Теорема 1. Пусть функция имеет производную в данной точке . Тогда функция , где — постоянная, также имеет в этой точке производную, причем .

Теорема 1. Пусть функция имеет производную в данной точке . Тогда функция , где — постоянная, также имеет в этой точке производную, причем .

Рассмотрим функцию . Найдем приращение этой функции в данной точке , соответствующее приращению аргумента

.

По определению производной имеем

.

Теорема 2. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда сумма и разность этих функций также имеют в этой точке производные, причем

.

Пусть . Тогда

,

.

Теорема 3. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда произведение этих функций также имеет в этой точке производную, причем .

Обозначим , и приращения функций , и в точке , соответствующие приращению аргумента . Заметив, что , , найдем приращение

.

Так как функции и имеют производную в точке , то они непрерывны в этой точке. Следовательно, и . Учитывая эти равенства, получим согласно определению производной

.

Теорема 4. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда частное этих функций при условии, что также имеет в этой точке производную, причем .

Пусть . Тогда

,

.

При выводе этой формулы мы учли, что .

В качестве примера получим формулы для производных функций , :

,

.

Дата добавления: 2015-08-28