1.Задача о простом преследовании на плоскости

1.Задача о простом преследовании на плоскости

На плоскости движутся две точки E (преследователь)и P (убегающий), скорости которых могут иметь любые направления, однако величины их ограничены заданными числами (см. рис.1.1).

Рис.1.1

Цель преследователя E заключается в том, чтобы как можно быстрее догнать убегающего P. Цель убегающего P заключается в том, чтобы не быть пойманной, или, если это не удается, сделать время поимки как можно большим.

Обозначим через a максимально возможную величину скорости преследователя E, через b – максимально возможную величину скорости убегающего P.

Ясно, что если b ≥ a, то убегающий P может не допустить поимки. С этой целью ему можно рекомендовать следующее правило поведения: двигаться с максимально возможной скоростью по прямой, проходящей через начальные положения E₀ и P₀, удаляясь от преследования (см. рис.1.2).

Рис.1.2.

Рассмотрим случай a > b и покажем, что преследователь может осуществить поимку за некоторое время T, причём

. (1.1)

Здесь - расстояние между точками в начальный момент времени.

В самом деле, если преследователь в каждый момент времени будет выбирать свою скорость так, чтобы её величина равнялась числу и была направлена на убегающего (см. рис.1.3), то поимка произойдет в некоторый момент T, который удовлетворяет неравенству (1.1).

Рис.1.3

С другой стороны, если убегающий в каждый момент времени будет выбирать свою скорость так, чтобы её величина равнялась числу b и была направлена от преследователя по прямой EP (см. рис.1.4), то поимка раньше времени

произойти не сможет.

Рис.1.4

Таким образом, оптимальное время преследования из начальных состояний равно

. (1.2)

Дата добавления: 2015-08-28