1. Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисленияэлементов) и отношения на них (например,

1. Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисленияэлементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

2. (без повтор)Теорема: число способов расположить в ряд различных объектов есть

Теорема: число перестановок с повторениями есть

.

3. (без повтор)Теорема: число размещений различных элементов по различным позициям есть

,

или, в терминах факториалов,

.

Пусть даны различных видов предметов, которые можно разместить по различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле: .

4. (без повтор)При , выбрать k предметов из n можно способами, переставляя их способами:

.

Теорема: число сочетаний с повторениями может быть вычислено по формулам:

.

5. Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где

6. Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.

7.

8. Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

9. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания.

10. Элементарное событие

Противоположное событие

Совместные/несовместные события

Зависимые/независимые события

11. Элементарное событие(исход)- каждый из возможных результатов случайного испытания

12. Вероятность события количественно характеризует возможность (шанс) осуществления этого события в ходе случайного эксперимента.

1. По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.

14.

15. В качестве статистической вероятности события принимается относительная частота его реализации при большом числе испытаний. Если проводится n испытаний и при этом событие А реализовалось m раз, то относительная частота появления события А есть

.

16. Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

17. Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

18. Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

19. Событие С называется разностью событий А и В (С = А – В), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, и не происходит событие В.

20. Событие А' называется противоположным событию А, если не произошло событие А. Так, промах и попадание при стрельбе – противоположные события.

21. Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

22. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

23. По́лной гру́ппой(системой) собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного экспериментанепременно произойдет одно и только одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

24.

25. Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

26. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

27. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: .

28. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

.

29. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

30. Если событие наступает только при условии появления одного из событий , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

31. Формула Байеса:

,

32. В байесовском статистическом выводе априорное распределение вероятностей (англ. prior probability distribution, или просто prior) неопределённой величины p — распределение вероятностей, которое выражает предположения о p до учёта экспериментальных данных.

Апостерио́рная вероя́тность — условная вероятность случайного события при условии того, что известны апостериорные данные, т.е. полученные после опыта.

33. Испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.

34.

35.

36. ,

где .

где .

37.

38. Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна

где .

.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (р мало) событий.

39. Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна () и — число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.

40. Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Дата добавления: 2015-08-28