1. Цель лабораторной работы.

Лабораторная работа №3

«Сухое трение»

1. Цель лабораторной работы.

Изучение динамики тела, скользящего по наклонной плоскости, и опытное определение коэффициентов трения покоя и скольжения.

2. Схема установки.

3. Теория метода.

Трение покоя.

В работе изучается движение однородного бруска, имеющего форму параллелепипеда, по наклонной плоскости (рис.1).Рассмотрим все силы действующие на данную систему. По второму закону Ньютона запишем:

Mg + F_тр + N = Ma,

где a – вектор ускорения точки, компоненты которого есть

d²x/dt²≡a_x; d²y/dt²

Тогда в проекциях на оси координат получим:

-Mg∙cosα + N = M∙a_y (1)

Mg∙sinα – F_тр = M∙a_x (2)

Так как при любых перемещениях тела мы будем считать, что y=const, то уравнение(1) примет вид:

N = Mg∙cosα (3)

Рассмотрим ситуацию, когда при постепенном увеличении угла α брусок остаётся в покое. При этом сила трения будет меняться по формуле (2), где следует положить α_x = 0; максимальное значение этой силы

F_тр.max =Mg∙sinα₀ , (4)

где а_о - предельное значение угла, при котором брусок еще удерживается на плоскости. Опыт показывает, что максимальное значение силы трения всегда пропорционально силе реакции опоры, то есть

F_тр.max = k₀∙N (5)

Здесь коэффициент пропорциональности k₀ называется коэффициентом тренияпокоя. Тогда из фор - мул (3) – (5) получим:

k₀ = tgα₀ (6)

Это отношение позволяет вычислить коэффициент трения покоя по измеренному значению α₀ . В ра –боте эти измерения выполняются следующим образом.Согласно формуле (6),

k₀ = l/L,

где – длина подвижного упора на рис.1, при которой брусок, первоначально находившийся в покое, начина – ет движение вниз по наклонной плоскости (расстояние L является фиксированным).Проделав такой опыт несколько раз, получим отличные друг от друга значения l₁, l₂,..., l_n. Вычислим среднее арифметическое

<l> = 1/n ∑ l_i ,

стандартное отклонение среднего (среднеквадратичная ошибка):

δ =√∑(<l> – l_i)²/n(n – 1),

и полные ошибки проведённых измерений

Δl = √(t_α,n∙δ)² + (t_α,n∙Δx/3)², ΔL = t_α,x∙Δx/3

Здесь α - доверительная вероятность; t_α,n, t_α,x - коэффициенты Стьюдента; Δ x - системная ошибка из - мерительной линейки, равная половине её шкалы.Погрешность в измерении коэффициента трения покоя можно определить по формуле

Δ k₀ = √ (δk₀/δl∙ Δ l)² + (δk₀/δL∙ Δ L)², (7a)

Продифференцируем данное уравнение и после несложных преобразований получим:

k₀ = <k₀> √ (Δ l/<l>)² + (Δ L/L)², (7б)

гдеобозначено <k₀>≡<l>/L. В окончательном виде результат запишется так:

k₀ = <k₀> ± Δ k₀ с вероятностью α. (8)

Трение скольжения

Обратимся теперь к ситуации, когда брусок скользит вниз по наклонной плоскости (рис.1). Относительно величины силы трения скольжения опыт показывает, что

F_тр = k∙N, (9)

где k - коэффициент трения скольжения. Соотношения (5) и (9) носят название законов сухого трения. Продолжая обсуждение опыта, из формул (2), (3) и (9) получим:

a_x = g∙sinα - kg∙cosα.

Это означает, что движение бруска будет равноускоренным, т.е.

ax = 2S/t² , (10)

где t – время за которое тело прошло путь S. Тогда из последних двух формул получим:

k = tgα – 2S/gt²∙cosα. (11)

Другой вариант таких измерений показан на рис.2. Здесь брусок, соединённый с грузом массы m, двигается вверх по наклонной плоскости. Выведем уравнение движения геометрического центра бруска:

Mg + F_тр + N + T = Ma,

где T - сила натяжения нити. Учитывая, что a_y = 0, в проекциях на оси координат получим:

-Mgcos + N = 0, (12)

-Mgsin – F_тр + T = Ma,(13)

где a≡a_x. Пусть массы нити и блока незначительны, тогда T₁ = T. Следовательно, в проекции на вертикальное направление уравнение движения груза будет следующим:

mg – T = ma.

Выразим с помощью формул (9), (12) и (13) ускорение с которым будет двигаться брусок:

a = (m – M∙sinα – kM∙cosα)/(m + M)g (14)

Очевидно, что a = const значит, применима формула (10). Тогда из формулы (14) получим:

k = (1 – a/g – M/m(sinα + a/g))/M∙cosα/m (15)

На графике результаты вычислений коэффициентов трения должны ложиться на прямую. Угол между этой прямой и горизонтальной осью координат вычисляется по формуле:

k = tgβ, т.е. β = arctg k (16)

где коэффициент k вычисляется по формуле:

k = (n∙∑x_iy_i –∑ x_i∙∑y_i)/(n∙∑(x_i)² – (∑x_i)² (17)

где x = M∙cosα/m, а y = 1 – a/g – M/m(sinα + a/g)

Трение покоя.

Дерево.

№ пп.
m (г)
L (мм)
l (мм)

	n	(мм)	δ	Δl (мм)	ΔL (мм)	α	tαn	tα∞	Δx (мм)		Δkо
Дерево			1,238	1,43	0,112	0,5	0,73	0,67		0,31	0,0014

Трение скольжения.

Xmin	М (г)	m (г)	l (мм)	L (мм)
Резина					26^о
Дерево					26^о
Xmax	М (г)	m (г)	l (мм)	L (мм)
Резина					0^о
Дерево					0^о

№ опыта	L (мм)	l (мм)	T (c)	а (мм/с^2)	m (г)	М (г)
X1			1,2	1400,0			8,2
X2			3,4	175,0			8,2
X3			1,0	2016,0			13,0
X4			2,0	504,0			17,0
X5			2,5	332,6			19,0
X6			3,1	210,0			25,0

Резина.

№ опыта	L (мм)	l (мм)	t (c)	а (мм/с^2)	m (г)	М (г)
X1			1,1	1666,0			11,0
X2			1,3	1551,0			14,0
X3			1,6	787,6			17,0
X4			2,0	504,0			20,0
X5			2,6	298,0			22,0
X6			1,1	1666,0			25,0

Дерево.

Таблица коэффициентов трения скольжения.

№ опыта
Резина	0,65	0,70	0,60	0,76	0,72	0,68	0,685	0,002
Дерево	0,30	0,25	0,22	0,26	0,40	0,33	0,293	0,003

Таблица для графиков.

№ опыта	Резина	Дерево
X	Y	X	Y
	0,29	0,19	0,05	0,04
	0,41	0,29	0,38	0,09
	0,79	0,54	0,14	0,08
	1,00	0,58	0,21	0,081
	1,20	0,69	0,51	0,17
	1,41	0,93	0,72	0,18

Из графика мною получены коэффициенты трения скольжения:

Для дерева ;

Для резины .

Дата добавления: 2015-08-29