Министерство образования и науки Российской федерации 1 страница

Министерство образования и науки Российской федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

53 № 3388

К 602

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Лабораторный практикум по курсу общей физики
для студентов I–II курсов РЭФ, ФЭН, ФТФ, ИДО
всех направлений подготовки и всех форм обучения

Новосибирск
2007

УДК 534(07)

К 602

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. В.Ф. Ким,

канд. физ.-мат. наук, доц. Э.А. Кошелев,

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Е. Невский

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. И.И. Суханов

Работа подготовлена на кафедре
прикладной и теоретической физики НГТУ

Ó Новосибирский государственный
технический университет, 2007

колебания и волны

лабораторный практикум

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Компьютерная верстка В.Ф. Ноздрева

Подписано в печать 11.09.2007. Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 500 экз.
Уч.-изд. л. 2,79. Печ. л. 3,0. Изд. № 159. Заказ №. Цена договорная

Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

Работа № 20а

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: исследовать зависимость периода колебаний физического маятника от положения оси вращения, относительно которой происходит качание маятника; используя полученную экспериментальную зависимость, определить моменты инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции, и относительно других осей, параллельных первой.

Дифференциальное уравнение колебаний
физического маятника

Физический маятник – твердое тело, которое может вращаться под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку , не совпадающей с точкой центра инерции этого тела. Схема маятника показана на рис. 1.

Дифференциальное уравнение колебаний (уравнение движения) физического маятника можно получить из закона сохранения энергии. В состоянии равновесия потенциальную энергию маятника относительно Земли будем считать равной нулю. Тогда при отклонении маятника на угол потенциальная энергия будет равна , где – ускорение силы тяжести, кинетическая энергия маятника равна ,
где – момент инерции маятника относительно оси вращения; – угловая скорость – первая производная от угла поворота по времени .

Полная механическая энергия маятника

. (1)

Если угол отклонения от положения равновесия мал, то . Тогда выражение (1) можно переписать в виде

. (2)

Поскольку при колебаниях маятника неизбежно совершается работа по преодолению сил трения, механическая энергия постепенно убывает. Учитывая, что в дальнейшем нас будет интересовать, прежде всего, период колебаний, предположим, что потери энергии за время одного периода по сравнению с полной энергией пренебрежимо малы. Определим уравнение движения, а из него и период колебаний в этом приближении.

Если потерями энергии можно пренебречь, то , а .

Определим производную от энергии по времени из выражения (2) и приравняем ее нулю. В результате получим уравнение

. (3)

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид

, (4)

т.е. маятник совершает гармонические колебания. Здесь – амплитуда колебаний; – фаза колебаний; – круговая (циклическая) частота; – начальная фаза. Амплитуда колебаний и начальная фаза из уравнения (3) не находятся. Они определяются заданием так называемых начальных условий. Круговая частота колебаний определяется видом уравнения (3) и равна корню квадратному из коэффициента перед переменной , т. е.

. (5)

Период колебаний связан с частотой соотношением . Учитывая (5), получим выражение для периода колебаний

. (6)

Определение момента инерции маятника
по измерениям периодов колебаний

В формуле (6) представлена неявная связь между периодом колебаний и расстоянием от оси вращения до центра инерции физического маятника. Явную связь этих величин можно получить, если воспользоваться теоремой Штейнера.

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции маятника относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями, т.е. . Формулу для периода колебаний теперь запишем в виде

. (7)

Функция имеет минимум. Если взять от этой функции первую производную по и приравнять ее нулю, то можно найти значение расстояния , при котором период минимален. Это расстояние .

Подставив это значение в формулу (7), получим

. (8)

Если экспериментально определить , то момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс , можно вычислить по формуле

, (9)

полученной из выражения (8). Момент инерции относительно любой другой параллельной оси, смещенной на расстояние , может быть найден по теореме Штейнера.

Однако положение центра масс для рассматриваемого физического маятника неизвестно, а потому неизвестно также и расстояние . Тем не менее момент инерции относительно произвольной оси можно найти и в этом случае, исходя из результатов измерения периода, пользуясь только одним измерительным прибором – секундомером.

Преобразуем формулу (7) к виду

. (10)

Это квадратное уравнение, из которого можно определить параметр , соответствующий измеренному значению периода . Решение этого уравнения имеет вид

. (11)

С учетом формулы (8) можно также записать

. (12)

Поскольку момент инерции , воспользовавшись формулами (9) и (12), получим

. (13)

Таким образом, полученная формула позволяет найти момент инерции физического маятника по измерениям лишь периодов колебаний при изменении точки подвеса маятника без измерения его геометрических параметров.

Описание экспериментальной установки

Экспериментальная установка состоит из физического маятника, устройства подвеса маятника и секундомера. Устройство подвеса маятника предусматривает возможность качания относительно целого ряда параллельных осей. Все эти оси расположены в одной плоскости, проходящей через центр инерции маятника, как показано на рис. 2. Расстояния между соседними осями одинаковы. Оси пронумерованы по порядку. Конструкция устройства подвеса маятника показана на рис. 3.

Устройство состоит из кольца 1, двух закрепленных в нем винтов 2 с заостренными концами и опорной платформы 3. Кольцо 1 может быть закреплено в любом месте на стержне 4 маятника. Ось вращения проходит через заостренные концы винтов 2. На стержне имеются риски, показывающие рекомендуемое расположение осей качания. Риски пронумерованы цифрами, означающими просто номера осей. Ось, проходящая через заостренные концы винтов 2, должна совпадать с одной из рисок на стержне маятника.

Задание к работе

1. Измерить период колебаний маятника относительно каждой из предложенных осей. Период определить по формуле , где – время колебаний; – число колебаний. Для увеличения точности измерений должно быть по возможности большим (например, 100 колебаний).

2. Результаты измерений представить на графике. По вертикальной оси отложить значения , по горизонтальной – равномерно распределенные номера осей от 1 до .

3. По графику определить и по формуле (9) найти .

4. Определить для этого случая расстояние до центра инерции физического маятника, при котором период минимален.

5. Определить момент инерции маятника относительно одной или двух других осей (по указанию преподавателя) по формуле (13).

Контрольные вопросы

1. Какова цель работы?

2. В каком случае при выводе дифференциального уравнения физического маятника потерями энергии можно пренебречь?

3. Вывести это дифференциальное уравнение в указанном приближении.

4. Какими функциями, кроме приведенной в выражении (4), может описываться решение уравнения (3)?

5. Как с помощью только одного измерительного прибора – секундомера (при известной массе тела) можно определить момент инерции тела?

6. Формула (13) дает (с учетом знаков «» внутри формулы) два значения момента инерции. Как это понимать? В каком случае использовать формулу со знаком «+», а в каком – со знаком «–»?

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2004 (и др. годы
изданий).

2. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Астрель, 2001 (и др. годы
изданий).

Работа № 20б

свободные колебания в системе
двух связанных маятников

Цель работы: для колебательной системы из двух связанных физических маятников измерить частоты нормальных колебаний и частоту биений при различной степени связи; соотношение между частотами и зависимость этих частот от степени связи сравнить с теоретическими.

Гармонические колебания
в системе с двумя степенями свободы
(нормальные колебания)

Экспериментальная установка (рис. 1) состоит из двух одинаковых физических маятников, соединенных пружиной (П), измерительной шкалы (Ш) и секундомера. Маятники пред­ставляют собой стержни (С) с укрепленными на них чечевицами (Ч). Пружину можно пе­ремещать вдоль стержней С. Этим обеспечи­вается изменение связи между маятниками. Перемещая чечевицу вдоль стержней, можно изменять период собственных колебаний маятников.

Рассматриваемая система представляет собой физическую систему с двумя степенями свободы. Это означает, что для определения положе­ния системы в пространстве (т.е. положения обоих маятников) необходимо задать всего две какие-либо величины. Этими величинами могут быть () – горизонтальные смещения маятников, или () – вертикальные смещения маятников, или () – углы отклонения маятников и т.п. (Индексы «л» и «п» у величин указывают принадлежность величины левому или правому маятнику). Какие две величины взять – это в значительной степени вопрос удобства. Мы выберем для определения положения маятников их угловые смещения и (рис. 2).

Очевидно, что в рассматриваемой установке бу­дут происходить колебательные процессы. Но будут ли эти процессы гармоническими, т.е. будут ли изменяться углы отклонений маятни­ков и с течением времени по законам косинуса или синуса с постоянной амплитудой колебаний? В общем случае нет.

Действительно, отклоним один из маятников и посмотрим, что произойдет с другим маят­ником, если первоначальные углы отклонения маятников от вертикали не одинаковы. Из-за воздействия пружины второй маятник придет в движение: будет происходить его постепенное раскачивание в результате перехода энергии от одного маятника к другому, и такое дви­жение не будет гармоническим, поскольку амплитуда этих колеба­ний непрерывно изменяется с течением времени (это движение невозможно пред­ставить в виде синусоиды).

С другой стороны, если мы оба маятника отклоним в одну и ту же сторону на одинаковые углы, то связывающая маятники пружина практически «не будет работать», так как она не сжимается и не растягивается. При этом если тре­ние и сопротивление воздуха малы, то оба маятника будут совершать гармонические колебания (рис. 3).

Рис. 3

Гармонические ко­лебания также можно наблюдать, если откло­нить маятники в разные стороны на одинаковые по величине углы (рис. 4).

Рис. 4

(Этот факт не совсем очевиден, однако можно показать, что это следует из симметрии первоначальных отклонений маятников от положения равновесия.)

Таким образом, в системе связанных маятников могут происхо­дить как гармонические, так и негармонические колебания. Гармони­ческие колебания в системе с двумя или более степенями свободы назы­ваются нормальными колебаниями системы.

Нормальные колебания представляют особый интерес, поскольку любые негармонические движения являются суперпозициями (или линейными комбинациями) этих нормальных колебаний.

Перейдем теперь к количественному описанию колебательных процессов в экспериментальной установке. Исходными являются основные уравнения динамики вращательного движения.

Пусть каждый из маятников имеет массу и момент инерции . Центр инерции каждого из маятников расположен на расстоянии от оси вращения, пру­жина жесткости прикреплена к маятникам на расстоянии от оси вращения (рис. 2). Массой пружины мы прене­брежем.

На каждый маятник действуют два момента сил: момент силы тяже­сти и момент силы связи (предполагаем, что трением в оси колебаний маятников можно пренебречь). Будем считать колебания малыми, т.е. по­лагаем малыми углы отклонения маятников:

, (1)

так что

, . (2)

Деформация пружины равна (см. рис. 2):

. (3)

Используя при вычислении моментов сил приближенные равенства (2), основные уравнения динамики вращательного движения можно записать в виде:

, (4)

. (5)

Введем обозначения:

, . (6)

Тогда уравнения (4) и (5) после деления на величину перепишутся в следующей форме:

, (7)

. (8)

Уберем мысленно пружину (положим формально жесткость пружины или мысленно поднимем пружину к самой оси вращения ), т.е. сделаем маятники независимыми друг от друга, не связанными. Тогда и третьи члены в уравнениях (7) и (8) обратятся в нуль, движение каждого из двух маятни­ков станет независимым и будет описываться стандартным дифференциальным уравнением гармонических колебаний

, , (9)

где имеет смысл собственной частоты колебаний одного отдельно взя­того физического маятника.

Различие уравнений (7), (8) и (9) показывает, что при наличии связи между маятниками, т.е. в системе с двумя степенями свободы, движение в общем случае может не происходить по гармоническому закону.

Пусть и – на­чальные угловые отклонения маятников. Тогда решение уравнений (7), (8) можно записать в следующем виде:

, (10)

. (11)

(Проверьте это под­становкой приведенных решений в уравнения (7)
и (8). Здесь введены обозначения:

, . (12)

Зависимости углов отклонения от времени (10), (11) указывают на тот факт, что в общем случае колебания маятников действительно не являются гар­моническими, а представляют собой сумму двух гармонических колебаний с частотами и . Именно эти гармонические колебания и называются нормальными колебаниями.

Теперь уместно задать вопрос: при каких условиях возбуждения в нашей экспериментальной установке возникают нормальные колебания? Точный количественный ответ дают соотношения (10) и (11).

Нормальные колебания
первого (синфазного) типа

Пусть в начальный мо­мент оба маятника отклонены в одну и ту же сторону на равные углы (см. рис. 3):

, . (13)

Тогда (см. выражения (10) и (11)):

, . (14)

Маятники совершают синфазные гармонические колебания с час­тотой . Эта частота не зависит от положения пружины (пружина «не работает»).

Нормальные колебания
второго (противофазного) типа

Пусть в начальный мо­мент маятники отклонены на равные углы, но в разные стороны (см. рис. 4):

, . (15)

Тогда (см. выражения (10) и (11)):

, . (16)

Маятники совершают противофазные гармонические колебания с частотой . Частота больше частоты и она растет с увеличе­нием расстояния от оси до места закрепления пружины (см. (12)):

. (17)

Таким образом, в рассматриваемой колебательной системе с дву­мя степенями свободы возможны два типа нормальных колебаний, и их мож­но возбудить, если отклонить маятники в начальный момент времени в соответствии с рис. 3 и 4.

Нормальные координаты

Вернемся к исходным уравнениям (7) и (8). Проведем замену искомых функций и на новые функции и :

, . (18)

Если эти функции будут найдены, то посредством обратного перехода мы сможем найти интересующие нас функции времени и :

, . (19)

Складывая и вычитая уравнения (7) и (8), легко придем к следующим уравнениям для функций и :

, (20а)

, (20б)

где частоты и определяются формулами (12), т.е. являются частотами нормальных колебаний.

Новые величины и называются нормальными координатами колебательной системы, так как эти координаты всегда совершают гармонические колебания – нормальные колебания:

, . (21)

Введение нормальных координат для колебательных систем с двумя (и более) степенями свободы не только упрощает математическое рассмотрение колебательных процессов, но и позволяет глубже вникнуть в сущность этих процессов.

Явление биений

Всякое отклонение начальных условий от (13) или (15) (т.е. ) возбуждает оба нормальных колебания. Так что движение каждого из маятников будет представлять собой результат суперпозиции (наложения) нормальных колебаний обоих типов. (Имея в виду это, иногда говорят о сложении колебаний разных частот, но одного направления колебаний.)

---

Дата добавления: 2015-08-27