IV Кубок Первоуральска по математике. 24 марта – 28 марта 2014 года

IV Кубок Первоуральска по математике. 24 марта – 28 марта 2014 года

Игра «Домино». 7 класс. Решения. 24.03.2014.

0–0. Любитель игры «Морской бой» Вася однажды решил поиграть на треугольном поле. Для этого он равносторонний треугольник со стороной 9 разбил на 81 равный треугольник отрезками, параллельными сторонам. Какое наибольшее количество однопалубных (1 маленький треугольничек) несоприкасающихся между собой кораблей можно разместить на таком поле? Приведите ответ и пример. (18 кораблей. Заметим, что на доске 1+2+3+…+10=55 узлов клетчатой решётки, а каждый корабль занимает 3 узла. Значит, можно разместить не более [55:3]=18 кораблей. Пример на 18 кораблей - см. рисунок, как раз один свободный узел окажется в центре.)

0–1. Каждое из трёх слагаемых на 3 меньше их суммы. Чему равны слагаемые? (Из условия ясно, что все слагаемые равны между собой. Тройка, на которую одно слагаемое меньше суммы всех трёх, равна сумме двух других слагаемых. Поэтому каждое слагаемое равно 3/2.)

0–2. Есть 24 гирьки весами 1 г, 2г, …, 24 г. На какое наибольшее число кучек равного веса можно их разложить? (12 кучек. Суммарная масса всех гирек равна 1+2+3+….+24=25∙24/2=300. Значит, вес каждой кучки есть делитель 300. В то же время вес кучки не может быть меньше веса самой большой гири, то есть 24 г. Но 300 не делится нацело на 24, поэтому вес кучки не менее 25 г, а количество кучек не больше 300M25=12. Можно сформировать 12 кучек: 1+24, 2+23, 3+22,…12+13.)

0–3. Расставьте по кругу натуральные числа от 1 до 8 так, чтобы любое число делилось на разность соседних с ним чисел. (например, 8, 7, 1, 6, 4, 2, 3, 5)

0–4. По кругу стоят 22 человека, каждый из них – рыцарь (который всегда говорит только правду) или лжец (который всегда лжёт). Каждый из них произнёс фразу: «Следующие 10 человек по часовой стрелке после меня – лжецы». Сколько среди этих 22 людей могло быть лжецов? (20 лжецов. Если более 10 лжецов стоят подряд, то один из них говорит правду, значит, такое невозможно. Всего 22 человека, поэтому среди них есть рыцарь. Рассмотрим рыцаря, он говорит правду, значит, 10 следующих за ним людей – лжецы. Так как 11 лжецов подряд стоять не могут, то за 10 лжецами обязан стоять рыцарь, за которым опять стоят 10 лжецов. Всего получается 2 рыцаря и 20 лжецов.)

0–5. Приведите пример, когда отношение двух произведений равняется . (Одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры.) (например, подойдёт вариант )

0–6. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором сумма любых четырёх подряд идущих цифр делится на 7. (9874210. Должна быть цикличность остатков по модулю 7, т.е. цифры, стоящие через три, должны быть сравнимы по модулю 7, а все цифры разбиваются на 3 таких пары (0, 7), (1, 8), (2, 9), и ещё остаются четыре цифры. Значит, в нашем числе не может быть два полных цикла остатков и в нём не более 4+3=7 цифр. Эти соображения дадут нам число 9874210.)

1–1. В ряд выписаны все натуральные числа от 1 до 11 и в десяти промежутках между ними расставляются произвольным образом знаки + и -. Какое наименьшее положительное значение может принимать полученное числовое выражение? Приведите ответ и пример. (2. Т.к. в данной целочисленной знакопеременной сумме будет чётное (6) количество нечётных слагаемых, то вся сумма будет чётной. Значит, минимальное положительное значение, которое она может принимать, равно 2. При этом значение 2 можно получить, например, расставив знаки следующим образом: 1-2+3-4-5-6-7-8+9+10+11=34-32=2.)

1–2. Найдите больший острый угол прямоугольного треугольника, если известно, что при уменьшении этого большего острого угла на 20% получится меньший острый угол. (50°, т.к. больший острый угол и меньший острый угол в сумме составляют 90° или 180% от большего. Значит, 1° соответствует 2% большего угла, тогда он равен 100:2=50 градусам. Комментарий: Будьте внимательны и не путайте градусы с процентами.)

1–3. Семья состоит из трёх человек: отца, матери и сына. В настоящее время сумма их возрастов составляет 74 года, а 10 лет назад эта сумма составляла 47 лет. Сколько лет сейчас отцу, если он старше сына на 28 лет? (35 лет. Из того, что (74-47)-2×10 =7, следует, что сейчас сыну 7 лет.)

1–4. В классе – 17 человек. Известно, что среди любых десяти есть хотя бы одна девочка, а мальчиков больше, чем девочек. Сколько девочек в этом классе? (8. Так как мальчиков в классе больше, чем девочек, то мальчиков – не менее девяти. Если мальчиков больше девяти, то не будет выполняться условие: среди любых десяти человек есть хотя бы одна девочка. Значит, мальчиков – ровно 9, тогда девочек – 8.)

1–5. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. При этом периметр прямоугольника уменьшился на 12%. На сколько процентов уменьшится периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на 10%? (На 18%. Пусть длина равна a, а ширина - b. По условию 2(0,1 a +0,2 b) = 0,12(2 a +2 b), откуда a = 4 b. Если длину уменьшить на 20%, а ширину на 10%, то периметр уменьшится на 2(0,2 a +0,1 b) = 1,8 b, а равен он был 10 b. Следовательно, периметр уменьшится на 18%.)

1–6. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр. (1023457896)

2–2. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится? (Через 1 час 40 минут. Каждая труба за час заполняет треть бассейна. За первый час две трубы заполнили 2/3 бассейна. После этого вторая труба стала заполнять бассейн со скоростью 1/6 бассейна в час, стало быть, две трубы вместе — со скоростью 1/6+1/3 = 1/2 бассейна в час. Поэтому оставшуюся треть бассейна они заполнят за 1/3:1/2 = 2/3 часа.)

2–3. Разрежьте клетчатую фигуру, представленную на рисунке, на две равные части тремя разными способами. (три возможных разрезания на рисунке справа)

2–4. Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится N лет в N ² году. А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдет в России? (38 лет. В условии задачи говорится о будущем времени, при этом футболист уже играет (или играл), поэтому достаточно оценить квадраты натуральных чисел, лежащие в промежутке от 2013 до 2100. Так как 44² = 1936, 45² = 2025, 46² = 2116, то возможен единственный вариант: N = 45. Следовательно, в 2018 году Роналдиньо будет на 7 лет меньше, т.е. 38 лет.)

2–5. Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть покрашены в разные цвета. Каким наименьшим количеством различных красок он сможет обойтись? (Тремя красками. Заметим, что между первой и четвёртой, четвёртой и седьмой досками - по две доски, а между первой и седьмой досками - пять досок. Поэтому первая, четвёртая и седьмая доски забора должны быть раскрашены в различные цвета, значит, Тому понадобятся хотя бы три различные краски. С другой стороны, трёх цветов ему хватит, если красить, например, так: AAABBBCCCAAABBBCCC…: тут между любыми двумя одноцветными досками не менее 6 досок.)

2–6. Найдите какое-нибудь четырёхзначное число из различных ненулевых цифр такое, что если взять любую из его цифр и прибавить к ней 1, то получится делитель исходного числа. Ответ обоснуйте. (Например, 3612. Это число делится на 2, 3, 4 и 7.)

3–3. На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут) за круглым столом собралась компания из 13 человек. Каждый заявил, что среди половины остальных, сидящей от него справа, лжецов столько же, сколько рыцарей среди половины остальных, сидящей от него слева. Сколько могло быть рыцарей за столом? (0 или 7 рыцарей. Возможен случай, когда за столом собрались только лжецы, - тогда действительно каждый лжец соврал, т.к. в половине справа от него 6 лжецов, а в половине слева от него 0 рыцарей, т.е. высказывание является неверным. Рассмотрим теперь случай, когда за столом сидит хотя бы 1 рыцарь. Тогда пусть справа от него n лжецов и соответственно (6- n) рыцарей, а слева - n рыцарей. Значит, кроме него за столом ещё (6- n)+ n =6 рыцарей. Таким образом, за столом будет 7 рыцарей, каждый из которых сказал правду вне зависимости от соответствующего ему числа n, рассмотренного выше. При этом каждый лжец действительно соврал, т.к. из его высказывания аналогичным образом получается, что за столом должны сидеть 6 рыцарей, но там сидят 7 рыцарей.)

3–4. На доске выписаны несколько последовательных натуральных чисел. Ровно 52% из них чётны. Какое количество нечётных чисел выписано на доске? (12. Пусть на доске выписано n нечётных чисел, но их 48%, т.е. меньше половины, значит, чётных чисел выписано больше, а ряд начинается и заканчивается чётными числами в силу того, что выписаны подряд идущие числа. Значит, чётных чисел больше ровно на 1 и их количество равно n +1. Тогда чётные числа составляют (n +1)/(2 n +1)=0,52 всего количества чисел. Из полученного уравнения найдём n =12.)

3–5. Выпуклый четырёхугольник, отличный от ромба, разрезали по диагоналям на четыре треугольника. Какое наибольшее количество равных треугольников могло оказаться среди них? (2, например, при разрезании прямоугольника, не являющегося квадратом. Предположим, что при разрезании четырёхугольника ABCD оказалось не менее трёх равных треугольников и пусть это треугольники АВО, ВОС и AOD (где О – точка пересечения диагоналей). Заметим, что сумма углов АОB и BOC равна 180°, так как они смежные. Поскольку сумма углов треугольника тоже равна 180°, то угол АОB не может равняться ни углу OBC, ни углу OCB (иначе сумма углов в треугольнике BOC превысит 180°). Значит, Ð АОB =Ð BOC =90°. В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит, AB = BC. Треугольник ABC равнобедренный, BO его высота, следовательно, и его медиана. Таким образом, AO = OC. Аналогично доказывается, что BO = OD. Тогда в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, т.е. это ромб, что противоречит условию.)

3 – 6. Квадрат 9´9 разбит на квадратики 1´1. Из этих квадратиков выбрали несколько, и в каждом из выбранных провели одну или две диагонали. Оказалось, что никакие две проведенные диагонали не имеют общего конца. Какое наибольшее число диагоналей может быть проведено? Приведите ответ и пример. (50 диагоналей. Занумеруем по порядку строки и столбцы квадрата числами от 1 до 9 и проведём по две диагонали в клетках, стоящих на пересечении нечётных строк с нечётными столбцами. Таких клеток 25, то есть диагоналей будет проведено 50. С другой стороны, у диагоналей не должно быть общих концов, а вершин клеток (узлов решётки) в квадрате 9´9 у нас всего 10´10 = 100. Поэтому диагоналей можно провести не более 100:2=50.)

4–4. Какое наибольшее количество сторон может быть у выпуклого многоугольника, все углы которого принимают целые значения? (360. Сумма углов n -угольника равна (n -2)×180°, что не должно превосходить 179°× n, т.к. каждый целочисленный угол выпуклого n-угольника не превосходит 179°. Тогда из неравенства (n -2)×180°£179°× n найдём, что n £360°. При этом у правильного 360-угольника все углы как раз будут равны 179°.)

4–5. Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 100 можно выбрать, чтобы ни одно из этих чисел не делилось на разность никаких двух других? Приведите ответ и пример. (50. Пример на 50 чисел — все нечётные числа, меньшие 100: все их разности чётны, поэтому ни на одну из них ни одно нечётное число делиться не может. Если же мы возьмём хотя бы 51 число, то среди них обязательно найдутся два, отличающиеся на 1.)

4–6. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых пяти из них нашлись две, образующие угол в 90°? (8. Пример: 4 параллельных прямых и 4 прямых, перпендикулярных им. Докажем оценку. Пусть есть n прямых, обладающих указанным в задаче свойством. Покрасим одну из них в синий цвет, все перпендикулярные ей - в красный, а все параллельные - в синий. Если после этого остались непокрашенные прямые - будем повторять процедуру, пока все прямые не будут покрашены. Заметим, что перпендикулярными могут быть только разноцветные прямые. Если n ³9, у нас найдутся 5 одноцветных прямых. Поэтому n не превосходит 8.)

5–5. Известно, что числа а, b, c и d – целые и . Укажите ближайшее натуральное число N, большее 2014, для которого может выполняться равенство аbcd = N. (2025. Преобразуем данное равенство по свойству ряда равных отношений: . Тогда ad = bc, тогда abcd =(ad)², а ближайшим точным квадратом после 2014 будет число 2025=45².)

5–6. По кругу выложены черные и белые шары, причем чёрных в два раза больше, чем белых. Известно, что среди пар соседних шаров одноцветных пар втрое больше, чем разноцветных. Какое наименьшее число шаров могло быть выложено? (24 шарика. Т.к. чёрных шаров в два раза больше, чем белых, то общее количество шаров делится на три. Обозначим его через n. Все шары разбиваются на чередующиеся группы подряд идущих одноцветных шаров (группа может состоять и из одного шара). Так как цвета групп чередуются, то общее количество групп четно. Пусть количество групп каждого цвета равно k. Тогда разноцветных пар соседних шаров будет 2 k, а одноцветных n – 2 k. Из условия задачи получаем, что n – 2 k = 3×2 k. Отсюда n = 8 k. Таким образом общее количество шаров делится и на 3, и на 8. Значит, n делится на 24, поэтому n ³ 24. Примером может служить любой круг из 8 белых и 16 чёрных шаров, в котором по три чёрных и белых группы. Например, белый – чёрный – белый – чёрный – 6 белых – 14 чёрных.)

6–6. Когда у двух дробей с натуральными числителями и знаменателями поменяли числители местами, сумма дробей не изменилась. Найдите все пары таких дробей. (Это все пары дробей, в которых либо числители, либо знаменатели равны. Обозначив дроби соответственно за и , получим равенство , откуда сразу следует, что . Если p = a, то числители равны, если же p ≠ a, можно сократить на ненулевые равные числители, и получим, что равны знаменатели.)

Дата добавления: 2015-08-28