ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ.
ЗАДАНИЕ 1
Для определителя 
найти алгебраические дополнения элементов
аi,2; a3j
Вычислить определитель
а) по правилу треугольника
б) разложив его по элементам i- той строки;
в) разложив его по элементам j- того столбца;
г) получив предварительно два нуля в i- той строке(i=1,j=3)
Решение
Найдем алгебраические дополнения А12 и А33 для элементов а12 и а33
Вычислим определитель
а) 
б) разложив его по элементам первой строки (i=1)
в) Разложив его по элементам третьего столбца(J= 3)
г) получив два нуля в первой строке
Сначала умножим 3ю строку на число 2 и вычтем ее из первой, затем из 2 го столбца вычтем третий
Задание 2
Даны две матрицы 
Найти: а) 
и 
б) обратную матрицу 
Доказать: 
б) Обратная матрица А-1 имеет вид
, где 
- определитель матрицы А;
Аi,j – алгебраические дополнения
Вычислим , разложив его по элементам 2го столбца
Найдем Аij :
Матрица А-1 имеет вид: 
Докажем: А-1∙А = А∙А-1 = Е= 
Задание 3
Решить систему линейных уравнений
а) по формулам Крамера
б) с помощью обратной матрицы
в) методом Гаусса
Решение:
Проверим на совместимость, для чего докажем, что ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r=(A)=r(B)
r(A)=3
r= (B) =3
Так как r(A)= r= (B) =3, т.е. числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
а) Найдем определитель системы
Воспользовались разложением определителя по элементам строки(в данном случае первой)
Определитель 
получается заменой первого столбца определителя
столбцом свободных членов:
Аналогично вычисляем 
и 
По формулам Крамера
б) Рассмотрим матрицы:
Решение системы линейных алгебраических уравнений
в матричной форме имеет вид: 
где А-1 матрица,
обратная матрице А.
Найдем А-1
Согласно равенству 
имеем 
Таким образом х1= 1; х2 = -2; х3=2;
в) В исходной системе уравнений запишем второе уравнение первым
(коэффициент при х1 равен 1)
Первое уравнение умножим на 3 и вычтем из второго, затем умножим его на 2 и вычтем из третьего
Из третьего уравнения вычтем второе:
Из третьего уравнения найдем х2 = 
;
Из второго уравнения 
Из первого уравнения х1 = 5 + х2 - х3;
х1 = 5- 2- 2=1
Таким образом получено решение системы х1 = 1; х2= -2; х3 = 2
Задание 1: Для определителя найти алгебраические дополне-
ния элементов аi,2; a3j
Вычислить определитель
А) разложив по элементам i- той строки;
Б) разложив по элементам j- того столбца;
В) получив предварительно два нуля в i- той строке
1 
. 2. 
3 
.
4. 
5 
. 6. 
7. 
8. 
9.
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 2
Даны две матрицы А и В. Найти
а) А*В и В*А;
б) обратную матрицу А-1;
Доказать: А-1*А = А* А-1 = Е = 
1. 
;
;
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 3.
Проверить на совместимость и
решить систему линейных алгебраических уравнений:
а) по формулам Крамера
б) с помощью обратной матрицы
в) методом Гаусса.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28, 
.
29, 
30, 
Дата добавления: 2015-08-28; просмотров: 43 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Типовой расчет ТР 2.6 по теме «Числовые и степенные ряды». | | | Типовой расчет «линейная алгебра» |