1)Определение. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно приближается по

1) Определение. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ₁, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М₁ неограниченно приближается по кривой к точке М.

2) Определение. Производной функции у=f(х) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

.

Функция у=f(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале

3) Производная функции у=f(х) может быть найдена по схеме:

1. Дадим аргументу х приращение Dх≠0 и найдем наращенное значение функции у+Dу=f(х+Dх).

2. Находим приращение функции Dу= f(х+Dх)-f(х).

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при , т.е. (если этот предел существует).

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной.

4) Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функций:

. (1)

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

Теорема 3. Производная частного двух функций , если ≠0 равна дроби, числитель который есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

.

5) Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Теорема. Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

или .

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

6)

Таблица производных элементарных функций

№ п/п	Функция у	Производная	№ п/п	Функция	Производная
	с
	х
	,

7) Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или . Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается .

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n -1) порядка:

.

8) Определение. Дифференциалом функции y=f (x) в точке х называется главная линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):

.

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у = х.

Так как у´=х´= 1, то согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению переменной: dx=∆x.

Поэтому формулу можно записать так:

.

Иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала функции.

дифференциал функции y=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение .

Как уже известно, приращение Δ у функции y=f(x) в точке х можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем Δ x, получаем приближенное равенство

(2)

причем это равенство тем точнее, чем меньше Δ x.

Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается .

10) Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого аргумента, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Роля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. .

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ,

2) дифференцируема на .

Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x):

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы в интервале , g(a)≠g(b) и g´(x)≠0 для всех

то существует точка с такая, что

.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенности ).

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Пример 1. Найти .

11) Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю .

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими (или стационарными). Эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки .

3. Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.

4. Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

5. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум и минимум - при (без доказательства).

- 3 -

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение. Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

12) Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или .

Определение. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если .

14)

При исследовании функций и построения их графиков рекомендуется использовать следующую схему.

1. Найти область определения функции.

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы монотонности функции.

6. Найти экстремумы функции.

7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

8. На основании проведенного исследования построить график функции.

Если всех пунктов не достаточно, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции.

Дата добавления: 2015-08-28