1 Вариант 1. ЛПР - человек или группа лиц, которые фактически осуществляют выбор того или иного решения и несут всю полноту ответственности за принятое ими решение 2. многокритериальные Операции, характеризующиеся не одним, а сразу несколькими критериями. Необходимыми для составления многокритериальной операции считаются: множество допустимых решений, множество критериев, сведения о предпочтениях ЛПР.Пример: желание купить товар и покачественнее, и подешевле 3. -Построение модели-решение модели (получение результатов) - установление адекватности (насколько отражает реальность)- а)если модель адекватна, то можно проводить моделирование (этап 4)б)если неадекватна, то необходимо вернуться в начало и пересмотреть модель матмоделирование (реальная операция исследуется с помощью построенной адекватной модели,определяются наилучшие решения по управлению операцией) - принятие решения ЛПР (полученные рез-ты предъявляются ЛПР и он принимает окончательное решение).
Вид ресурса ви Вид ресурса | рарасрас расход ресурса при пр-ве ед. продукции. | |
А А | В В | |
111 111 | 15 15 | 3 3 |
21 2 | 4 4 | 18 18 |
Ден средства ден. С-ва | 10 10 | 12 12 |
4.др-лин прогр..На пр-во прод. А и В комп намеревается затрачивать не менее 50 и 64 матер. Ресурсов 1 и 2, ден средства не превыш. 100. прибыль от реализ ед. А и В – 5 и 8.
вводим переменные х1 и х2 – кол-во продукции А и В кот надо изготовить по оптим. Плану произвоства.
F = (рентабельность) = (прибыль от пр-ва и реализ продукции = 5х1+8х2)/(затраты на пр-во продукции. 10х1+12х2) ->max
Ограничения: 15x1+3х2 >=50, 4x1+18x2>=64, 10x1+12x2<=100, 5x1+8x2 не равно 0, x1,x2>=0
Критерии: себестоимость прод = затр на пр-во / объем произв продукции -> min
Рентабельность = прибыль от пр-ва и реализ. / затр на пр-во продукции. -> max.Показывает прибыльность
Производительность труда = объем вып. Работы/время на вып. Работы. -> max
Эффективность пр-ва = объем выпущ. продукции/затраты на пр-во продукции ->max
5.произв. ф-ия – зависимость объема продукции от объема ресурсов.
6.природа – объективно сущ. Условия, в кот. Будут реализованы принятые данным ЛПР решения в будущем.
7.модель Леонтьева в матричном виде.
объем продукта хi, выпускаемого iой отраслью(валовый выпуск)
– объем продукта iой отрасли, который поступает в каждую jую отрасль(хij) и затрачиваются там на производство продукта(производственное потребление)
– объем продукта(уi), направляемого iой отраслью на непроизводственное потребление (= конечный спрос, конечное потребление или конечный продукт)– в продажу населению, на экспорт, инвестиции;
(Объем продукта, выпускаемого отраслью i) = (Суммарный объем продукта, поступающий во все n отраслей, в том числе оставляемый в отрасли i)+(Объем продукта, поступающий на производственное потребление)
Где «а» - это объем продукции, производимой в iой отрасли и затрачиваемой на производство единицы продукции в jой отрасли. Тогда j=хj, то Xij=аij*хj
Коэффициент аij – коэффициент прямых материальных затрат. Не изменяется во времени в течении рассматриваемого временного промежутка.
X=AX+Y
Режим работы экономической производственной системы, при котором каждая отрасль выпускает продукта больше, чем ее затрачивается на производстве продукции во всех отраслях, называется продуктивным.
Признаки:
Матрица будет продуктивной только если система уравнений модели Леонтьева Х=А*Х+У имеет неотрицательное решение Х>=0 (хi>= 0,i=1, 2, …, n) для положительного вектора конечного спроса Y>0.
Модель Леонтьева X=A*X+Y позволяет рассчитать валовые объемы продукции Х отраслей для заданного вектора конечного спроса Y (E – единичная диагональ матрицы) по матричному выражению:
X=((E-A)^(-1))*Y=B*Y
Расчет вектора конечного спроса У для известных валовых выпусков Х: Y=(E-A)*X
Матрица В=(Е – А)^(-1) –называется матрицей полных материальных затрат(обратная от (Е-А)).
Экономический смысл элементов bij вытекает из Х=В*У =>
bij - показывает какое количество продукта xi, выпускаемого отраслью i, требуется для производства единицы прибавочного продукта отраслью j.
8. решение в условиях риска – с помощью критерия минимального ожидаемого риска.
2 вариант. 1.Цель – это образ конечного результата, достижение которого запланировано при проведении данной деятельности. Отсутствие цели делает любое действие бессмысленным, а принятие решения невозможным. Правильно сформулированная цель должна быть достаточно конкретной, реальной, гибкой, измеримой. Критерий – признак, по которому можно отличать одно решение от другого.
2. стохастические модели, модели операций в условиях полной неопределенности; Стохастическая неопред (неопределенный фактор,явление или событие может рассматриваться или трактоваться как случайный объект) Полная (факторы,характеризующиеся полной неопределенностью,нельзя рассматривать как случайные величины или случайные процессы,поэтому к ним нельзя применять методы тервера и матстата).
3. этапы построения мат. Модели - анализ изучаемой проблемы, ситуации, которую мы хотим смоделировать - структурирование проблемы (т.е., цель, управляемые и неуправляемые факторы, множество возможных решений, ограничения, критерии, лпр) - выделение наиболее существенных управл. и неуправл. Факторов -обратиться к библиотеке существующих мат. моделей. Далее:
a. если такая модель существует, то переходим к этапу «модель построена»
б. если такой модели не существует, то переходим к следующему этапу
-связать между собой упр. и неупр. факторы в математические конструкции, которые бы отражали причинно-следственные связи между ними
- окончательно сформулировать мат. модель
- модель построена
4. О назначениях. Факт принятия i-ого работника на j-ую должность описывается двоичной переменной xij {0 – не назначен; 1 - назначен}, существует коэффициент aij, который обозначает эффективность i-ого работника на jработе. Вместо aij может использоваться другой коэффициент, обозначающий время выполнения работы, затраты и прочее, что заставит функцию стремится к минимуму.
Целевая функция:
F = ΣΣaijxij –>max (min)
Ограничения 1 вида (каждая работа выполняется только одним работником):
Σ(i=1)xij = 1
Ограничения 2 вида (каждым работником выполняется только одна работа)
Σ(j=1)xij = 1
5. Многофакторная пФ – зависимость объема выпуск. Прод-ции от объема ресурсов.
6. модель прин. Реш. В усл. Определенности – одно состояние природы.
7. Система балансовых уравнений, устанавливает распределение национальных доходов и выручки торгующих между собой стран, при этом международная торговля бездефицитна и сбалансирована.
х1…хn– национальные доходы стран xij– расходы j-ой страны на покупки в i-ой Уравнение баланса – затратить можно столько денег, сколько имеется. Для каждой страны оно: xj=x1j+ x2j+ x3j+…+ xnj, разделим каждое из n уравнений баланса на xjаij = xij/xj - доля национального дохода страны j тратится на покупки в i-ой. из коэффициентов аij можно составить матрицу А, она называется структурной матрицей торговли, ее особенность в том, что сумма элементов каждого столбца 1.С другой стороны затраты одних стран - доходы других. рi= xi1 + xi2 + xi3 + …+ xin, таких равенств n, для каждой страны. xij=аijxj можно их переписать,как: рi= аi1x1 + аi2x2 + аi3x3 + …+ аiixn также их можно записать в матричном виде:
р1
р= … =Ах
рn Торговля выгодна, если выручка (р) будет не меньше затрат (х). Одновременное выполнение всех неравенств возможно только в случае равенств (р=х). Значит Ах=х – уравнение сбалансированности международной торговли. Матричное уравнение Ах=λх, где λ - собственное значение, а х - собственный вектор матрицы А. Сравнив Ах=х и Ах=λх, понимаем, что λ=1, а х – собственный вектор, вектор национальных доходов стран. Так, международная торговля будет сбалансированной, если λ=1, а х – собственный вектор, вектор национальных доходов стран. Зная матрицу А, можно также найти значения национальных доходов (вектор х).
Сначала сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Для этого введем дополнительное ограничение сверху на сумму национальных доходов величиной В:
х1+х2+х3+…+хn<= В
Тогда наша цель: х1+х2+х3+…+хnàmax
Ограничения:
х1+х2+х3+…+хn<= В
(А-Е)х=0, где Е-единичная матрица
8.решение в условиях полной неопределенности – критерий Вальда
5. Вариант 1.структурирование операции - цель, УФ и НУФ, множество возможных решений,ограничения, критерии, ЛПР.
2. мат.модель – идеализированный образ реального объекта исследования и окружающих его условий,который с той или иной степенью адекватности отражает наиболее существенные свойства и характеристики реального объекта.
моделирование – исследование реального объекта посредством замещающей его адекватной модели
3.этапы проведения моделирования
-Построение модели - решение модели (получение результатов) - установление адекватности (насколько отражает реальность)- а)если модель адекватна, то можно проводить моделирование (этап 4) б)если неадекватна, то необходимо вернуться в начало и пересмотреть модель
-матмоделирование (реальная операция исследуется с помощью построенной адекватной модели,определяются наилучшие решения по управлению операцией)
- принятие решения ЛПР (полученные рез-ты предъявляются ЛПР и он принимает окончательное решение).
4.формирование оптимального штата фирмы. 4 должности, каждая имеет свободных 5 3 6 и 4 мест. Тестирование на места: 3 группы по 7 5 и 6 чел. Стоимость обучения для работы на должности – Cij
C=Cij=12 15 8 10
5 13 7 9
8 5 14 6
Xij – кол-во претендентов из i группы на j должность.
Группа претендентов | Стоимость обучения 1 претендента на 1 долж. | В группе | |||
1 должн | 2 должн | 3 должн | 4 должн | ||
|
|
|
| |||
|
|
| ||||
|
|
|
| |||
Вакантные места
|
|
|
F = 12X11 + 15X12 + 8x13+10x14+5x21+13x22+7x23+9x24+8x31+5x32+14x33+6x34 ->min. Ограничения: X11+X12+X13+X14 =7, X21+X22+X23+X24=5, X31+X32+X33+X34=6 (никто не остается без работы); X11+X21+X31=5, X12+X22+X32=3, X13+X23+X33=6, X14+X24+X34=4 (все вакантные места должны быть заняты); Xij >=0, i = 1,2,3 j=1,2,3,4
5.произодственная ф-я в макроэкономике –f(x1,x2)=AKL?
6.дерево решений –?
7.модель опт. Планир. Пр-ва. А1 и А2-виды продукции. s1,s2,s3-виды ресурсов. х1 и х2-объемы выпускаА1 и А2. aij-затратыi-ого ресурса на j-ую продукцию. b1, b2, b3-ресурсы в наличии. с1 и с2-ожидаемая прибыль от А1 и А2. к - коэффициент интенсивности расходования ресурса при дополнительной бракованной ед. l - коэффициент интенсивности изменения прибыли при увеличении объемов производства
целевая функция: f=(с1х1+l1х1)х1+(с2х2+l2х2)х2 àmax
ограничения (3 шт.): расход ресурса i = ai1х1+кi1(х1^2)+ai2х+кi2(х2^2)<= bi
эффект масштаба – уменьшение себестоимости продукции с ростом объемов выпуска и увеличение прибыли от реализации продукции.
неравенства - эллипсы, пересечение - выпуклая область, линии уровня - расширяющиеся эллипсы
8.реш. в усл. Полной неопред с помощью критерия максиминного Вальда
7 Вариант 1) - стратегические решения (долговременные) на срок до нескольких лет (обычно до 5).
- тактические решения (среднесрочные) сроком от нескольких недель донескольких месяцев или одного года.
- оперативные решения (кратковременные) принимаются в течение дня.
2)Модель адекватная -правильно описывает моделируемою реальность
3) этапы проведения моделирования
-Построение модели - решение модели (получение результатов) - установление адекватности (насколько отражает реальность)- а)если модель адекватна, то можно проводить моделирование (этап 4) б)если неадекватна, то необходимо вернуться в начало и пересмотреть модель
-матмоделирование (реальная операция исследуется с помощью построенной адекватной модели,определяются наилучшие решения по управлению операцией)
- принятие решения ЛПР (полученные рез-ты предъявляются ЛПР и он принимает окончательное решение).
4) Ежедневный рацион питания состоит из n видов продуктов A1, A2…An, каждый их которых содержит m питательных веществ, витаминов S1, S2,…Sm. Ежедневный рацион питания должен обеспечивать содержание питательных веществ, витаминов в количествах не менее b1, b2, … bm усл. ед. Количество i-го питательного вещества Si, I = 1,2,…,m содержащегося в единице j-го продукта Аj, j = 1,2,…,n, известно и равно aij усл. ед. / усл. ед. Стоимости единицы продуктов A1, A2,..An известны и составляют c1, c2,…,cn, ден. ед.
Требуется составить такой рацион, чтобы содержание каждого питательного вещества в день было не меньше требуемого кол. и чтобы суммарная стоимость всего рациона питания была наименьшей.
Виды питательных веществ | Количество питательных веществ (усл. ед.), содержащихся в единице продукта | Мин. Необходимые кол. питательных веществ усл. ед. | |||
А1 | А2 | … | Аn | ||
S1 | а11 | a12 | … | a1n | b1 |
S2 | а21 | a22 | … | a2n | b2 |
… | … | … | … | … | … |
Sm | аm1 | am2 | … | amn | bm |
.
Переменные совпадают с управляемыми факторами и равны х1, х2, …хn, усл. ед.
Целевая функция F представляет собой суммарную стоимость всех покупаемых для рациона продуктов питания.
В ограничениях необходимо отразить получении питательных веществ не меньше требуемого минимума.
Поскольку кол. питательных веществ х1, х2, …xn не могут быть отрицательными, необходимо добавить условия
х1≥0, х2≥0, …, xn≥0
5.функция полезности Стоуна
(первое)
6) Анализ чувствительности принятого решения - вероятность изменения решения при изменении природы ( третие)
7)
ЛИНИЯ УРОВНЯ [contourline] (или линия равного уровня) — геометрическое место точек пространства аргументов, для которых значения исследуемой функции одинаковы. Это определение можно записать так:
{ x ∈ E n| F (x) = const}.
8) Реш в усл неопр -минимаксного риска (второе)
9) Метод последовательных уступок: ЛПР сначала устанавливает свои предпочтения относительно важности критериев и ранжирует их по важности, ставя на первое место самый важный критерий и на последнее – наименее важный, так что F1 > F2>,….>Fm.
8вариант 1)Упр деятельностью - воздействие на деятельность для достижения целей (второе)
1) 2)Модель объекта – это идеализированный образ реального объекта исследования и окружающих его условий, который с той или иной степенью адекватности отражает наиболее существенные свойства и характеристики реального объекта. Модель обязательно отражает цели исследования.
Моделирование – это исследование реального объекта посредством замещающей его адекватной модели.
3) Этап 1. Структурировать операцию – проанализировать операцию и четко сформулировать цели операции, определить критерии, выделить управляющие, управляемые и неуправляемые факторы, сформировать множество возможных решений и ограничения, определить ЛПР.
Этап 2. Отобрать из множества управляемых и множества неуправляемых факторов, выявленных на предыдущем этапе, только самые существенные, оказывающие самое заметное влияние на ход операции.
Этап 3. Обратиться к библиотеке существующих на сегодняшний день математических моделей и операций.
Этап 4. Здесь осуществляется условный переход. Если в библиотеке удалось найти подходящую математическую модель, то переходим к этапу 7 (по стрелке «да»), если нет, то идем дальше по порядку к 5, 6 и 7 этапу.
Этап 5. Связать между собой с помощью математических символов, понятий и конструкций все отобранные на этапе 2 управляемые и неуправляемые факторы и сформировать математические конструкции, отражающие поставленные цели, критерии, возможные решения и ограничения.
Этап 6. Окончательно сформировать математическую модель. Модель формируется как в вербальной, содержательной форме, так и в математическом виде.
Этап 7. Математическая модель построена.
она не должна быть слишком сложной.
Не должна содержать слишком сильные упрощения
Допущения и приближения, вводимые при построении математической модели, как и точность определения искомых переменных модели, не должны превышать точности задания исходных данных.
4) планирование производства Предприятие планирует выпуск n видов продукции А1, А2, …Аn, на производство которых затрачивается m видов ресурсов S1, S2,…Sm – сырьё различных видов. Предприятие располагает предельным кол. ресурсов в объёмах b1, b2,…bm усл. ед. Количество каждого вида ресурсов Si, i = 1,2,…,m, затрачиваемого на производство единицы продукции Aj, j = 1,2…,n, известно и равно aij усл. ед./ ед. прод. После изготовления продукции A1, A2,…An она поступает в продажу. Ожидаемая прибыль от реализации единицы каждого вида продукции известна и составляет c1, c2,…, cn ден. ед. / ед. прод.
Требуется определить какую продукцию и в каком объёме следует производить предприятию, что получаемая от реализации продукции прибыль была максимальной.
Виды ресурсов | Количество ресурса, затрачиваемого на производство единицы продукции усл. ед. / ед. продукции | Предельные кол. ресурсов, усл. ед. | |||
А1 | А2 | … | Аn | ||
S1 | а11 | a12 | … | a1n | b1 |
S2 | а21 | a22 | … | a2n | b2 |
… | … | … | … | … | … |
Sm | аm1 | am2 | … | amn | bm |
Цель – получение максимальной прибыли от реализации продукции
Неуправляемые факторы – заданные и неизменные в данной операции нормы расхода ресурсов, предельны1е кол. ресурсов и величины прибыли от реализации единицы всех видов продукции. Совокупность неупр. факторов определяет ограничения.
Управляемые факторы представляют собой объёмы (х1, х2, …) выпускаемой продукции n видов, а совокупность управляемых параметров х = (х1, х2,…хn), удовлетворяющих всем ограничениям – возможные ограничения. ЛПР – директор предприятия или назначенный им сотрудник.
Целевая функция F представляет собой суммарную прибыль от реализации произведённой продукции.
Её необходимо максимизировать
Ограничения отражают тот факт, что расход каждого вида ресурса, затрачиваемого на производство всех видов продукции, не может превышать его объёма, имеющегося у предприятия на складе.
Поскольку объёмы выпуска всех видов продукции х1, х2…., хn не могут быть отрицательными, необходимо добавить условия
x1≥0, х2≥0, …, xn≥0
5) функция полезности и склонность к риску потребителяопределяется видом потреб набора (третье)
6) для любой многокритериальной модели компромиссное решение зависящее от ЛПР (второе)
7) Классификация:
1)общие задачи НП
2)Выпуклые и вогнутые задачи НП
3)Выпуклые и вогнутые задачи квадратичного программирования
4)Классическая задача оптимизации или задача на условный экстремум
Локальные максимумы и минимумы – это все экстремумы, которые функция f(x) имеет на некоем отрезке [a,b], на котором она определена.
Глобальный максимум и глобальный минимум – соответственно, наибольшее и наименьшее значения из локальных максимумов и минимумов
Выпуклая функция f(x) характеризуется тем, что в области её определения (отрезок [a,b]) все точки графика функции расположены ниже соответствующей секущей или на ней, а вогнутая тем, что все её точки на области определения расположены выше соответствующей секущей или на ней.
Задача выпуклого (вогнутого) программирования – область допустимых решений, определяемая системой ограничений, представляет собой выпуклую область, а целевая функция является выпуклой (вогнутой) функцией. Выпуклая задача нелинейного программирования соответствует случаю минимизации выпуклой целевой функции на выпуклой области ОДР, а вогнутая задача – максимизации вогнутой целевой функции на выпуклой ОДР.
Графическая интерпретация допустима только для случая с двумя переменными ( F=F(x1,x2) ®max(min)-целевая). При этом целевая функция имеет вид произвольной кривой, а ограничения – область произвольного вида
Линия уровня - множество точек, координаты которых (x1,x2) удовлетворяют уравнению F(x1,x2) = a.
8) решение в условиях риска - метод максимально ожидаемого платежа (третье)
9)
3 вариант 1.структура ограничений – совокупность всех НУФ.
2. оптимизационная мат модель в общем виде: F=F(x1,x2,…,xn) ->max(min), система ограничений: g1(x1,x2,…,xn) меньш или равно, равно, или больше или равно b1; g2(x1,x2,…,xn) меньш или равно, равно, или больше или равно b2 ………………………………gm(x1,x2,…,xn) меньш или равно, равно, или больше или равно bm
Задача дробно-линейного программирования на примере.
На пр-во прод. А и В комп намеревается затрачивать не менее 50 и 64 матер. Ресурсов 1 и 2, ден средства не превыш. 100. прибыль от реализ ед. А и В – 5 и 8.
вводим переменные х1 и х2 – кол-во продукции А и В кот надо изготовить по оптим. Плану произвоства.
F = (рентабельность) = (прибыль от пр-ва и реализ продукции = 5х1+8х2)/(затраты на пр-во продукции. 10х1+12х2) ->max
Ограничения: 15x1+3х2 >=50, 4x1+18x2>=64, 10x1+12x2<=100, 5x1+8x2 не равно 0, x1,x2>=0
Критерии: себестоимость прод = затр на пр-во / объем произв продукции -> min
Рентабельность = прибыль от пр-ва и реализ. / затр на пр-во продукции. -> max.Показывает прибыльность
Производительность труда = объем вып. Работы/время на вып. Работы. -> max
Эффективность пр-ва = объем выпущ. продукции/затраты на пр-во продукции ->max
Общая математическая модель Леонтьева.
объем продукта хi, выпускаемого iой отраслью(валовый выпуск)
– объем продукта iой отрасли, который поступает в каждую jую отрасль(хij) и затрачиваются там на производство продукта(производственное потребление)
– объем продукта(уi), направляемого iой отраслью на непроизводственное потребление (= конечный спрос, конечное потребление или конечный продукт)– в продажу населению, на экспорт, инвестиции;
(Объем продукта, выпускаемого отраслью i) = (Суммарный объем продукта, поступающий во все n отраслей, в том числе оставляемый в отрасли i)+(Объем продукта, поступающий на производственное потребление)
Где «а» - это объем продукции, производимой в iой отрасли и затрачиваемой на производство единицы продукции в jой отрасли. Тогда j=хj, то Xij=аij*хj
Коэффициент аij – коэффициент прямых материальных затрат. Не изменяется во времени в течении рассматриваемого временного промежутка.
X=AX+Y
Режим работы экономической производственной системы, при котором каждая отрасль выпускает продукта больше, чем ее затрачивается на производстве продукции во всех отраслях, называется продуктивным.
Признаки:
Матрица будет продуктивной только если система уравнений модели Леонтьева Х=А*Х+У имеет неотрицательное решение Х>=0 (хi>= 0,i=1, 2, …, n) для положительного вектора конечного спроса Y>0.
Модель Леонтьева X=A*X+Y позволяет рассчитать валовые объемы продукции Х отраслей для заданного вектора конечного спроса Y (E – единичная диагональ матрицы) по матричному выражению:
X=((E-A)^(-1))*Y=B*Y
Расчет вектора конечного спроса У для известных валовых выпусков Х: Y=(E-A)*X
Матрица В=(Е – А)^(-1) –называется матрицей полных материальных затрат(обратная от (Е-А)).
Экономический смысл элементов bij вытекает из Х=В*У =>
bij - показывает какое количество продукта xi, выпускаемого отраслью i, требуется для производства единицы прибавочного продукта отраслью j.
задача о назначениях
Факт принятия i-ого работника на j-ую должность описывается двоичной переменной xij {0 – не назначен; 1 - назначен}, существует коэффициент aij, который обозначает эффективность i-ого работника на jработе. Вместо aij может использоваться другой коэффициент, обозначающий время выполнения работы, затраты и прочее, что заставит функцию стремится к минимуму.
Целевая функция:
F = ΣΣaijxij –>max (min)
Ограничения 1 вида (каждая работа выполняется только одним работником):
Σ(i=1)xij = 1
Ограничения 2 вида (каждым работником выполняется только одна работа)
Σ(j=1)xij = 1
Модель международной торговли
Система балансовых уравнений, устанавливает распределение национальных доходов и выручки торгующих между собой стран, при этом международная торговля бездефицитна и сбалансирована.
х1…хn– национальные доходы стран xij– расходы j-ой страны на покупки в i-ой Уравнение баланса – затратить можно столько денег, сколько имеется. Для каждой страны оно: xj=x1j+ x2j+ x3j+…+ xnj, разделим каждое из n уравнений баланса на xjаij = xij/xj - доля национального дохода страны j тратится на покупки в i-ой. из коэффициентов аij можно составить матрицу А, она называется структурной матрицей торговли, ее особенность в том, что сумма элементов каждого столбца 1.С другой стороны затраты одних стран - доходы других. рi= xi1 + xi2 + xi3 + …+ xin, таких равенств n, для каждой страны. xij=аijxj можно их переписать,как: рi= аi1x1 + аi2x2 + аi3x3 + …+ аiixn также их можно записать в матричном виде:
р1
р= … =Ах
рn Торговля выгодна, если выручка (р) будет не меньше затрат (х). Одновременное выполнение всех неравенств возможно только в случае равенств (р=х). Значит Ах=х – уравнение сбалансированности международной торговли. Матричное уравнение Ах=λх, где λ - собственное значение, а х - собственный вектор матрицы А. Сравнив Ах=х и Ах=λх, понимаем, что λ=1, а х – собственный вектор, вектор национальных доходов стран. Так, международная торговля будет сбалансированной, если λ=1, а х – собственный вектор, вектор национальных доходов стран. Зная матрицу А, можно также найти значения национальных доходов (вектор х).
Сначала сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Для этого введем дополнительное ограничение сверху на сумму национальных доходов величиной В:
х1+х2+х3+…+хn<= В
Тогда наша цель: х1+х2+х3+…+хnàmax
Ограничения:
х1+х2+х3+…+хn<= В
(А-Е)х=0, где Е-единичная матрица
Формирование оптимального штата фирмы на примере
формирование оптимального штата фирмы. 4 должности, каждая имеет свободных 5 3 6 и 4 мест. Тестирование на места: 3 группы по 7 5 и 6 чел. Стоимость обучения для работы на должности – Cij
C=Cij=12 15 8 10
5 13 7 9
8 5 14 6
Xij – кол-во претендентов из i группы на j должность.
Группа претендентов | Стоимость обучения 1 претендента на 1 долж. | В группе | |||
1 должн | 2 должн | 3 должн | 4 должн | ||
|
|
|
| |||
|
|
| ||||
|
|
|
| |||
Вакантные места
|
|
|
F = 12X11 + 15X12 + 8x13+10x14+5x21+13x22+7x23+9x24+8x31+5x32+14x33+6x34 ->min. Ограничения: X11+X12+X13+X14 =7, X21+X22+X23+X24=5, X31+X32+X33+X34=6 (никто не остается без работы); X11+X21+X31=5, X12+X22+X32=3, X13+X23+X33=6, X14+X24+X34=4 (все вакантные места должны быть заняты); Xij >=0, i = 1,2,3 j=1,2,3,4
Модель оптимального планирования производства, учитывающая брак
А1 и А2-виды продукции. s1,s2,s3-виды ресурсов. х1 и х2-объемы выпускаА1 и А2. aij-затратыi-ого ресурса на j-ую продукцию. b1, b2, b3-ресурсы в наличии. с1 и с2-ожидаемая прибыль от А1 и А2. к - коэффициент интенсивности расходования ресурса при дополнительной бракованной ед. l - коэффициент интенсивности изменения прибыли при увеличении объемов производства
целевая функция: f=(с1х1+l1х1)х1+(с2х2+l2х2)х2 àmax
ограничения (3 шт.): расход ресурса i = ai1х1+кi1(х1^2)+ai2х+кi2(х2^2)<= bi
эффект масштаба – уменьшение себестоимости продукции с ростом объемов выпуска и увеличение прибыли от реализации продукции.
неравенства - эллипсы, пересечение - выпуклая область, линии уровня - расширяющиеся эллипсы
планирование производства линейная
Предприятие планирует выпуск n видов продукции А1, А2, …Аn, на производство которых затрачивается m видов ресурсов S1, S2,…Sm – сырьё различных видов. Предприятие располагает предельным кол. ресурсов в объёмах b1, b2,…bm усл. ед. Количество каждого вида ресурсов Si, i = 1,2,…,m, затрачиваемого на производство единицы продукции Aj, j = 1,2…,n, известно и равно aij усл. ед./ ед. прод. После изготовления продукции A1, A2,…An она поступает в продажу. Ожидаемая прибыль от реализации единицы каждого вида продукции известна и составляет c1, c2,…, cn ден. ед. / ед. прод.
Требуется определить какую продукцию и в каком объёме следует производить предприятию, что получаемая от реализации продукции прибыль была максимальной.
Виды ресурсов | Количество ресурса, затрачиваемого на производство единицы продукции усл. ед. / ед. продукции | Предельные кол. ресурсов, усл. ед. | |||
А1 | А2 | … | Аn | ||
S1 | а11 | a12 | … | a1n | b1 |
S2 | а21 | a22 | … | a2n | b2 |
… | … | … | … | … | … |
Sm | аm1 | am2 | … | amn | bm |
Цель – получение максимальной прибыли от реализации продукции
Неуправляемые факторы – заданные и неизменные в данной операции нормы расхода ресурсов, предельны1е кол. ресурсов и величины прибыли от реализации единицы всех видов продукции. Совокупность неупр. факторов определяет ограничения.
Управляемые факторы представляют собой объёмы (х1, х2, …) выпускаемой продукции n видов, а совокупность управляемых параметров х = (х1, х2,…хn), удовлетворяющих всем ограничениям – возможные ограничения. ЛПР – директор предприятия или назначенный им сотрудник.
Целевая функция F представляет собой суммарную прибыль от реализации произведённой продукции.
Её необходимо максимизировать
Ограничения отражают тот факт, что расход каждого вида ресурса, затрачиваемого на производство всех видов продукции, не может превышать его объёма, имеющегося у предприятия на складе.
Поскольку объёмы выпуска всех видов продукции х1, х2…., хn не могут быть отрицательными, необходимо добавить условия
x1≥0, х2≥0, …, xn≥0
нелинейное программирование. Линии уровня и тп
Классификация:
1)общие задачи НП
2)Выпуклые и вогнутые задачи НП
3)Выпуклые и вогнутые задачи квадратичного программирования
4)Классическая задача оптимизации или задача на условный экстремум
Локальные максимумы и минимумы – это все экстремумы, которые функция f(x) имеет на некоем отрезке [a,b], на котором она определена.
Глобальный максимум и глобальный минимум – соответственно, наибольшее и наименьшее значения из локальных максимумов и минимумов
Выпуклая функция f(x) характеризуется тем, что в области её определения (отрезок [a,b]) все точки графика функции расположены ниже соответствующей секущей или на ней, а вогнутая тем, что все её точки на области определения расположены выше соответствующей секущей или на ней.
Задача выпуклого (вогнутого) программирования – область допустимых решений, определяемая системой ограничений, представляет собой выпуклую область, а целевая функция является выпуклой (вогнутой) функцией. Выпуклая задача нелинейного программирования соответствует случаю минимизации выпуклой целевой функции на выпуклой области ОДР, а вогнутая задача – максимизации вогнутой целевой функции на выпуклой ОДР.
Графическая интерпретация допустима только для случая с двумя переменными ( F=F(x1,x2) ®max(min)-целевая). При этом целевая функция имеет вид произвольной кривой, а ограничения – область произвольного вида
Линия уровня - множество точек, координаты которых (x1,x2) удовлетворяют уравнению F(x1,x2) = a.
Общая мат модель задаи лин прогр об использовании ресурсов(задача планирования производства)
Предприятие планирует выпуск n видов продукции А1, А2, …Аn, на производство которых затрачивается m видов ресурсов S1, S2,…Sm – сырьё различных видов. Предприятие располагает предельным кол. ресурсов в объёмах b1, b2,…bm усл. ед. Количество каждого вида ресурсов Si, i = 1,2,…,m, затрачиваемого на производство единицы продукции Aj, j = 1,2…,n, известно и равно aij усл. ед./ ед. прод. После изготовления продукции A1, A2,…An она поступает в продажу. Ожидаемая прибыль от реализации единицы каждого вида продукции известна и составляет c1, c2,…, cn ден. ед. / ед. прод.
Требуется определить какую продукцию и в каком объёме следует производить предприятию, что получаемая от реализации продукции прибыль была максимальной.
Виды ресурсов | Количество ресурса, затрачиваемого на производство единицы продукции усл. ед. / ед. продукции | Предельные кол. ресурсов, усл. ед. | |||
А1 | А2 | … | Аn | ||
S1 | а11 | a12 | … | a1n | b1 |
S2 | а21 | a22 | … | a2n | b2 |
… | … | … | … | … | … |
Sm | аm1 | am2 | … | amn | bm |
Цель – получение максимальной прибыли от реализации продукции
Неуправляемые факторы – заданные и неизменные в данной операции нормы расхода ресурсов, предельны1е кол. ресурсов и величины прибыли от реализации единицы всех видов продукции. Совокупность неупр. факторов определяет ограничения.
Управляемые факторы представляют собой объёмы (х1, х2, …) выпускаемой продукции n видов, а совокупность управляемых параметров х = (х1, х2,…хn), удовлетворяющих всем ограничениям – возможные ограничения. ЛПР – директор предприятия или назначенный им сотрудник.
Целевая функция F представляет собой суммарную прибыль от реализации произведённой продукции.
Её необходимо максимизировать
Ограничения отражают тот факт, что расход каждого вида ресурса, затрачиваемого на производство всех видов продукции, не может превышать его объёма, имеющегося у предприятия на складе.
Поскольку объёмы выпуска всех видов продукции х1, х2…., хn не могут быть отрицательными, необходимо добавить условия
x1≥0, х2≥0, …, xn≥0
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 33 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Материальный баланс производства имеет следующий вид (в качестве примера, плановый период - год): | | | Клуб болельщиков сборной России russia unites |