Министерство путей сообщения РФ

Министерство путей сообщения РФ

Департамент кадров и учебных заведений

Самарская государственная академия путей сообщения

Кафедра «Инженерная графика»

Способы образования поверхностей,

Их взаимное пересечение

Методические указания

к выполнению заданий по начертательной геометрии

для студентов 1 курса специальностей

190301 – Локомотивы, 190302 – Вагоны

Составители: Зиновьева Т. Ю.

Изранова Г.В.

Самара 2004

УДК 744

Способы образования поверхностей, их взаимное пересечение: Методические указания к выполнению заданий по начертательной геометрии для студентов 1 курса по дисциплине «Начертательная геометрия». - Самара: СамГАПС, 2004.- 23 с.

Утверждено на заседании кафедры инженерной графики, протокол № 2 от 06.10.2004 г.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

В методических указаниях приводится теоретический материал по способам образования и пересечения поверхностей вращения, необходимый для выполнения графической работы. Методические указания предназначены для студентов 1 курса специальностей 190301 – Локомотивы, 190302 – Вагоны. Разработаны варианты контрольных заданий.

Составители: Зиновьева Татьяна Юрьевна

Изранова Галина Владимировна

Рецензенты: Антипов В.А., доцент (СамГАПС)

Редактор Шимина И.А.

Компьютерная верстка Абрамян Р.Р.

Подписано в печать 21.12.04. Формат 60х90 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 2,5.

Тираж 150 экз. Заказ № 202.

ãСамарская государственная академия путей сообщения, 2004

Способы образования поверхностей

Существует два основных способа образования поверхностей – движением линий или поверхности.

Рассмотрим первый способ, необходимый для выполнения третьей графической работы.

В этом случае поверхность Ф представляет собой множество последовательных положений t¹, t²,.. линии t (рис.1), движение и форма которой подчинены некоторому закону. Эту линию принято называть образующей.

Рис.1

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые. Образующей первых является прямая линия (конус, цилиндр), а вторых - кривая (сфера, тор). Линейчатые поверхности разделяют на развертывающиеся и неразвертывающиеся.

К развертывающимся поверхностям относятся цилиндр и конус (прямые и наклонные)

Рис.2

Поверхности вращения

Поверхности вращения получили широкое применение в строительной технике и машиностроении из-за простоты их формирования.

Эти поверхности создаются при вращении криволинейной (сферы, тор) или прямолинейной образующей (конус, цилиндр) m вокруг неподвижной оси i. (рис.3)

Рис.3 Рис.4

Две операции включает и алгометрическая часть определителя:

1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, …К.

2. Каждую точку вращают вокруг оси i.

Так создается каркас поверхности, состоящий из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно к оси i. Эти окружности называют параллелями; наименьшую параллель – горлом, наибольшую – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных их свойства:

1) плоскость, перпендикулярная к оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели;

2) плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам (рис.4).

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с криволинейными образующими.

Сфера. Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипс (рис.5).

Рис.5

Тор. Поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности (рис.6).

Рис.6

Взаимное пересечение поверхностей

Общим способом построения линий пересечения одной поверхности другой является нахождение точек этой линии при помощи некоторых секущих плоскостей или вспомогательных секущих сфер. Ниже будет показано решение задач на определение линий пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей цилиндрических, конических, сферических поверхностей, а также пример построения линий пересечения с помощью вспомогательных секущих сфер.

Построение линий пересечения поверхности с помощью вспомогательных секущих плоскостей

При построении линии пересечения двух поверхностей вспомогательные секущие поверхности выбирают такими, чтобы они, пересекаясь с данной поверхностью, давали бы простые для построения линии (например, прямые или окружности).

Часто за вспомогательные секущие поверхности принимаются либо плоскости, либо сферы. При решении задач на построение линий пересечения поверхностей вспомогательные секущие плоскости обычно выбирают в виде плоскостей уровня – плоскостей, параллельных плоскостям проекций.

Линии двух поверхностей имеют характерные (опорные, главные) точки, с которых и следует начинать построение линий пересечения. Они позволяют видеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих плоскостей для определения произвольных точек.

Способ определения линии пересечения поверхности с помощью плоскостей, - ось которого – собственная прямая.

Этот способ применяется для построения линий пересечения:

а) двух конических поверхностей;

б) конической и цилиндрической поверхности;

в) конической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы;

г) двух цилиндрических поверхностей;

д) цилиндрической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы.

Рассмотрим несколько следующих задач.

1. Построить линии пересечения цилиндра и конуса, оси которых не пересекаются (рис.7).

Обе данные поверхности рассечены вспомогательными плоскостями I₂, II₂, III₂ и прочими, параллельными плоскости П₁.

Тогда на горизонтальной проекции конуса получится ряд концентрических окружностей, обозначенных теми же номерами, а на проекции цилиндра – ряд образующих.

В пересечении образующих с соответствующими окружностями определяются горизонтальные проекции точек искомого сечения а, в, с и прочие, по которым затем находят их фронтальные проекции.

Найденные проекции точек соединяют плавными кривыми. Невидимые части линии пересечения проведены штрихами на обеих проекциях.

Границей между видимой и невидимой частями линий пересечения являются крайние образующие цилиндра.

Pис. 7

Такие наиболее характерные точки линий пересечения кривых поверхностей следует строить в первую очередь, т.е. начинать работу с определения точек, в которых крайние (очерковые) образующие каждой поверхности, ограничивающие ее контур видимости на П₁, П_2, пересекают другую поверхность. После этого находят проекции нескольких промежуточных точек.

Если кривая поверхность пересекается с многогранником, то контур линии пересечения состоит из нескольких кривых частей, пересекающихся между собой на ребрах многогранника, следовательно, в этих точках криволинейный контур имеет резкие изломы. Эти характерные точки следует определять в первую очередь.

На рис. 8 таковыми являются точки (1₁, 1₂), (2₁, 2₂), (3₁, 3₂), (4₁, 4₂), в которых ребра призмы пронизывают поверхность конуса.

В обоих рассмотренных примерах легко выбрать вспомогательные секущие плоскости так, чтобы в пересечении их с каждой из данных поверхностей получились простые линии – окружности или прямые. Особенность этих примеров состояла в том, что одна из данных поверхностей была проецирующей (т.е. ееобразующие или ребра были перпендикулярны к одной из плоскостей проекций).

Рис.8

В таких случаях одна из проекций искомой линии уже имеется на эпюре: она совпадает с соответствующей проекцией той из данных поверхностей, которая является проецирующей (например, с профильной цилиндра на рис.7 или с фронтальной рис.8).

Вся задача сводится в сущности к нахождению по одной известной заранее проекции линии пересечения других ее проекций.

Затем найдены еще две характерные точки (5₁, 5₂) и (6₁, 6₂), в которых крайняя образующая конуса пересекает грани призмы. После этого можно найти проекции нескольких промежуточных точек, в которых другие образующие конуса пересекают грани призмы (7₁, 7₂; 8₁, 8₂; 9₁, 9₂; 10₁, 10₂).

Рассмотрим еще один пример построения линии пересечения двух поверхностей полусферы и цилиндра (рис.9).

Рис.9

Рисунок 9 иллюстрирует решение задачи по определению линии L=α∩β, при этом β перпендикулярен П₁. Вводя вспомогательные секущие плоскости f₁, f₁¹, f₁¹¹ и т.д. строим фронтальную проекцию L₂ – линии пересечения сферической поверхности α с поверхностью горизонтально-проецирующего прямого кругового цилиндра β.

Точка А₁, принадлежащая линии пересечения поверхностей, и является ближайшей к вертикальной оси ι поверхности сферы, одновременно будет высшей точкой А₂ на фронтальной проекции кривой L₂. Точка В₂ – крайняя правая на линии пересечения является также границей видимой кривой L₂.

Пример: Найти линию пересечения двух цилиндров (рис.10)

Вводим вспомогательные плоскости R₁ R₁¹ параллельно плоскости П₂ и пересекаем поверхности цилиндров по образующим. На их пересечении получаем точки (1₁, 1₂) и (2₁, 2₂). Аналогично находим еще ряд произвольных точек. Затем находим характерные точки а, b, c, d, e, f при помощи вспомогательных плоскостей S₁, S₁¹, S₁¹¹, S₁¹¹¹. Соединив все найденные точки кривой линией, получаем искомую линию пересечения.

Рис.10

Для построения точек линии, получающейся на одной поверхности при пересечении ее другой поверхностью, пользуются вспомогательными секущими плоскостями частного и общего положения, кривыми поверхностями, прямолинейными образующими кривых линейчатых поверхностей и ребрами гранных поверхностей. При этом прибегают к способам преобразования чертежа, если это упрощает и уточняет построение.

Построение линий пересечения поверхностей

с помощью вспомогательных сферических поверхностей

Построение линий пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1) способом концентрических сфер;

2) способом эксцентрических сфер.

Рассмотрим первый способ построения линии пересечения.

Этот способ применяется для построения линий пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхности вращения была параллельной какой-либо плоскости проекции.

Пример:

Построение линии пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающими осями (рис.11).

Рис.11

Сфера, проведенная из точки О₂, пересекает фронтальные проекции осей поверхностей вращения, пересечет поверхность a по окружности γ₂¹, которая проецируется на плоскость П₂ в отрезок (1₂, 2₂), а поверхность β – по окружности, проецирующейся на П₂ в отрезок (3₂, 4₂).

На горизонтальную плоскость проекции эта окружность спроецируется без искажения в окружность радиуса (О₂, 3₂), проведенную из центра в точке О₁.

Пересечение отрезков (1₂, 2₂) и (3₂, 4₂) укажет фронтальные проекции двух точек H₂ и H₂¹. Другие точки определяются аналогично.

Рассмотрим некоторые частные случаи пересечения поверхностей второго порядка.

Пример:

Построение линии пересечения поверхностей вращения α произвольного вида с поверхностью прямого кругового цилиндра β.

Оси поверхностей пересекаются (рис. 12).

Рис.12

1. Определяем центр вспомогательных сфер – точку пересечения осей поверхности вращения О₂ (i₂ пересекается с i₂¹).

2. Находим проекции опорных точек, принадлежащие линии пересечения L(A₂, B₂ ,C₂, D₂). т.к. эти точки принадлежат плоскости главных меридианов поверхностей, которые параллельны плоскости П₂, то эти точки определяются пересечением фронтальных проекций главных меридианов поверхностей.

3. Для определения промежуточных точек линии пересечения проводим семейство концентрических окружностей, являющихся фронтальными проекциями вспомогательных сфер.

Радиус максимальной сферы равно расстоянию от фронтальной проекции центра сферы О₂ до наиболее удаленной проекции точки, принадлежащей линии пересечения – точки D₂.

Величина минимального радиуса вспомогательной секущей сферы равна радиусу окружности, касающейся цилиндра β. Показано построение точек К₂¹, К₂ и L₂¹, L₂ с помощью вспомогательной сферы γ.

Горизонтальные проекции точек линий пересечения строятся при помощи параллельной поверхности вращения α, которая проектируется на плоскость вращения П₁ без искажения.

Теорема Монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечения распадаются на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанных около сферы (рис.13), будут плоскими кривыми – эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми А₂В₂ и С₂D₂.

Рис.13

Возможность вписания сферы в цилиндры одинакового диаметра позволяет очень быстро запроектировать их пересечения (рис.13 а, 13 б, 13 в).

Рис.13 в

Варианты заданий, выполняемые

с помощью вспомогательных секущих плоскостей

Ød

Ød

Ø50

Варианты заданий, выполняемые

с помощью вспомогательных секущих сфер

---

Дата добавления: 2015-08-29