Министерство образования и науки Украины

Министерство образования и науки Украины

Одесская государственная академия строительства и архитектуры

Кафедра САПР и прикладной математики

РГР

по дисциплине: «Математические методы в инженерных расчетах»

на тему: «Решение задачи Дирихле методом сеток»

Выполнил: ст.гр. АД – 503м

Атанасов С.И.

Проверила:

к.ф-м.н.,доц. Денисенко В.Ю.

№зач.кн.20979

Одесса - 2013
Введение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Уравнение Лапласа – дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

Возникает во многих задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики и т.д.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями.

Метод сеток решение задач Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Источники погрешности в приближенных решениях:

1)Погрешность исходных данных;

2)Погрешность метода;

Решить методом сеток задачу Дирихле.

Граничные условия:

1)u(0;y) = у²; 2) u(1;y) = cosy+2(cos1)y; 3) u(x;0) = x³;

4) u(x;1) = x+1

Шаг сетки:

h_x=0,3333

h_y=0,2

i=1, j=1

(U_0,1 -2U_1,1+U_2,1)/0,3333² + (U_1,0 -2U_1,1+U_1,2)/0,2²=0

i=1, j=2

(U_0,2 -2U_1,2+U_2,2)/0,3333² + (U_1,1 -2U_1,2+U_1,3)/0,2²=0

i=1, j=3

(U_0,3 -2U_1,3+U_2,3)/0,3333² + (U_1,2 -2U_1,3+U_1,4)/0,2²=0

i=1, j=4

(U_0,4 -2U_1,4+U_2,4)/0,3333² + (U_1,3 -2U_1,4+U_1,5)/0,2²=0

i=2, j=1

(U_1,1 -2U_2,1+U_3,1)/0,3333² + (U_2,0 -2U_2,1+U_2,2)/0,2²=0

i=2, j=2

(U_1,2 -2U_2,2+U_3,2)/0,3333² + (U_2,1-2U_2,2+U_2,3)/0,2²=0

i=2, j=3

(U_1,3 -2U_2,3+U_3,3)/0,3333² + (U_2,2 -2U_2,3+U_2,4)/0,2²=0

i=2, j=4

(U_1,4 -2U_2,4+U_3,4)/0,3333² + (U_2,2 -2U_2,4+U_2,5)/0,2²=0

Значения функций свободных членов таблице:

-(0.3333²/0.2²+0.2²/0.3333²)=-1.286

-(0.4²/0.3333²)=-1.44

-(0.667²/0.3333²)=-4.005

-((0.3333+1)/0.2²+0.8²/0.3333²)=-39.094

-(1.96/0.3333²+0.297/0.2²)=-18.191

-(1.353/0.3333²)=-12.179

-(1.474/0.3333²)=-13.269

-((0.667+1)/0.2²+1.561/0.3333²)=-55.727

U11	U12	U13	U14	U21	U22	U23	U24	Свободный член
-68,004	-25			-9,002				-1,286
-25	-68,004	-25			-9,002			-1,44
	-25	-68,004	-25			-9,002		-4,005
		-25	-68,004				-9,002	-39,094
-9,002				-68,004	-25			-18,191
	-9,002			-25	-68,004	-25		-12,179
		-9,002			-25	-68,004	-25	-13,269
			-9,002			-25	-68,004	-55,727

		Обратная матрица
-0,01838	0,008682	-0,00407	0,001626	0,003629	-0,00325	0,002097	-0,00099
0,008682	-0,02244	0,010307	-0,00407	-0,00325	0,005726	-0,00424	0,002097
-0,00407	0,010307	-0,02244	0,008682	0,002097	-0,00424	0,005726	-0,00325
0,001626	-0,00407	0,008682	-0,01838	-0,00099	0,002097	-0,00325	0,003629
0,003629	-0,00325	0,002097	-0,00099	-0,01838	0,008682	-0,00407	0,001626
-0,00325	0,005726	-0,00424	0,002097	0,008682	-0,02244	0,010307	-0,00407
0,002097	-0,00424	0,005726	-0,00325	-0,00407	0,010307	-0,02244	0,008682
-0,00099	0,002097	-0,00325	0,003629	0,001626	-0,00407	0,008682	-0,01838

U11=	-0,03538
U12=	0,067716
U13=	-0,14026
U14=	0,520771
U21=	0,222108
U22=	0,136212
U23=	-0,12985
U24=	0,798266

		0,3333	0,6666
		1,3333	1,6666
0,2	0,04	-0,03538	0,222108	1,196
0,4	0,16	0,067716	0,136212	1,353
0,6	0,36	-0,14026	-0,12985	1,474
0,8	0,64	0,520771	0,798266	1,561
		0,037	0,296

Литература

1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.,1961.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. –М.: Наука,1989.

4. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.,1963.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. –М.: Физматгиз, 1962.

Дата добавления: 2015-08-28