Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике, астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и физике – 30, по математике и

ЗАДАЧИ НА ДИАГРАММЫ

ЭЙЛЕРА–ВЕНА

ЗАДАЧА 1

Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике, астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и физике – 30, по математике и астрономии – 25; спецкурс только по физике – 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по астрономии – 100 студентов. Сколько студентов посещают спецкурс только по астрономии? Сколько студентов посещают два спецкурса?

РЕШЕНИЕ.

Математика

(345) Физика

8080 (145)

Астрономия

(100)

1) 30 – 10 = 20 (чел.)

2) 25 – 10 = 15 (чел.)

3) 145 – (80 + 20 + 10) = 35 (чел.)

4) 100 – (15 + 10 + 35) = 40 (чел.) – только спецкурс по астрономии

5) 20 + 15 + 35 = 70 (чел.) – посещают два спецкурса

ОТВЕТ:

§ только спецкурс по астрономии посещают 40 человек;

§ два спецкурса посещают 70 человек.

ЗАДАЧА 2

500 студентов посещают три спецкурса. Спецкурс только по математике, только по математике и физике и только по физике и астрономии посещают одинаковое число студентов. Три спецкурса посещают 20 студентов. Спецкурс по математике посещают столько же студентов, сколько спецкурс по физике. Один спецкурс по физике посещают 50 студентов, а спецкурс по астрономии – 250 студентов. Сколько студентов посещают только один спецкурс?

РЕШЕНИЕ.

Математика

Физика

Астрономия

(250)

1) x + x + 20 + y = x + x + 20 + 50

2x + 20 + y = 2x + 70

y = 50

2) 500 = 250 + 50 + x + x

200 = 2x

x = 100

3) 250 = z + 50 + 20 + 100

250 – 170 = z

z = 80

4) 100 + 50 + 80 = 230 (чел.) – посещают только один спецкурс

ОТВЕТ: только один спецкурс посещают 230 студентов

ЗАДАЧА 3

Экзамен по математике содержал три задачи: по алгебре, по геометрии и по тригонометрии. Из 750 абитуриентов задачу по алгебре решили 400 абитуриентов, по геометрии – 480, по тригонометрии – 420. Задачи по алгебре или геометрии решили 630 абитуриентов; по геометрии или тригонометрии – 600; по алгебре или тригонометрии – 620. Ни одной задачи не решили 100 абитуриентов. Сколько абитуриентов решили все задачи? Сколько абитуриентов решили только одну задачу?

РЕШЕНИЕ.

1) 630 = 400 + b + z Þ 230 = b + z

600 = 480 + c + y Þ 120 = c + y

620 = 420 + a + x Þ 200 = a + x

2) 100 = 750 – (400 + b + z + c)

120 – c = 100

c = 20

3) 120 = c + y Þ y = 100

4) 630 = 480 + a + y Þ 150 = a + y Þ a = 50

200 = a + x Þ x = 150

g = 400 – (50 + 150 + 100) = 100 Þ g = 100

z = 420 – (20 + 100 + 100) = 200 Þ z = 200

b = 480 – (150 + 100 + 200) = 30 Þ b = 30

5) 50 + 30 + 20 = 100 (чел.) – решили только одну задачу

ОТВЕТ: все задачи (т.е. три задачи) решили 100 человек; только одну задачу решили тоже 100 абитуриентов.

ЗАДАЧА 4

Экзамен по математике содержал три задачи: по алгебре, по геометрии и по тригонометрии. Из 800 абитуриентов задачу по алгебре решили 250 абитуриентов, по алгебре или геометрии – 660. По две задачи решили 400 человек, из них две задачи по алгебре и геометрии решили 150 человек, по алгебре и тригонометрии 50 человек. Ни один абитуриент не решил все задачи. 20 абитуриентов не решили ни одной задачи. Только по тригонометрии задачи решили 120 человек. Сколько решили только одну задачу? Сколько человек решили задачи по геометрии?

РЕШЕНИЕ.

1) 400 – (150 + 50) = 200 – решили только геометр. и тригонометр.

2) 250 – (150 + 0 + 50)= 50 – только по алгебре

660 – 200 – 50 – 150 – 50 = 210 – только по геометрии

Проверка:

3) 800 – (250 + 210 + 200 + 120) = 20 – не решили ни одной задачи

4) 50 + 210 + 120 = 380 – решили только одну задачу

ОТВЕТ:

§ только по геометрии решили 210 человек;

§ только одну задачу решили 380 человек.

ЗАДАЧА 5

На кафедре иностранных языков работают 18 преподавателей, из них 12 преподают английский язык, 11 – немецкий, 9 – французский. Английский и немецкий языки преподают 7 человек, английский и французский – 6, немецкий и французский – 3. Сколько преподавателей преподают все три языка? Сколько преподавателей преподают только два языка?

РЕШЕНИЕ.

1) y + g = 7 x + g = 6 z + g = 3

2) 12 = a + 7 + x Þ 5 = a + x

12 = a + 6 + y Þ 6 = a + y

11 = b + 7 + z Þ 4 = b + z

11 = b + 3 + y Þ 8 = b + y

9 = c + 6 + z Þ 3 = c + z

9 = c + 3 + x Þ 6 = c + x

3) a = 5 – x b = 4 – z c = 3 – z

6 = 5 – x + y 8 = 4 – z + y 6 = 3 – z + x

y – x = 1 y – z = 4 x – z = 3

4) 18 = 12 + b + z + c

18 = 12 + 4 – z + z + 3 – z Þ z = 1 Þ g = 2 Þ y = 5

5) 18 = 9 + a + y + b

9 = 5 – x + 8 – b + b Þ x = 4 Þ x + z + y = 10

ОТВЕТ: все три языка преподают 2 преподавателя; только два языка – 10.

Дата добавления: 2015-08-27