481
Наблюдения

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	7,48409	0,0776224	96,41661784
Переменная X 1	0,03145	0,004425342	7,10598825
Переменная X 2	-2,7914	0,085620172	-32,60267261
Переменная X 3	-2,5779	0,085962578	-29,98854764
Переменная X 4	-2,191	0,086530243	-25,32069558

Оценив регрессионную зависимость расходов от времени и фиктивных переменных, получаем:

у = 7,50 + 0,03t - 2,79 D2 - 2,58D3 - 2,19D4;

с.о.(0,08) (0,004) (0,09) (0,09) (0,09)

Под уравнением приведены статистические характеристики, свидетельствующие о значимости уравнения и его коэффициентов. Имеет место высокий коэффициент детерминации R²=0,9861.

Переход из одного квартала в другой отражается лишь в изменении свободного члена регрессионного уравнения и не касается значения параметра, определяющего угол наклона линейного тренда и характеризующего средний абсолютный прирост уровней ряда под воздействием тенденции.

Запишем четыре регрессионных уравнения, характеризующих динамику уровней ряда для различных кварталов:

Если D2=0; D3=0; D4=0 получаем уравнение для первого квартала.

Если D2=1; D3=0; D4=0 получаем уравнение для второго квартала.

Если D2=0; D3=1; D4=0 получаем уравнение для третьего квартала.

Если D2=0; D3=0; D4=1 получаем уравнение для четвертого квартала.

Из этого результата выводим отдельные уравнения для каждого квартала:

Усредняя получаем

Расстояние между линией регрессии для любого квартала и усредненной линией, которое представлено разностью значений постоянного члена в уравнении регрессии, дает оценку сезонных отклонений в этом квартале.

Она составляет:

для 1 квартала: 7,50 - 5,61 = 1,89,

для II квартала: 4,72 - 5,61 = -0,89;

для III квартала: 4,92 - 5.61 = -0,69

для IV квартала 5,31 - 5,61 = -0,30

Сумма сезонных отклонений должна равняться нулю, и в данном случае это действительно так.

Несмотря на хорошее «качество» построенной модели на ретроспективном участке, она оказалось не совсем пригодной для целей прогнозирования. Это объяснялось инерционным характером модели кривой роста, использованной для описания трендовой составляющей. Однако выявленные особенности сезонных колебаний сохранились и в последующей динамике анализируемого ряда.

В рассмотренном примере предполагалась неизменность во времени сезонных эффектов, что не всегда соответствует реальной динамике экономических процессов. Более гибкие методы оценивания сезонности будут рассмотрены в следующих разделах.

2.1.Недостатки метода фиктивных переменных для моделирования сезонных эффектов

В ряде случаев наблюдается хорошее качество построенных моделей с использованием фиктивных переменных на ретроспективном участке.

Вместе с тем они оказываются не совсем пригодными для целей прогнозирования. Это объясняется инерционным характером модели.

Например, моделирование сезонных колебаний ряда среднесуточного производства электроэнергии в Российской Федерации с помощью фиктивных переменных имеет вид, представленный на рисунке 2.

Рисунок.2 - Моделирование сезонных колебаний ряда среднесуточного производства электроэнергии в Российской Федерации с помощью фиктивных переменных

Здесь У –фактический уровень; У1,У2,У3,У4 – модели для уровней производства в различных кварталах. Усредненная модель показывает постоянное снижение среднесуточного производства электроэнергии в Российской Федерации. Вместе с тем, статистические данные свидетельствуют о том, что следующий год (1999 г.) оказался переломным для производства электроэнергии, завершилось падение производства, начался подъем. Однако в нашей модели выявленные особенности сезонных колебаний сохранились и в последующей динамике анализируемого ряда.

В рассмотренных примерах предполагалась неизменность во времени сезонных эффектов, что не всегда соответствует реальной динамике экономических процессов.

Таким образом при использовании традиционных подходов и методов для прогнозирования важнейших экономических показателей на макро-, мезо- и микроуровнях часто выдвигается гипотеза о том, что основные тенденции и факторы, выявленные на предыстории, сохранятся и для периода упреждения (на прогнозируемом периоде.) Таким образом, процесс экстраполяции выявленных закономерностей, тенденций базируется на предположении об инерционности анализируемых экономических систем.

В последнее время в процессе коренных социально-экономических преобразований в России подвижность этих систем возрастает. Возрастает быстрота реакции на конъюнктуру внешнего и внутреннего рынка, на правительственные решения, на новые социально-экономические условия. Даже наиболее инерционные макроэкономические характеристики становятся более подвижными. В связи с этим для прогнозирования таких сложных процессов требуется гибкий и современный статистический инструментарий.

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов считаются адаптивные методы.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, так как необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем в течение всего рассматриваемого периода. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда.

Метод фиктивных переменных не является адаптивным методом прогнозирования, что значительно снижает его ценность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены особенности использования метода фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний временных рядов.

Показана необходимость учета сезонной компоненты в процессе построения регрессионных моделей. На базе конкретного примера рассмотрены особенности применения метода фиктивных переменных.

В работе показаны недостатки метода в целях долгосрочного прогнозирования и обоснована необходимость применения более мощных адаптивных методов.

Список литературы

1. Айвазян С.А., Иванова С.С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие / С.А. Айвазян, С.С. Иванова. – М.: Маркет ДС, 2007. – 104 с.

2. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. – Мн.: БГУ, 2000. – 354 с.

3. Бывшев В.А. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 480 с.

4. Доугерти Кристофер. Введение в эконометрику: Учебник для экон. спец. вузов / Пер. с англ. Е.Н. Лукаш и др. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402 с.

5. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 352 с.

6. Дуброва Т.А. Прогнозирование социально–экономических процессов. Статистические методы и модели: учеб. пособие / Т.А. Дуброва. – М.: Маркет ДС, 2007. – 192 с.

7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело, 2000.- 400 с.

8. Методы математической статистики в обработке экономической информации: учеб. пособие / Т.Т. Цымбаленко, А.Н. Баудаков, О.С. Цымбаленко и др.; под ред. проф. Т.Т. Цымбаленко. – М.: Финансы и статистика; Ставрополь: АРГУС, 2007. – 200 с.

9. Палий И.А. Прикладная статистика: Учебное пособие. – М.: Издательско–торговая корпорация "Дашков и К", 2008. – 224 с.

10. Порядина О.В. Эконометрическое моделирование линейных уравнений регрессии: Учебное пособие. – Йошкар–Ола: МарГТУ, 2005. – 92 с.

11. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – 2–е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 344 с.

12. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. 2–у изд., испр. – Т. 2: Айвазян С.А. Основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2001. – 432 с.

13. Симчера В.М. Методы многомерного анализа статистических данных: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 400 с.

14. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов: учеб. пособие / Е.П. Чураков. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 208 с.

15. Эконометрика: учеб. / под ред. д–ра экон. наук, проф. В.С. Мхитаряна. – М.: Проспект, 2008. – 384 с.

16. Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Проспект, 2009. – 288 с.

17. Эконометрика: Учебник/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др., Под ред. И.И. Елисеевой. – 2–е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с.

Дата добавления: 2015-08-29