1. Математические понятия.Понятия,к-ые изучаются в нач.курсе мат-ки,обычно представляют в виде 4групп.В 1вкл.понятия, связанные с числами и операциями над ними:число,сло­жение,слагаемое,больше и 1 страница

1. Математические понятия.Понятия,к-ые изучаются в нач.курсе мат-ки,обычно представляют в виде 4групп.В 1вкл.понятия, связанные с числами и операциями над ними:число,сло­жение,слагаемое,больше и др.Во 2входят алгебраические понятия:выражение,равенство,уравнение и др.3составляют геометрические понятия:прямая,отрезок,треугольник и т.д.4гр.образуют понятия,связанные с величинами и их измерением.В логике понятия рассматривают как форму мысли,отражающую объекты(предметы или явления)в их существенных и общих свойст­вах.Языковой формой понятия является слово или группа слов.Объем и содержание понятия.объем понятия-это множество всех объектов,обозначае­мых одним термином.Любое понятие имеет не только объем,но и содержание.Содержание понятия-это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.Рассмотрим,н-р,понятие «прямоугольник».Прямоугольник = параллелограмм + все углы прямые.Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь:если увеличивается объем понятия,то уменьшается его содер­жание,и наоборот.Н-р,ОП«квадрат»явл-ся частью ОП«прямоугольники»а в содержании понятие«квадрат»содержит больше св-в чем в содержание понятий«прямоугольник»,такие св-ва как«все стороны равны,диагонали взаимно перпендикулярны»присуще только квадрату.Определением наз-ся предложение разъясняющих суть нового термина или обозначения.Н-р:«прям-к» наз-ся четр-к у к-го все углы прямые.В опр-ии 2 части-опр-мое понятие-«прям-к» и опр-щие«чет-к,у к-го все углы прямые».Опр-ия имеющие такую стр-ру явл-ся явными в опр-ем понятие можно выделить:1)понятие«чет-ник»явл-ся родовым по отношению к понятии.«прям-к»;2)св-ва«все углы прямые» наз-ют видовым отличием.Видовое отличие-это одно или неск-ко св-в к-е позволяют выделить определенные объекты из объема родовых понятий.Определяемое понятие:прям-к;родовое пон-е:4-х угольник;видивое отличие:у к-го все углы прямые;определяющее понятие:4-хугольник у к-го все углы прямые.

2. Понятие высказывания.Изучая реальные процессы математика описывает их,исп-уя при этом свой символический язык.Описание строиться при помощи предложений.Для того,чтобы мат-ие знания были достоверными необходимо,чтобы эти предложения были истинными.Для того,чтобы опр-ть истинность предложений мы рассмотрим понятие высказывание–это предложение,относительно к-го имеет смысл вопрос истинно оно или ложно. (2<5–истина,число 25–однозначное– ложь).Истина и ложь называются значениями истинности данного высказывания.Предложение «х-9=12»-не является высказыванием,т.к. о нем нельзя сказать и оно или л Данное предложение называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы (при х=15, предложение л., при х=21 – и.).

По числу переменных, входящих в высказывательную форму различают одноместные,2х,3х и т.д.высказывательные формы.Их обозначают:А(х),А(х,у),А(х,у,z),х+у+z=5–3х местная форма.Иногда высказывательную форму называют предикатом.Задание выск-ой формы как правило предполагает задание того множества,из к-го выбираются значения переменных,входящих в выск-ую форму.Это множество наз-ся областью опр-ия выск-ой формы. (Д)Одноместной выск-ой формой заданной на множестве Х наз-ся предложение с переменной,к-ое обращается в высказывание при подстановке в него значения переменной из множества Х.Множество таких значений переменных наз-ся множеством истинности выск-ой формы. (ТсХ).Составные высказывания (конъюнкция, дизъюнкция).Высказывания бывают элементарными и составными.Составные высказывания состоят из элементарных высказываний,соединенных логическими связками(и,или,если…то,тогда и только тогда,неверно,что и т.д.).Для выявления логической структуры составного высказывания необходимо установить:Из каких элементарных высказываний оно образованно;С помощью каких логических связок.Если составное высказывание имеет логическую связку «и», то его называют конъюнкцией.Конъюнкцией высказываний а и в называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из высказываний ложно. A^B.Дизъюнкцией высказываний а и в называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истина хотя бы одно из высказываний и ложно, когда оба высказывания ложны.Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1^А2^А3^…^Аt,к-е истина тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания.Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1ˇА2ˇА3ˇ…ˇАt,к-е ложно тогда и только тогда,когда все высказывания ложны.В математике рассматривают не только к-ю и д-ю высказываний,но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.К-ю одноместных высказывательных форм А(х) и В(х) заданных на множестве Х определяют аналогично к-ции и д-ции высказываний и обозначают А(х) и В(х). К-ция высказывательных форм «и», когда обе формы «и».

9.Понятие соответствия между мн-ми.Взаимно однозначные соответствия.Изучая окр.мир математика рассматривает не только его объекты,но и связи между ними.Соответствием м/у элементами мн-в Х,У наз-ся всякое подмн-во декартового произведения этих мн-в.ScXxY.Соответствие принято обозначать:S,P,T,Q.Сп-бы задания:1)перечисление всех пар элементов;2)указав хар-кое св-во;3)при помощи графа;4)при помощи графиков.Взаимооднозначным соответствием м/у х и у наз-ся такое соответствие при к-ом каждому элементу мн-ва х соотвесттвует единственный эл-т мн-ва у.Взаимоодн-ые соот-ия м/у мн-тв х у часто наз-ся взаимоодн-ым отображением мн-ва х на мн-ве у.Мн-ва х и у наз-ся равномощными если м/у элементами можно установить взаимоод-ое соответствие.Если мн-во х и у равномощны,то пишут х-у.Равномощные конечные мн-ва наз-ют равночисленные.Н-р:N-натуральные числа;У-мн-во четных натуральных чисел.Они равномощны,т.к. м/у их элементами можно установить взаимоодн-ые соотв-я N-У.

3.Выск-ия,содержащие кванторы общности и существования.Рассматривая высказывательные формы,мы превращали их в высказывание,подставляя вместо х конкретные значения,однако,существуют и другие сп-ы получения высказываний и высказывательных форм.Это можно сделать с помощью кванторов,т.е.с помощью определенных слов.Слово «квантор» лат. «сколько»,т.е. квантор показывает о скольких предметах говорится в предложении.Н-р:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Все числа натуральные,все–однозначные,некоторые четные.Слова:все,некоторые являются кванторами.Кванторы делятся на 2 группы:Кванторы общности и существования.Кванторами общности являются выражения: для всякого х, для любого х, для всех значений х, для каждого х.Все квадраты являются прямоугольниками.В любом прямоугольнике сумма углов равна 180˚.Однако в математике существуют предложения с квантором существования–существует,нек-ые,хотя бы 1,найдется.Если задана одноместная высказывательная форма,то для того,чтобы превратить ее в высказывание достаточно связать ее квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную.х+у=5 Для любого х существует такое у,что выполняется равенство х+у=5.В математике очень важно уметь выявлять логическую структуру высказываний с кванторами.Н-р:1.Некоторые числа делятся на 5.Данное высказывание является элементарным. Содержит квантор существования.2.В прямоугольнике диагонали равны.В данном предложении в явном виде квантора нет, но его можно подставить(в каждом, в любом).Выясним как устанавливается значение истинности в высказывании с кванторами.Рассмотрим высказывание с квантором общности.Для того,чтобы показать,что выск-ая форма А(х) переходит в истинное высказывание,что ТА=х,а чтобы убедиться в ложности высказывания достаточно показать, что ТА не равно х,т.е.,что сущ-ет такое значение х принадлежащее Х,при к-м высказывательная форма обращается в «л» высказывание.Н-р:всякое натуральное число делится на 5. Высказывание л. т.к.12 не делится на 5. Итак истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства, ложность можно обосновать с помощью контр-примера.Выясним как устанавливается истинность высказывания с квантором существования.Истинность высказывания с квантором существования устанавливается с помощью конкретного примера,для того,чтобы убедиться в ложности такого высказывания необходимо провести доказательство.Н-р:1.Среди всех 2хзначных чисел существуют такие,к-ые делятся на 7.2.Нек-ые прямоугольные треугольники являются равносторонними.Доказательство:предложение ложно т.к.в равностороннем треугольнике каждый угол = 60˚,а в прямоугольном треугольнике один угол = 90˚,получили противоречие следовательно данное предложение ложно.Отрицание высказываний и высказывательных форм.Отрицанием высказывания А называется высказывание,к-е ложно,если высказывание А–истина и истина,если высказывание А–ложно.Из определения следует,что предложение и его отрицание не могут быть одновременно «и» или «л».Для того,чтобы построить отрицание высказывания нужно перед всем предложением поставить слова «неверно, что…» или перед сказуемым поставить частицу «не».Н-р:Число 25 / на 5.1)неверно,что число 25/на 5.2) число 25 не / на 5.Правила построения к-ции и д-ции:1.Для того,чтобы построить отрицание к-ции или д-ции достаточно заменить отрицаниями составляющие их высказывания,а союз и (или) заменить на союз или (и).2.Для того,чтобы построить отрицание высказывания начинающегося с квантора общности (существования) достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения после квантора.

4. Понятие множества, элемента множества.В конце 19 века в математике возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий как функция непрерывность дифференцирование, интегрирование и так далее.Для этого нужно было строго определить понятие натурального числа в поиске ответа на данный вопрос способствовали развитию новых математических идей, которые возникли в конце 19 начало 20 века.В связи с этим возникла новая область математики теория множеств одним из создателей, которых был немецкий математик Георг Кантор.В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов,как единое целое натуральные,целые,треугольники,четырёхугольники, многогранники и так далее.Все эти различные сов.Называются множествами.Понятие множество является одним из неопределяемых основы понятия математики. Обозначения множеств:АВСДСпециальные множества: N Z Q J.Q+J – множество всех дейст.чисел.Множество бывают конечные и бесконечные.Конечное множество состоит из конечного числа элемента.Бесконечное множество состоит из бессознательного множества элементов.Н-р:Мн-во однозначных чётных чисел(2 4 6 8).Множество натуральных чисел больше 5 но меньше 12.А=(6 7 8 9 10 11).Множество точек на прямой бесконечного множества.Определения объекты,из к-х состоит множество,называется элементами множества.Способы задания множеств.Множество считается заданным если о любом его объекте можно сказать,принадлежит он этому множеству либо не принадлежит.Множество можно задать,перечислив все его элементы.Н-р(2 4 6 8).Таким способом можно задать конечное множество.Способ указания характеристического свойства элементов множества.Характеристическое свойство называется такое свойство, которым обладает каждый элемент,принадлежащий данному множеству,и не обладает ни один элемент,к-ый ему не принадлежит.Н-р,множества целых чисел Z N.Н-р множества А(12,22,32,42,52,62,7​2,82,92).Характеристическое свойство данного множества «двухзначные числа» запись,к-ых заканчивается цифрой 2. С помощью данного способа часто задают бесконечное множество.3способ «графически»,н-р:мн-во точек прямой.

28.Правило деления суммы на число и числа на произведение.Используя теоретико-множественный подход к действиям над целыми неотриц числами,м/о дать теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число:если числа а и в делятся на с,частное получаемое при деление суммы(а+в) на число с,равно сумме частных полученых при деление а на с и в на с.(а+в)/с=а/с+в/с.Док-во:т.к.а делится на с,то сущ-ет такое мат-ое число m=а/с,что а=m*с,аналогично n=в/с=>b=n*c.Тогда а+в=mc+nc=c(m+n)=>а+в делится на с и частное,получаемое при делении а+в на число с равно m+b,т.е. а/с+в/с.Деление числа на произвеление:если нат-ое число а делится на натуральные числа в и с,то чтобы разделить а на произведение в и с,достаточно разделить а на в(с) и полученое частное разделить на с(в).Умножение числа на частное двух чисел:чтобы умножить число на частное двух чисел,достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.а*(в/с)=(а*в)/с.Н-р:600/24=600/(6*4)=(600/6)/4=25.

19.Числовые равенства и неравенства.Тождественные преобразования выражений.Числовые равенства и неравенства.Пусть f и g - два числовых выражения.Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g, которое называют числовым равенством.Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1.Оно истинное.Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3+2= 7-3. Т.о,с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное.Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.Свойства1.Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение,имеющее смысл,то получим также истинное числовое равенство.2. Если обе части истинного числового равенства умножить на од­но и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством.Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соеди­нить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравен­ство 6 + 2 < 13 - 7. Таким образом, с логической точки зрения число­вое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим неко­торые.1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство. Выражения и их тождественные преобразования.Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3-2-4, (25 + 3)-2- 17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8: (4 - 4), смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и вы­ражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из чисел, знаков дейст­вий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения. В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной. В начальной школе для обозначе­ния переменной кроме букв используются другие знаки, например □. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2- п + 3.Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5:(х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х = 7 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, 2а + 3 - это выражение с одной пере­менной, а (3х + 8y)*z - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения.Если f u g- числовые выражения, mo(f) + (g),(f) - (g), (f)*(g)> (f):(g) - числовые выражения. Считают, что каждое чис­ло является числовым выражением.Если в выражении нет скобок, то сначала необходимо выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выра­жений их соответственные значения равны.Н-р:1) 5(х + 2)=5х + 10 Если два тождественно равных выраже­ния соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.Замена выражения другим, тождественно равным ему на некото­ром множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему вы­ражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование пер­вого выражения.Виды тождественных преобразований выражений.1. Вынесение общего множителя за скобку, т.е. разложение на множители 4х2-16=4(х2-4)=4(х-2)(х+2).2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.3. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и тоже число.4. Сокращение дробей.

22.Понятие функция.Графики функции.Каждому числу из мн-ва х сопоставляется единственное число из мн-ва у.Такие соот-ия наз-ся функциональными.Числоввой функцией наз-ют такое соот-ие м/у числовым мн-ом х и мн-ом каждому числу из мн-в х сопостовимо единственное число из мн-ва R.Мн-во х наз-ют областью определения ф-ции,ф-ции обозначают буквами f,q,h.Дейст-е число у,соот-щие числу х из мн-ва х,обозначают:y=f(x)переменную х наз-т аргументом ф-ции f.Мн-во чисел вида координат f(x) для всех х из мн-ва х наз-т областью значения ф-ции.Для задания f необходимо указывать:числовое мн-во х,т.е. область определения ф-ции;правило,по к-му каждому числу из мн-ва х соот-ет един-ое дейст-ое число.Ф-ции можно задать различными СП-ми:с помощью формул(у=2х-3,у=3х;с помощью одной и той же ф-ции можно задать как угодно много ф-ций,к-ые будут отличатся др.от др.областью определения);при помощи графика(пусть у=f(x)-ф-ции с областью опр-ия х,тогда ее графиком явл=ся мн-во таких точек координат плоскости,к-ые имеют абцису х и ординату f(x)для всех х из мн-ва х.Св-ва ф-ции:1.ф-ция f наз-ся монотонной а нек-ом промежутке А если она на этом промежутке возрастает или убывает;2.ф-ция f наз-ся возрастающей на нек-ом промежутке А если для любых чисел наз-ых х1,х2 их мн-ва А выполняется условие х1<х2=>f(x1)<f(x2);3.ф-ция f наз-ся убывающей на нек-ом промежутке А,если для любых чисел х1,х2 из мн-ва А выполняется условие x1<x2=>f(x1)>f(x2).

23.Линейная функция.Прямая пропорциональность.Обратная пропорциональность.Прямой пропорциональностью наз-ся функция,к-ая может быть задана формулой у=кх, где к неравняется 0,действительное число,.Отношение величин равно нек-му числу отличному от нуля,их наз-т прямой пропорциональностью у/х=к,к-коэфициэнт пропорциональности.у=кх-явл-ся метем-ой моделью.Н-р:если в одном пакете 2 кг,а куплено х таких пакетов,то всю массу купленной муки можно представить в виде формулы у=2х.Св-ва прямой пропор-ти:1)обл.опр-ния и обл.значения ф-ции у=кх явл-ся мн-во действительных чисел;2)графиком явл-ся прямая проходящая ч/з начало координат(чтобы построить график достаточно одной точки);3)при к>0 ф-я возрастает,при к<0-убывает.Основное св-во:если х и у положительные действительные числа,то св-во можно сформулировать так:с увеличением(уменьшением) значения переменной х в несколько раз,значения переменной у увеличив(уменьшается),во столько же раз. Обратной пропорцианальностью наз-ся функция,к-ая может быть задана формулой: у=к/х,х неравно 0,к неравно 0 действительное число.Произведение 2-х величин равно нек-му числу,отличному от нуля,их наз-т обратно пропор-ми.у=к/х явл-ся матем-ой моделью.н-р:если купили 12 кг муки и разложили в х банок по у кг в каждую,то зависимость м/у данными можно представить ух=12,т.е.она явл-ся обратной пропор-тью с к=12.Св-ва:1)обл.знач-я и обл.опр-ия ф-ии у=к/х явл-ся мн-во действительных чисел отличных от нуля;2)графиком явл-ся гипербола;3)при к>0 ветви гиперболы лежат в 1и3 четвертях,ф-я убывающая,при к<0 ветви лежат во 2и4 четвертях и ф-я возрастает.Основное св-во:с увеличением(уменьшением) значения переменной х в неск-ко раз значение у уменьшается(увеличивается) во столько же раз.Линейной ф-й наз-ся ф-я,к-ую можно задать при помощи формулы вида у=кх+в,где х незав-ая переменная,а к и в заданные действительные числа.Если к=0,то получаем ф-ю вида у=в,ее наз-т постоянной ф-ей.Обл.опр-ия линейной ф-ии явл-ся мн-во дейст-х чисел.Графиком явл-ся прямая(для построения достаточно 2точек),положение прямой на плоскости опр-т коэф-т к и в.При к>0 ф-я возрастает,при к<0 убывает на всей обл.опр-ия.

25.Признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 4 на основное число в десятичной системе счисления.Признаки делимости позволяют установить по записи числа де­лится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.Пусть х=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+….+a1*10+a₀,где a_n,a_n-1,a₁ принимают значение от 0 до 9 и a_n не равно 0 и а0 принимает значения 0,2,4,6,8.Докажем что тогда х кратно 2,т.к. 10 кратно2,10²/2,10³/2 и т.д.10ⁿ/2 и значит(a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+….+a1*10)/2.По условию а0/2 и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых каждое из к-ых делится на 2=>согласно теореме о делимости суммы на само число х кратное2.Докажем обратное если число х/2.Докажем обратное если число х/2,то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.Из х=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+….+a1*10+a₀ a₀=х-(a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+….+a1*10),по теореме о делимости разности а0/2,т.к. х/2 и (a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+….+a1*10)/2.Что бы однозначное число было кратно 2 оно должно принимать значение 0,2,4,6,8.Теорема(признак делимости на 5).Для того чтобы число х делилось на 5,необходимо и достаточно,чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.Теорема (признак делимости на 4).Для того чтобы число х делилось на 4,необходимо и достаточно,чтобы на 4 делилось двузначное число,образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.Теорема (признак делимости на 9(3)).Для того чтобы число х делилось на 9(3),необходимо и достаточно,чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9 (3).

18. Доли и дроби.Задачи:создать конкретное представление о дроби и доли;научить записывать доли и дроби;сравнивать;научить решению задач 2х типов:нахождение доли от числа и нахождение числа по доли.Методы:наглядный;практический.Наглядные пособия:круги,прям-ки,квадраты,полоски.Для того чтобы создать у детей конкретное представление о долях(дробях)надо научитьдетей получать эти доли(дроби)практически.Н-р:яблоко разрезанное на 2 равные части(половинки)одна из двух равных частьй наз-ся ½ доля,в целом яблоке 2/2.Яблоко разрезали на 4 равные части(4доли)каждая равная часть ¼ доля,в яблоке 4/4 доли.Нахождение доли от числа:вырежи полоску длинной 12м.раздели на 4части,раскрась 1/4часть полоски.Как узнать длину этой полоски?(12:4*1=3м).Нахождение числа по доли:Длинна ¼=3м.Как узнать длину всех полос?Ск-ко 4х долей в полоске?.Сравнение дробей проводится чисто практически с помощью:полосок бумаги,прямоугольников,квадратов.

19.методика обучения решению задач на нахождение 4-го пропорционального и пропорциональное деление.Задача на нахождение 4го пропорционального присутствуют 3величины одна из к-ых не известна,но сказана что постоянна.Для др.величины даны 2значения,для 3й величины известно одно значение,а др.нужно найти.Н-р:в 6 одинаковых коробках 84 кансервов.Ск-ко банок консервов в 3х одинаковых коробках.1сп-б:1)84:6=14(б)-в 1кор.2)14*3=42(б)-в 3х кор.-сп-б обратного приведения к единице.2сп-б:сп-б отношений1)6:3=2 раза коробок меньше;2)84:2=42(б)-в 3х коробках.Каждую из этих задач можно решить сп-ом нахождения значения постоянной величины,т.е.с начало найти значение постоянной величины а затем используя ее найти искомую.Задачи на пропорциональное деление.Вводятся в 3 кл.эти задачи вкл.2 переменные величины,связанные пропорциональной зависимостью,и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соотвествующих значений другой переменной: слагаемое этой суммы явл. искомыми. В нач. курсе мат. задачи на проп. деление решается только способом нахзождения значения постоянной величины. На подготовительном этапе необходимо сформировать у мл. шк. твердое умене решать задачи на нахождение 4 проп. 2тап. школьниками на доске используется краткая запись. учитель исправляет таблицу и просит составить задачу по исправленной таблице. Пр.Учитель просит составить школьников составить задачу по таблице. Для того чтобы школьнику было легче работать с новой задачей учитель задает сл. вопросы: -Что требуется узнать из задачи? –что значит каждый уплатил одно кол-во? можно ли узнать цену, почему нельзя? и т.д. Задачи такого плана решаются только по Занкову. На этапе решение задачи записывается в форме с пояснением и действиями. После этого шк. решают задачи к-е даются уже в готовом виде. при этом учитель должен научить шк. 1)расчлинять вопрос на 2 вопроса. 2)выяснить к-е из искомых чисел должно быть больше и почему? Рассуждения обучно идут от вопроса к данным. Проверка решения выполняется способом установления соотвествия м\ду числами полученными в ответе и данными. Закрепление. На этом этапе происходит обобщение способа решения данного вида задач. На этом этапе целесообразно давать готовые задачи так и на составлеие и преобразование.

17.Геометрич.понятия в нач.курсе матем.Основой формир-ия у детей представлений о геометрич фигурах яв-ся сп-сть их к восприятию формы.Эта сп-сть позволяет реб-ку узнавать,различать и изображать различные геометрич.фигуры:точку,прямую,кривую,ломаную,отрезок,угол,многоугольник,квадрат,прямоугольник и т.д.Такое знакомство уч-ся с геометрич фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ,поэтому,если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети м/т допускать ошибки.Поэтому восприятие геометрич фигуры как целостного образа-лишь первый этап в формир-ий геометрич представлений реб-ка.В дальнейшем н/о сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из к-ых состоят геометрич фигуры,и на их существенных признаках.Элементарная геометрич фигура-точка.Любую другую геометрич фигуру м/о рассматривать как мн-во точек.Через точку м/о провести различные линии.Опираясь на свой жизненный опыт,ребенок сам-но справляется с задачей проведения линий через точку и даже сам м/т их назвать соответствующими терминами:«кривая»,«прямая» линии.При этом прямые линии целесообразно не только изображать на листе бумаги,но и используя в качестве модели плоскости тот же лист.Это позволит им практически убедиться в том,что через две точки можно провести только одну прямую.Полезно, чтобы в процессе выполнения различных упр-ий дети научились различать такие понятия, как:«точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две линии», «точка принадлежит линии».Уч-ся м/т находить (узнавать) прямые и кривые линии на различных геометрич фигурах, как на плоских - круг, квадрат, многоугольник, так и на объемных-куб,конус,цилиндр,шар.В пр-се такой д-ти у них формир-ся обобщенные образы понятий «прямая» и «кривая» линии.Кривые линии м/б замкнутые и незамкнутые.Уч-к легко усваивает эти понятия.При знакомстве с отрезком следует выделить такие его признаки, ориентируясь на которые шк-ки могли бы легко узнавать эту геометрич фигуру.Для этого прежде всего нужно обратить их внимание на то,что отрезок имеет начало и конец и что его следует проводить по линейке.Если уч-ков познакомить с отрезком после введения понятия «длина»,то,помимо названных признаков данного понятия,стоит отметить,что у любого отрезка можно измерить его длину.Дети м/т сам-но прийти к выводу,что те прямые линии,к-ые ими выделены на различных фигурах,по сути дела яв-ся отрезками,т/к в них фиксируются начало и конец.Ориентируясь на рассмотренные признаки отрезков,уч-ся находят их на различных геометрических фигурах: плоскостных и объемных.Имея представление о точке, отрезке и угле, шк-ки м/т находить эти геометрич фигуры в треугольниках, четырехугольниках, прямоугольниках и квадратах, выделяя в качестве их элементов вершины (точки), стороны (отрезки) и углы. Ориентирурсь на эти элементы, дети м/т распознавать треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д., называя все эти фигуры многоугольниками. Оперируя с объемными телами, третьеклассники легко усваивают такие термины, как грань (многоугольник), ребро (отрезок), вершина (точка).Если конец одного отрезка яв-ся началом другого, конец второго - началом третьего и эти отрезки образуют между собой угол, то мы видим ломаную линию, к-ая м/т быть так же, как и кривая, незамкнутой и замкнутой (многоугольник).Определенную трудность для мл.шк-ов представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные признаки фигуры они еще не овладели. Поэтому очень важно продумать последовательность вопросов, организующих д-ть детей, направленную на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата. Для этой цели уч-ль м/т показать различные фигуры. Сначала следует выяснить, как можно их назвать (многоугольники). Затем предложить уч-ся показать и назвать многоугольники, у к-ых три угла и три стороны четыре угла и четыре стороны;пять углов и пять сторон и т. д. После этого предложить им оставить на фланелеграфе только четырехугольники. Затем из них выделить те, у которых один, два, три, четыре прямых угла (после нескольких попыток некоторые ученики догадаются, что четырехугольников с тремя прямыми углами вообще быть не может). Дети выполняют задание учителя, сначала прикидывая «на глаз», какие углы м/б прямыми, затем проверяют свое предположение с помощью модели прямого угла.В рез-те выделяются четырехугольники, у к-ых все углы прямые. Они имеют название - прямоугольники. Среди прямоугольников можно выделить такие, у к-ых все стороны равны. Это квадраты. Отн-ия между понятиями многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат представлены схематически

28.Формирование приемов умственных действий в процессе обучения мл. шк-ков математике (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение).Анализ-выделение св-в объекта,или выделение объекта из группы,или выделение группы объектов по определенному признаку.Синтез - соединение различных элементов (признаков, свойств) в единое целое.В психологии анализ и синтез рассматриваются как взаимодополняющие др.др.пр-сы (анализ осущ-ся через синтез,а синтез -через анализ).Аналитико-синтетическая мыслительная деятельность позволяет ребенку рассматривать один и тот же объект с различных точек зрения: как большой или маленький, красный или желтый, круглый или квадратный и т.д.Однако речь не идет о введении большого кол-ва объектов,как раз наоборот,сп-ом организации всестороннего рассмотрения является прием постановки различных заданий к одному и тому же математическому объекту.Сравнение - логический прием умственных действий, требующий выявления сходства и различия между признаками объекта (предмета, явления, группы предметов).Выполнение сравнения требует умения выделять одни признаки объекта (или группы объектов) и абстрагироваться от других. Для выделения различных признаков объекта можно использовать игру "Найди это по указанным признакам": "Что (из этих предметов) большое желтое? (Мяч и медведь.) Что большое желтое круглое? (Мяч.)" и т. д.Классификация - разделение множества на группы по какому-либо признаку, который называют основанием классификации. Классификацию можно проводить либо по заданному основанию, либо с заданием поиска самого основания (этот вариант чаще используется с детьми шести-семи лет, так как требует определенного уровня сформированности операций анализа, сравнения и обобщения).Обобщение-это оформление в словесной (вербальной) форме результатов процесса сравнения.

5..Операции над мн-ми.Объединение,дополнение подмн-в.Объединением мн-в А И В наз-ся мн-во состоящее из тех и только тех элементов к-е пренадлежат хотя бы одному мн-ву(т.е. или А,или В,или 2 одинаковым).АUВ={x;xєАилиВ}.Изображение на кругах Эйлера:Примеры:1)А={1,3,6};B={2,4,6,8};AUB={1,2,3,4,6,8};2)Aмн-во чисел кратных 3;Вмн-во четных чисел;АUB=мн-во чисел кратных 3 или мн-во четных чисел;3)А=(-∞;5)В=[0;+∞)AUB=(-∞;+∞).Св-ва

объединения:коммутативность(AUB=BUA);ассоциативность((AUB)UC=AU(BUC));дистрибутивность относительно пересечения(AU(B*C)=(AUB)*(AUC)).Дополнением мн-ва А наз-ся мн-во,сост-е из элементов,не принадлежащих мн-ву А и обозначается .Н-р:найдем дополнение мн-ва Вдо мн-ва А,если:1)А-мн-воN;В-мн-во четныхN.В’_А-мн-во нечетныхN.2)A=[2;12];B=[3;10],В’_А=[2;3]U[10;12].

6.Операции над мн-ми.Пересечение.Равные мн-ва.Пересечением мн-в А и В наз-ся мн-во состоящее их тех и только тех элементов которые принадлежат и мн-вуА и мн-вуВ одновременно(т.е.их общая часть).АиВ={x/xєA,xєB}.Изображение на кругах Эйлера:Н-р:1)найти пересечение мн-в СиД если С=а,б,в,г,д,е.Д=а,ж,з,е,к.СпересекаетД=а,е;2)найти пересечение мн-в решений 2-х неравенств:x>-2;х>0.(0;+∞);3)а-мн-во чисел кратных3;б-мн-во четных чисел,пересечением а и б явл-ся четные числа кратные3.Св-ва пересечения: коммутативность(А*В=В*А); ассоциативность((А*В)*С=А*(В*С)); дистрибутивность относительно объединения(A*(BUC)=(A*B)U(A*C)).Равные мн-ва.Два мн-ва А и В наз-ся равными(А = В),если они состоят из одних и тех же элементов,т.е.каждый элемент мн-ва Аявл-ся элементом мн-ваВ и наоборот,каждый элемент мн-ва В явл-ся элементом мн-ваА,порядок записи элементов мн-ва не существен.А=2,4,6 В=6,4,2 А=В.

7.Отношения на мн-ве.Сп-бы их задания.Св-ва отношений.В математике изучают не только связи между элементами двух мн-тв,но и связи между элементами одного мн-ва.Наз-ют их отношениями.Отношения многообразны-это отношения ро­да и вида,части и целого;между предложениями-отношения следо­вания и равносильности;между числами-«больше»,«меньше»,«равно»,«больше на...»,«меньше на...».Отношением на мн-ве X наз-­ся всякое подмн-во декартова произведения (RcXxY,где хєХ,уєХ).Отношения обозначаются прописными буквами латинского алфавита:K,P,S,Q.Сп-бы задания отношений:x={1,2,3,4} K:«кратно у»:1)парами R={(1;1),(2;1),(3;1),(4;1),(4;2),(4;4),(2;2),(3;3)};2)графом:3)графиком;4)специальные обозначения(символы) а//в,х┴у,х÷у,х<у,а>в;5)указание хар-кого св-ва:«х делить у»,«х меньше у в 3 раза»,хRу-элемент х находится в отношении R с элементом у.Св-ва отношений:а)отношение R на мн-ве Х наз-ся рефлексивным если,о любом элементе мн-ва Х можно сказать,что он находится в отношение R с самим собой.R рефлексивно на мн-ве Х<=>хRх для любого элемента хєХ.Н-р:R:«параллельности, равенства,кратности»граф образует петлю.б)отношение R антирефлексивно если из одного хєХ не выполняется отношение хRх.Граф не содержит ни одной петли.в)отношение R на мн-ве Х симметрочно если из того что элемент х находится в отношение с элементом у следует,что элементы у находятся в отношение R с элементом Х. Rсимметрично на мн-ве Х<=>xRy y=>yRx.Н-р:R быть //,равны,быть однокурсником,быть сестрой.г)отношение R на мн-ве Х наз-ся антисимметричным если для различных элементов из мн-ва Х из того,что элемент Х находтся в отношение R с элементом у,следует,что у в отношение с х не находится.R антисемметрично на мн-ве Х<=>хRy=>¯yRx xне=у.Н-р:быть длиннее,16 делится на 4.д)отношение R на мн-ве Х наз-ся транзитивным если из того,что элемент х находится в отношение R с элементом у и у находится в отношение R c Z=>что Х находится в отношение R c Z.R транзитивно на мн-ве Х<=>xRy и yRz=>xRz.Н-р:быть братом,быть//,быть длиннее.

8.Отношение эквивалентности и его связь с разбиением мн-ва на кл.Отношение порядка.Про отношение равенства дробей говорят,что оно является отно­шением эквивалентности.Отношение R на множестве X называется отноше­нием эквивалентности,если оно одновременно обладает св-­ми рефлексивности,симметричности и транзитивности.Примерами отношений эквивалентности могут служить отноше­ния равенства геометрических фигур,отношение параллельности прямых(при условии,что совпадающие прямые считаются параллельными).Вообще,если на мн-ве X задано отношение эквивалентности,то оно порождает разбиение этого мн-ва на попарно непересекающиеся подмн-ва(классы эквивалентности).Во-первых,эквивалентный-это значит равносильный,взаимо­заменяемый.Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы.Во-вторых,поск-ку в классе эквивалентности оказываются эле­менты,неразличимые с точки зрения некоторого отношения,то счи­тают,что класс эквивалентности определяется любым своим предста­вителем,т.е.произвольным элементом этого класса.В-третьих,разбиение мн-ва на классы с помощью отноше­ния эквивалентности исп-ся для введения новых понятий.Верно и обратное утверждение:если какое-либо отношение заданное на мн-ве Х определено разбиение этого мн-ва на классы,то это отношение есть отношение эквивалентности.Другим важным видом отношений являются отношения порядка.Отношение R на мн-ве X наз-ся отноше­нием порядка,если оно одновременно обладает св-ми антисимметричности и транзитивности.Примерами отношений порядка могут служить:отношение «мень­ше» на мн-ве натуральных чисел;отношение «короче» на мн-ве отрезков,поск-ку они антисимметричны и транзитивны.Если отношение порядка обладает еще св-ом связанности,то говорят,что оно явл-ся отношением линейного порядка.Н-р,отношение «меньше»на мн-ве натуральных чисел явл-ся отношением линейного порядка,т.к. обладает св-­ми антисимметричности,транзитивности и связанности.

24.Декартово умножение.Изображение декартова произведения на плоскости.Основные законы.В нач.кл.уч-ся решают задачу,используя цифры 1,2,3.образовать всевозможные числа путём подбора дети получают 11,12,13;21,22,23;31,32,33.Запись каждого полученного числа состоит из 2х цифр,причём существен порядок их следования.н-р: из цифр 1и2 образовано два различных числа 12,21.в том случае,когда важен порядок следования элементов мн-ва в матем.Говорят об упорядоченных наборах элементов. Мы имеем дело с упорядоченными парами.Обозначение (а,в) (х,у) а-первая компонента, в-вторая компонента(координата).Пары:а,в и с,d будут равны, еcли а=с,в=d.Числа:11,22,33 м/о рассмотреть как упорядоченные пары(1,1). (2,2), (3,3).Возьмём мн-во А состоящее из элементов (1,2,3) А={1,2,3} В={3,5} Образуем упорядоченные пары {(1,3),(1.5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)}=С.М/о поставить задачу6 образовать всевозможные двузначные числа С={13.15,23,25,33,35}.Это новое мн-во С наз-ся декартовым произведением мн-в А и В.Опред: декартовым произ-ем мн-в А и В наз-ся мн-во пар, первая компонента, к-ого принадлежит мн-ву А, а вторая компонента принадлежит мн-ву В. Обозначение декартова произ-ия АхВ=С.Операцию при помощи к-ой находят декартово произ-ие наз-ся декартовым умножением мн-в.

Способ задания декартова произ-ия –табличный.

а	в
	(1,3)	(1,5)
	(2,3)	(2,5)
	(3,3)	(3,5)

В мат-ке рассматривают не только упорядоченные наборы из 3,4и т.д.элементов. Такие наборы наз-ют кортежами.Н-р:(1,2,5) кортеж длина к-ого равна трём элементам(5,2,3,4,5)-кортеж длина к-ого равна 5. Опред: Декартовым произ-ием мн-в А1,А2..Аnназ-ся мн-во кортежей длинной n образованных так, что первая компонента кортежа принадлежит мн-ву А1, а вторая мн-ву А2,3-А3 и т.д.n-Аn. Обозначение: А1хА2хА3…Аn.Н-р: А1={2,3} А2={3,4,5} А3={7,8} А1хА2хА3={(2,3,7),(2,4,8),(2,5),(3.3,7),(3,4,8),(3,5)}

Св-ва:1.переместит-ым св-вом декартово произ-ие не обладает.АхВне равно ВхА.А={1,2,3}АхВ={(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)}В={3,5} ВхА={(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3)};2.сочетат-му закону декартово произ-ие не подчиняется;3.Распред-ое св-во декарт.произ-ие справедливо.Изображение декартова произ-ия на плоскости.Примеры

1.изображение прямой. координатная прямаяА-_3-----0---1---2----->А(2) К(-3) (ОА)=2 (ОК)=3;2.задать плоскостьА) А= 1,2,3} В={3,5} АхВ={(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3).(3,5)}Б)А€R? В€к.Вся координатная плоскость.В)А=R,В=[3,5].Образуется полоса

26.Отношение "равно"и"меньше"на мн-ве ц.н.ч.С теоретико-множественной позиции мож­но рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».В аксиоматической теории определение отношения «меньше на»(«больше на»)есте­ственным образом вытекает из определения отношения «меньше».Действительно,из того,что а < b тогда и только тогда,когда существует такое натуральное число с, что а + с = Ь,имеем,что «а меньше b на с»или«Ь больше а на с».Если а = п(А),b = п(В) и установлено,что а < Ь,то,исходя из тео­ретико-множественного смысла отношения «меньше»,в множестве В можно выделить собственное подмн-во В,равномощное множе­ству А,и непустое мн-во В\В\.Если число элементов в мн-ве В\В1 обозначить через с (с не= 0),то в мн-ве В будет столько же элементов,ск-ко их в А,и еще с элементов:п(В)=п(В)+п(В\В1)или b=а + с,что означает,что«а меньше b на с»(или «больше а на с»).Итак,с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с»(или «b больше а на с»)означает,что если а=п(А),b=n(B), то в мн-­ве В содержится столько элементов,ск-ко их в А,и еще с элементов.Следовательно,чтобы узнать,на ск-ко одно число меньше или больше другого,надо из большего числа вы­честь меньшее.Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами,теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.Рассмотрим,н-р,такую задачу:«На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше.Ск-ко на столе ложек?»Легко видеть,что она решает­ся при помощи сложения. Почему?В задаче речь идет о двух мн-ах: мн-ве чашек(А)и мн-ве ложек(В).Известно,что в первом множестве 5 элементов,т.е.п(А)=5.Число элементов во втором мн-ве требуется найти при условии,что в нем на 2 элемента больше,чем в первом.Отношение«больше на 2»означает,что в мн-ве В элементов столько же,ск-ко их в А,и еще 2 элемента (рис.).Применимо к тем мн-вам,о к-ых идет речь в задаче,это означает,что ложек на столе столько же,ск-ко чашек,и еще 2.Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся мн-в,получаем:п(В)-п(В1)+п(В\В1)=5 + 2.Т.к.5+2=7,то получим ответ на вопрос задачи:на столе 7 ложек.

27.Теоретико-множественный смысл частного ц.н.ч. и натурального числа.Определение частного через сумму,произведение.Условия существования частного на мн-ве ц.н.ч.Известно, что кол-ное натуральное число а получается в рез-те счета элементов конечного мн-ва А а=n(А).Но это же число а либо получено при счете элементов другого мн-ва В, т.е. а=n(В).Если кол-во n(А)=n(В)следует что мн-ва А и В наз-ся равномощными А В.Это значит,что мн-ва содержат элементов поровну,т.к.любому непустому конечному мн-ву соответствует одно натуральное число,что вся совокупность конечных мн-в разбивается на классы равномощных мн-в.В одном классе содержаться все одноэлементные мн-ва, в др.двухэлементные,в третьем-трехэлементные и т.д.Мн-ва одного класса содержат одинаковое кол-во элементов,но они различны по своей природе и это число можно рассматривать как общее св-во класса конечных равномощных мн-в,т.о.с т-м т.з.натуральное число-это общее св-во класса конечных равномощных мн-в.Число «три»можно сказать,что это общее св-во класса мн-в,равномощных,н-р,мн-ву сторон треугольника.Число «четыре»-это общее св-во класса мн-в,равномощных,н-р,мн-ву вершин квадрата.Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого мн-ва: 0 = n(0).Итак,натуральное число а как хар-ку кол-ва можно рассматривать с двух позиций:1)как число элементов в множестве А,получаемое при счете,т.е.а= п(А)причем А ~ Nа;2)как общее св-во класса конечных равномощных мн-в.В аксиоматической теории деление определяется как операция,об­ратная умножению,поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. a*b=с => a=с:b=>b=a:c.Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с:b и с:а.Известно, что с=a*b=n(А1UА2U... UАb),где n{А1)=n{А2)=...=n(Аb).C теоретико-множественной точки зрения де­ление чисел оказывается связанным с разбиением конечного мн-ва на равночисленные попарно непересекающиеся подмн-ва и с:а-число подмн-в мн-ва А,а частное с:b-число элементов в каждом подмн-ве этого разбиения.

24. Изучение величины «Массы», «Объема».Первые представления о том,что предметы имеют массу,дети получают в жизненной практике.Еще до знакомства с темой «Масса» уч-ся из собственного опыта знают,что многие из окружающих их предметов связаны отношениями «тяжелее»,«легче»,«одинаковы»:При формировании понятия массы тела,опираясь на имеющиеся у детей представления,работа организуется следующим образом (методика предложена Истоминой Н.Б.).

Ситуация 1. На столе учителя стоят два одинаковых по цвету и размеру кубика. Никаких внешних признаков различия учащиеся обнаружить не могут. Но один кубик бумажный, а другой деревянный.

Учитель подчеркивает, что различие между кубиками все-таки существует. Учащиеся пытаются разгадать, в чем же различие. У некоторых учеников возникает желание рассмотреть кубики поближе, взять их в руки. Взяв кубики в руки, они обнаруживают, что один из них тяжелее другого. Таким образом, понятие масса учитель вводит, опираясь на ощущения детей, которые выражаются словами тяжелее, легче. Учитель уточняет, что учащиеся познакомились еще с одним свойством предметов, которое называется масса. Вместо слов тяжелее, легче можно употреблять слова больше, меньше: масса одного предмета больше или меньше массы другого.Ситуация 2. Учитель дает учащимся две книги, которые очень незначительно отличаются по массе, и спрашивает, какая книга легче? Какая тяжелее? (Масса какой книга больше или масса какой книги меньше?) Мнения учащихся, естественно, не совпадают. Возникшие разногласия учитель использует для того, чтобы познакомить учащихся с весами. Оказывается не всегда можно сравнить предметы по массе, взяв их в руки (с помощью ощущений). Для сравнения масс пользуются простейшими чашечными весами. Учитель знакомит учащихся с весами, рассказывает об их устройстве, зарисовывает схематическое изображение весов. Затем учащиеся с помощью весов наглядно сравнивают величины (массы). Внимание учащихся следует обратить на положение стрелок, когда на чашках весов нет никаких предметов, а затем пронаблюдать, как изменится положение стрелок, когда на чашки весов будут положены книги. Учащиеся заранее могут высказать предположение о том, как изменится положение стрелок. Во 2 классе происходит знакомство с граммом. Название этой единицы измерения уже известно детям, учитель только формирует наглядное представление о грамме. С этой целью детям демонстрируют различные виды весов и разновесы к ним. Показывают гирьки в 1г, разновес из гирь до 100 г. При практическом взвешивании с точностью до грамма, действиями с полученными результатами дети углубляют свои знания нумерации в 1000. Хорошим наглядным пособием является циферблат весов, на котором кг разбит на сотни г, десятки г и единицы г. учащиеся сравнивают емкость или вместимость различных сосудов. Вначале сравнение проводится на глаз (сосуды значительно отличаются по своей емкости). Например, предлагается сравнить, куда войдет воды больше: в банку или в кастрюлю. Перед учащимися ставятся пол-литровая банка и кастрюля емкостью 2-3 л, измеряется, сколько банок воды входит в кастрюлю.

22.изучение величины «Площадь» в НКМ.Особенности изучения величин в начальном курсе математики. Давыдов дал простое понятие величина- это признак объекта по к-му его можно уровнять.Площадь. в 3, 4 кл. 1)учим действовать на глаз и методом наложения. 2)используем фигуры – неодинаковые- для обоснования введения мерок. Мерка может быть и треугольники. Квадрат 1см в кв. Изучении введения 1кв дм. Сначала мы учим детей находить площадь фигуры. ширину на длину =площадь. частный случай это квадрат. Вычисление площади с пом палетки. Вычисляем кол-во полных квадратов и неполных. Площадь фигуры находится как суммы кол-ва полных квадратов и половину неполных. Палетка- это прозрачная пленка разделенная на одинаковое число квадратов. В ходе изучения темы вводятся понятие как гектар и ар. ар=100*100. гектар=10*10. Площадь в Гармонии. 1.площадь изучается в 3 классе. во взаимосвязи с изучением умножения. стр14 3кл. Дается задания с пом. мерок. рассматривается периметр многоугольника. + есть такое же в р.с. Занкова. 1)описание любой ситуации. 2)какие эмоции я при этом испытываю 3.почему я испытываю эти эмоции. 4.какие выводы я могу сделать из происходящего для своей проф. д.

23. Изучение величины «Время» в НКМ. Время. Трудности связанные с изучением времени связаны с тем, что в зависимости от эмоционального состояния человека время для него как он его осознает может замедлять совой ход или ускорять. большое кол-во единиц измерения времени и их кратность некоторых Пр.что короче урок или перемена?. 1час ночи, и 1 час дня. 1)часы: песочные, герьевые, электронные, с кукушкой, наручные, куранты, календари (отрывной, перекладной, вечные, лунные,) и т.д Нужно уметь пользоваться 3 измерительными приборами. 1 часы с циферблатом и 2.табель календари. Иногда дети не могут осознать что такое маленькая и большая стрелочка. При изучении времени особое внимание уделяется изучению как инструментов данной величины так и соотношение единиц измерения данной величины. Для этого составляются спец. таблицы. Секунда –начиная с 3го Кл. школников учат записывать дату сл. образом 22.06.06. Задания на перевод из одних ед. в др. Задания от 1,15 ч. вычесть 15мин. При изучении календарей возможно исследование и проектная д. как на уроке так и во вне учебной д.

25. Изучение длины и единиц ее измерения. а)проверяем представление о длине у дошкольников. Пр. какие выше какие ниже? длинее короче? на глаз. Идет после изучения числа 10. Линейка и циркуль. простые карандаши. б)После этого берутся полоски методом наложения и приложения. После этого прикладывают дети..что длинее, а если они нарисованы? Вывод: мерки должны быть одинаковы. пр.Измеряем разными мерками- модель сантиметра. 2)работа с чертежными интсрументами. а)учим измерять с пом. линейки. –прикладываем так чтобы начало отрезка совместилась с нулем. –находим конец отр. и и на линейки подчеркнуть. –считаем сантиметры. б)сложение отрезков и вычитание отрезков они вырабатываются через задания. пр.для отрезок длиной 5 см. Начертите отрезок на 2 см. больше или меньше данного. Сложение и вычитание именованных чисел. Вводим новую ед.- это дециметр. Берутся 2 полоски – одна синяя др. красная. просим измерить 1 меркой и др. большой удобней измерять. Это называется дециметр. 1см=1дм. 1дм=10см. Отводить надо время о старинных мерах длины. Школьники лучше все усваивают наглядно. Потом знакомятся с километром. при каждом вводе соотв. длин шк. расширяют по соотношению единиц длины. 1м=1000мм. и т.д. Удобно использовать как линованную так и не линованную бумагу. Должны хорошо усвоить что измерительным прибором может быть все что угодно, Пр.части тела, длина объекта.

26.Простые текстовые задачи на сложение и вычитание.Текстовые задача-это разъяснение на языке с требованием дать кол-во хар-ку какого либо компонента,установить наличие или отсутствие м\у ее элементами или определить вид этого отношения.Текстовые задачи–это текст состоящий из условия и требования вопроса,к-й взаимосвязаны.Решение задач имеет чрезвычайно важное значение прежде всего для формирования у детей полноценных мат. понятий, для усвоения ими теоретических знаний,определяемых программой.О сложении: нужно чтобы дети решили большое кол-во простых задач на нохождение суммы,каждый раз объединение м-в.Пр.4 палочки потом еще 2 палочки.Дети постепенно будут овладевать понятием о действии сложения.Нахождение неизвестного слагаемого, или уменьшаемого и т.д.–усваивают связь м\у компонентами и рез-ми арифметич. действий.Задачи дают возможность связать теорию с практикой,обучение с жизнью.Реш. задач формирует повседневной жизни.Н-р подсчитать стоимость покупки.Решая задачи,ученик убеждается, что многие мат-ие понятия(число,арифметические действия и др.)имеют корни в реальной жизни,в практики людей.

30. Методика работы с задачами на движение.Задачи на движение.Школьники на конкретных примерах разъясняется смысл данного понятия а именно скорость- это некоторое расстояние пройденное за единицу времени. Трудность состоит в том что расстояние и длина это одно и тоже. После этого детям даются сл. задания. пр. Акула каждый час проплывала по 50км. Затем учитель конструирует вместе со шк. единицы измерения скорости. км\ч, м\ч, с\ч. Кто может с такой скоростью двигаться? –школьникам предлагается выписать встолбик единицы измерения длины, а в др. столбик единицы времени. –затем учитель предлагает записать на языке мат-ки фразы. Скорость=км\ч. –далее учитель задает вопосы. Какой объект может двигаться со скоростью км\ч? –затем при постоянной единицы времени меняется и так получаются новые ед. –затем учитель рассказывает о тройке взаимосвязанных величин v=s\t. –затем дети знакомятся с простыми задачами. При анализе данной задачи (пешеход проходит 5 км\ч. Сколько км. он проходит?) вводятся модели в табличном виде и вводятся либо схемы либо чертижи. После этого шк-ов знакомят с видами движений используя прием театрализации или представления.Раскрытие связей м\ду величинами: скорость, время, расстояние ведется по такой же методике, как и раскрытие связей м\ду другими пропорциональными величинами. Задачи на встречное и противоположное движение. Каждая задача имеет 3 вида в зависимотси от данных и искомых. 1вид.даны скорость каждого из тел и время движения, искомое-расстояние. 2вид. Даны скорость каждого из тел и расстояние, искомое- время движение, 3вид. Даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое- скорость другого тела.Задачи на встречное движение. такие задачи наиболее удобно решать с пом. геом. метода т.е. с пом графика. Детям на практических заданиях разъесняется:-чем больше расстояние тем больше скорость. Также на подготовит. этапе знакомятся с прибором для измерения скорости–спидометр.Детям предлагает модель или рисунок. При изучении данной темы особое внимание надо уделять чтобы шк-ки выражали своим мысли и обоснование своих действий на слух.- школьники должны уметь для описания задач как табличной модели так и моделей.а)создает настрой б)если реб. проводит действия то быстрее запоминает. в)в нач. курсе мат. не дается переводы алгоритмы из одних измерений в др.Данная тема изучается обычно в 1 классе.Во 2м полугодии учителям рекомендуется использовать такие разнообразные задания для улучшения кругозора и умения, интерес к теме.При выполнении д\з обязательно нужно учитывать то какие задачи мы решали на уроке.Обычно домой задаются аналогичные задачи тем, что рассматривались в классе.Для закрепления: составление обратных пропорциональных и их решение.

9.Ознакомление уч-ся с действием деление.Делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель.Число,к-ое делят, называется делимым; число, на которое делят, называется делителем; число, которое получается в результате деления, называется частным.Если сравнить деление с умножением, то получим следующий вывод: при умножении даются два числа (например, 8 х 3), а отыскивается их произведение (24); при делении даётся произведение (24) и один из сомножителей (например, 8), а отыскивается другой сомножитель (3). Таким образом, число, которое при умножении является искомым, при делении оказывается данным, и наоборот. Поэтому деление называют действием, обратным умножению. Основные свойства деления.Первое свойство.Допустим, что нам нужно разделить на 2 сумму чисел 4 и 6. Это можно записать так:(4 + 6): 2.Можно было бы сначала выполнить сложение, а затем деление, т. е.:1) 4 + 6 = 10;2) 10: 2 = 5.Но тот же самый результат мы можем найти и другим путём: сначала каждое слагаемое разделим на 2, а потом сложим результаты, т. е.:1) 4: 2 = 2;2) 6: 2 = 3;3) 2 + 3 = 5.Результат получился тот же самый. Его можно записать следующим образом:(4+ 6):2 = 4:2 + 6:2 = 2 + 3 = 5.Это свойство можно высказать так: чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить. (Предполагается, что все деления выполняются без остатка.)Это свойство справедливо для любых чисел. При помощи букв его можно записать так:(а + b): с = а: с + b: с.Второе свойство. Пусть требуется разделить на 3 разность чисел: 18 и 6. Это можно записать с помощью скобок так:(18-6): 3.Найдём сначала разность чисел, заключённых в скобки, а потом сделаем деление:1)18-6 = 12;2)12:3 = 4.Теперь попробуем решить этот пример иным путём: разделим сначала на 3 уменьшаемое (18), потом разделим на 3 вычитаемое (6) и из первого частного вычтем второе.1)18: 3 = 6;2) 6: 3 = 2;3)6-2 = 4.Результат получился тот же самый; его можно записать следующим образом:(18-6):3=18: 3-6:3 = 6-2 = 4.Это свойство можно высказать так: чтобы разделить разность на какое-нибудь число, достаточно отдельно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе. (Предполагается, что и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на это число без остатка.).При помощи букв это свойство можно записать так:(а-b):с =а:с-b:с.

29.Методика ознакомления с задачами на взаимосвязь величин.ВЕЛИЧИНА-это особое свойство реальных объектов или явлений,и особенность заключается в том,что это св-во можно измерить, то есть назвать кол-во величины, к-ые выражают одно и тоже св-во объектов,наз-ся величинами одного рода или однородными величинами.Н-р,длина стола и длина комнаты-это однородные величины.Величины-длина,площадь,масса и другие обладают рядом св-в:1)Любые две величины одного рода сравним;2)Величины одного рода можно складывать,в рез-те сложения получится величина того же рода.Решение задачи разными способами, получение из нее новых, более сложных задач и их решение создает предпосылки для формирования у ученика способности находить свой "оригинальный" способ решения задачи, воспитывает стремление вести самостоятельно поиск решения новой задачи, той, которая раньше ему "не встречалась". Широкие возможности в этом плане дают задачи с пропорциональными величинами. Поиск разных путей решения таких задач способствует осознанию причинно-следственных связей, накоплению представлений о функциональной зависимости величин, осуществлению подготовки учеников начальных классов к изучению функций в последующих классах.Использование прямо и обратно пропорциональных зависимостей величин при решении задач(скорость, время, расстояние),позволяет находить отличные от традиционного способ решения.Поиск другого способа решения задач на основе применения указанной зависимости величин.

12.Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.Определение разности через сумму.Условия существования разности на мн-ве целых неотрицательных чисел.Теоретико-множественный смысл разности.В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел было оп­ределено как операция, обратная сложению:а-Ь=с <=> (Э с е N) b + с=а.* 7-5=2<=>5+2=7;c=2.Теорема. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выпол­няется равенство n (А \В) = n(А) -n(В).Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и Ъ представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = п(А), B = п(В) и В c А:а-Ь= п(А) – п(В) = п(А\В), если В с А.Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычита­ния: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. - Сколько лип росло у школы?»В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревь­ев; множество В берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию п(А) - 1, п{В) = 4 и В с А, то и(С) = п(А\B) = п{А) -п{В) = 7-4. Разность 7 - 4 - это математическая модель дан­ной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7-4 = 3. Следовательно, у школы росло 3 липы.Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотри­цательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила: «Если а,Ь,с - натуральные числа и а > с, то (а + Ь) - с = (а - с) + Ь».Пусть А, В и С- такие множества, что п(А) = а, п(В) = Ь и А лВ = 0, С с А. Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство (А и В)\С = (А\С) и В. Но п((А и В)\С) = = п(А и В) - п(С) = (а + 6) - с, а п((А\С) и В) = п(А\С) + п(В) = (а-с) + Ь. И следовательно, (а + Ь) - с = (а - с) + Ь, если а > с.

13.Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел.Определение произведения через сумму.Законы.Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения«непосредственно следо­вать за»и сложении.В школьном курсе математики используется дру­гое определение умножения,оно связано со сложением одинаковых слагаемых.Теорема.Если b>1,то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых,каждое из к-ых равно а.Если a,b-целые неотрицательные числа,то произведением а и Ь наз-ся число,удовлетворяющее следующим условиям:1)a*b = а + а+... + а +а, если b > 1;2) а*Ь =а, если b = 1;3) а*Ь = 0, если b = 0.

C теоретико-множественных позиций а*Ь (b > 1)представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пере­секаются.a*b=n(A1UA2UA3...UAb), если n(A1)=n(A2)=...=n(Ab)=a и А1,А2,....Ab попарно не пересекаются. Т-М трактовка произведения позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.Н-р,«На одно пальто пришива­ют 4 пуговицы.Ск-ко пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?»Выясним,почему она решается при помощи умножения.В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 эле­мента.Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если п{А1)=п{А2)=п{А3)= 4,то п(А1UА2UA3)= п{А1) + n(A2) + n(A3)= 4 + 4 + 4 = 4*3.Произведение 4*3 является математической моделью данной задачи.Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел.Оно связано с понятием декартова произведения множеств.C теоретико-множествен­ной точки зрения произведение а*b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n(А) = а, n(В)=Ь.a*b =n(А) *n(В) = n(АхВ).

---

Дата добавления: 2015-08-28