АГ – 2. ПЗ 34. Обратная матрица. Метод Гаусса.

АГ – 2. ПЗ 34. Обратная матрица. Метод Гаусса.

Краткое содержание: Обоснование метода Гаусса решения матричных уравнений и вычисления обратной матрицы.

п.1. Метод Гаусса вычисления обратной матрицы.

Пусть дано матричное уравнение

, (1)

где А – квадратная невырожденная матрица – го порядка, В – матрица размера , Х – неизвестная (искомая) матрица размера .

Обозначим – столбцы матрицы Х, – столбцы матрицы В и будем решать m систем линейных уравнений:

, (2)

с матрицей коэффициентов А, столбцом неизвестных и столбцом свободных членов .

Если мы решаем системы (2) методом Гаусса, то мы выписываем расширенную матрицу коэффициентов и элементарными преобразованиями приводим ее к виду

и проделываем это m раз, причем с матрицей А все преобразования повторяются.

Можно значительно сократить вычисления, если решать все систем (2) сразу, одновременно. Для этого выписываем матрицу и методом Гаусса приводим ее виду , где Х – искомая матрица.

Пример. Решить матричное уравнение

.

Решение. 1) Выписываем матрицу и переставим третью строку на первое место (нам удобно, когда верхний левый элемент равен 1):

2) умножаем первую строку на (–3) и прибавляем ко второй строке, а затем прибавляем к третьей строке:

3) прибавляем третью строку ко второй, затем умножаем третью строку на (–1) и прибавляем к первой:

4) умножаем вторую строку на 3 и прибавляем к первой:

.

5) на последнем шаге мы умножили вторую строку на (–1)

Ответ: .

По определению обратная матрица к матрице А является решением матричного уравнения , где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Решая это матричное уравнение также, как мы это только что делали, получаем: .

Пример. Найти матрицу обратную матрице .

Решение. 1) Выписываем матрицу , умножаем первую строку на (–3) и прибавляем ко второй, затем умножаем первую строку на (–2) и прибавляем к третьей:

2) умножаем третью строку на (–1) и прибавляем ко второй, добиваясь элемента 1 на пересечении второй строки и второго столбца:

3) умножаем вторую строку на 5 и прибавляем к третьей:

4) прибавляем третью строку ко второй:

5) умножаем третью строку на 3 и прибавляем к первой:

6) умножаем вторую строку на (–2) и прибавляем к первой:

.

Ответ: .

п.2. Задачи.

ПЗ 34. Метод Гаусса вычисления обратной матрицы.

1. Найти матрицу обратную данной методом Гаусса:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) ;

2. Решить матричное уравнение:

а) ;

б) .

ДЗ 34. Метод Гаусса вычисления обратной матрицы.

1. Найти матрицу обратную данной методом Гаусса:

.

2. Решить матричное уравнение методом Гаусса:

.

ЗДПС 34. Метод Гаусса вычисления обратной матрицы.

1. Найти матрицу обратную данной методом Гаусса:

2. Пусть и – решения матричных уравнений: и , где А – квадратная матрица – го порядка. Докажите, что .

(Определение. Матрицу называют правой обратной к матрице А, матрицу называют левой обратной к А.

Обозначение. , .)

Задачу 2 можно сформулировать так: докажите, что, если для квадратной матрицы А существует хотя бы одна левая обратная матрица и хотя бы одна правая обратная матрица, то они все равны между собой.

3. Докажите, что, если Х есть решение матричного уравнения , то Х является решением матричного уравнения , т.е. является обратной матрицей. Из этого факта вытекает, что для нахождения обратной матрицы достаточно решить матричное уравнение .

Дата добавления: 2015-08-29